Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 2: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có đáp án
Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 2: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có đáp án
-
647 lượt thi
-
37 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Giải
Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể:
- Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
- Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
- Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)
ü Trình bày lời giải
+ Cách 1 : (Đặt ẩn phụ)
Đặt x3=y4=k suy ra : x=3k,y=4k
Theo giả thiết : 2x+3y=36⇒6k+12k=36⇒18k=36⇒k=2
Do đó : x=3.2=6;y=4.2=8
Kết luận x=6,y=8
+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x3=y4=2x+3y2.3+3.4=3618=2
Do đó : x3=2⇒x=6
y4=2⇒y=8
Kết luận : x=6,y=8
+ Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết x3=y4⇒x=3y4
Mà 2x+3y=36⇒3y2+3y=36⇒9y=72⇒y=8
Do đó : x=3.84=6
Kết luận x=6,y=8
Câu 2:
Giải
Tìm cách giải. Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải.
- Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k.
- Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
- Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.
ü Trình bày lời giải
+ Cách 1. Từ giả thiết : x3=y4⇒x9=y12(1)
y3=z5⇒y12=z20(2)
Từ (1) và (2) , suy ra : x9=y12=z20(∗)
Ta đặt x9=y12=z20=k suy ra x=9k;y=12k;z=20k
Theo giả thiết : 2x−3y+z=6⇒18k−26k+20k=6⇒2k=6⇒k=3
Do đó: x=27,y=36,z=60.
+ Cách 2. Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x9=y12=z20=2x18=3y36=z20=2x−3y+z18−36+20=62=3
Do đó: x9=3⇒x=27
y12=3⇒y=36
z20=3⇒z=60
Kết luận : x=27,y=36,z=60.
+ Cách 3. (phương pháp thế : ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết : y3=z5⇒y=3z5;x3=y4⇒x=3y4=3.3z54=9z20
Mà 2x−3y+z=6⇒2.9z20−3.3z5+z=6⇒z10=60⇒z=60
Suy ra : y=3.605=36,x=9.6020=27
Kết luận : x=27,y=36,z=60
Câu 3:
Giải
Đặt x2=y3=k suy ra : x=2k,y=3k
Theo giả thiết : xy=24⇒2k.3k=24⇒k2=4⇒k=±2
+ Với k=2thì x=4;y=6
+ Với k=−2 thì x=−4;y=−6
Kết luận. Vậy (x;y) là (−4;−6),(4;6).
Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :
+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp k=−2
+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : x2=y3=xy2.3=246=4! Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
Câu 4:
Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết bz−cya=cx−azb=ay−bxc
Chứng minh rằng : ax=by=cz
Giải
Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : ay=bx,bz=cy,az=cx hay cần chứng minh ay−bx=0,bz−cy=0,az−cx=0. Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng minhbz−cya=cx−azb=ay−bxc=0. Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân mỗi tỉ số với một số thích hợp vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. Quan sát tỉ số bz−cya và cx−azb ta thấy bz và −az; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số thứ ba.
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có : abz−acya2=bcx−abzb2=acy−bcxc2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
abz−acya2=bcx−abzb2=acy−bcxc2=abz−acy+bcx−abz+acy−bcxa2+b2+c2=0
Suy ra ay−bx=0,bz−cy=0,bz−cx=0
⇒ay=bx,bz=cy,bz=cx⇒ax=by=cz
Câu 5:
Giải
ü Trình bày lời giải
Đặt chiều rộng và chiều dài khu đất là x và y (mét; x,y > 0)
Theo đề bài , ta có : x5=y8 và xy=1960
Đặt x5=y8=k (điều kiện k > 0 ) , suy ra : x=5k,y=8k
Theo giả thiết : xy=1960⇒5k.8k=1960⇒k2=49⇒k=7 (vì k>0)
Từ đó ta tìm được : x=35;y=56
Suy ra chu vi hình chữ nhật là : (35+56).2=182(m)
Câu 6:
Cho a, b, c, d khác 0 và không đối nhau từng đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số bằng nhau :
2021a+b+c+da=a+2021b+c+db=a+b+2021c+dc=a+b+c+2021dd
Tính M=a+bc+d+b+cd+a+c+da+b+d+ab+c
Giải
Từ giả thiết suy ra :
2021+a+b+c+da=2021+a+b+c+db=2021+a+b+c+dc=2021+a+b+c+dd
⇒a+b+c+da=a+b+c+db=a+b+c+dc=a+b+c+dd
+ Trường hợp 1: Xét a+b+c+d=0⇒a+b=−(c+d);b+c=−(d+a)
Suy ra M=−(c+d)c+d+−(d+a)d+a+c+d−(c+d)+d+a−(d+a)
M=(−1)+(−1)+(−1)+(−1)=−4
+ Trường hợp 2 :Xét a+b+c+d≠0
Suy ra a=b=c=d⇒M=a+aa+a+a+aa+a+a+aa+a=1+1+1+1=4
Câu 7:
Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức 21a+10ba−11b=21c+10dc−11d
Chứng minh rằng ab=cd
Giải
Từ 21a+10b21c+10d=a−11bc−11d. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
Từ 21a+10b21c+10d=a−11bc−11d=21a−231b21c−231d=21a+10b−(21a−231b)21c+10d−(21c−231d)=241b241d=bd(1)
Từ 231a+110b231c+110d=10a−110b10c−110d=231a+110b+10a−110b231c+110d+10c−110d=241a241c=ac(2)
Từ (1) và (2) , suy ra : ac=bd hay ab=cd
Câu 8:
Giải
Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c. Độ dài ba đường cao tương ứng là ha;hb;hc. Theo đề bài ta có : ha+hb7=hb+hc6=hc+ha5 và aha=bhb=chc(1)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
ha+hb7=hb+hc6=hc+ha5=ha+hb−hb−hc7−6=ha−hc
⇒hc+ha=5ha−5hc⇒2ha=3hc⇒ha3=hc2(2)
Mặt khác ha+hb7=hb+hc6⇒2ha+2hb14=hb+hc6⇒3hc+2hb14=hb+hc6
⇒3(3hc+2hb)=7(hb+hc)⇒9hc+6hb=7hb+7hc⇒2hc=hb⇒hc2=hb4(3)
Từ (2),(3) suy ra : ha3=hb4=hc2
Đặt ha3=hb4=hc2=k(k>0)⇒ha=3k;hb=4k;hc=2k
Kết hợp với (1), ta có : 3a=4b=2c⇒a4=b3=c6
Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.
Câu 9:
Tìm x, y biết :
1+2y18=1+4y24=1+6y6x;Hướng dẫn:
Vì 1+2y18=1+4y24⇒24(1+2y)=18(1+4y)⇒24+48y=18+72y
⇒24y=6⇒y=14. Thay vào đề bài ta có :
1+2.1418=1+6.146x⇒3218=536x⇒32.6x=18.53⇒18x=90⇒x=5
Câu 10:
Tìm x, y biết :
1+3y12=1+5y5x=1+7y4x
Hướng dẫn:
Ta có : 1+3y12=1+5y5x=1+7y4x=4+20y20x=5+35y20x=
=1+3y+4+20y−5−35y12+20x−20x=−12y12=−y
⇒1+3y=−12y⇒y=−115
Thay vào đề bài ,ta được : 1+5.−1155x=115⇒x=2
Vậy x=2 và y=−115
Câu 11:
Hướng dẫn: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
2x+15=3y−27=2x+1+3y−25+7=2x+3y−112
Kết hợp với đề bài suy ra: 2x+3y−112=2x+3y−16x
Trường hợp 1: Xét 2x+3y−1=0
suy ra: 2x+15=3y−27=0⇒2x+1=0;3y−2=0⇒x=−12;y=23
Trường hợp 2: Xét 2x+3y−1≠0 suy ra 6x=12⇒x=2
Thay vào đề bài ta có : 2.2+15=3y−27⇒3y−27=1⇔3y−2=7⇔y=3
Vậy x=2;y=3
Nhận xét. bài này dễ bỏ sót trường hợp 1
Câu 12:
Tìm các số x, y, z biết rằng:
x:y:z=3:4:5 và 5z2−3x2−2y2=594
Hướng dẫn:
Đặt x3=y4=z5=k⇒x=3k;y=4k;z=5k
Mà 5z2−3x2−2y2=594⇒5.25k2−3.9k2−2.16k2=594
⇔66k2=594⇔k2=9⇔k=±3
+ Với k=3 suy ra x=9;y=12;z=15
+ Với k=−3 suy ra x=−9;y=−12;z=−15
Câu 13:
Tìm các số x, y, z biết rằng:
3(x−1)=2(y−2)⇒6(x−1)=4(y−2) suy ra 6(x−1)=4(y−2)=3(z−3)
⇒6(x−1)12=4(y−2)12=3(z−3)12⇒x−12=y−22=z−34
Đặt x−12=y−23=z−34=k⇒x=2k+1;y=3k+2;z=4k+3
Mà 2x+3y−z=50⇒2(2k+1)+3(3k+2)−(4k+3)=50
⇔4k+2+9k+6−4k−3=50⇔9k=45⇔k=5
Vậy x=2.5+1=11;y=3.5+2=17;z=4.5+3=23
Câu 14:
Ta có : 2x3.112=3y4.112=4z5.112⇒x18=y16=z15
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x18=y16=z15=x+y−z18+16−15=3819=2
suy ra : x=36;y=32;z=30
Câu 15:
Tìm x, y, z biết rằng:
7x=10y=12zvà x+y+z=685;
Hướng dẫn:
Từ 7x=10y=12z⇒x60=y42=z35
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
x60=y42=z35=x+y+z60+42+35=685137=5
Từ đó suy ra : x=120;y=210;z=175
Câu 16:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
5−z1=y+z2=9+y5=5−z+y+z−9−y1+2−5=2
⇒5−z=2⇒z=3;9+y=10⇒y=1;X+y=6⇒x=5
Câu 17:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
y+z+1x=z+x+2y=x+y−3x=x+z+1+z+x+2+xx+y+z=2
Kết hợp với đề bài, suy ra : x+y+z=2
Suy ra : y+z+1=2x⇒x+y+z+1=3x⇒1+2=3x⇒x=1
z+x+2=2y⇒x+y+z+2=3y⇒4=3y⇒y=43
x+y−3=2z⇒x+y=z−3=3z⇒2−3=3z⇒z=−12
Câu 18:
Câu 19:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
xy+19=zx+215=yz+327=xy+1+zx+2+yz+39+15+27=1751
Suy ra : xy+1=3⇒xy=2(1)
zx+2=5⇒zx=3(2)
yz+3=9⇒yz=6(3)
Từ (1) ,(2) và (3) nhân vế với vế : (xyz)2=36⇒xyz=±6
+ Trường hợp xyz=6
Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có : x=1;y=2;z=3
+ Trường hợp xyz=−6
Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có: x=−1;y=−2;z=−3
Câu 20:
Cho ab=cd. Chứng minh rằng:
(a+2c).(b+d)=(a+c).(b+2d);
Hướng dẫn: Đặt ab=cd=k⇒a=bk,c=dk
Xét (a+2c)(b+d)=(bk+2dk)(b+d)=k.(b+2d).(b+d)(1)
Xét (a+c)(b+2d)=(bk+dk)(b+2d)=k(b+d)(b+2d)(2)
Từ (1) và (2), suy ra : (a+2c)(b+d)=(a+c)(b+2d)
Câu 21:
Xét a2020+b2020c2020+d2020=b2020.k2020+b2020d2020.k2020+d2020=b2020(k2020+1)d2020(k2020+1)=b2020d2020(1)
Xét (a+b)2020(c+d)2020=(bk+b)2020(dk+d)2020=b2020(k+1)2020d2020(k+1)2020=b2020d2020(2)
Từ (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh
Câu 22:
Cho ab=cd. Các số x, y, z, t thỏa mãn xa+yb≠0 và zc+td≠0
Chứng minh xa+ybza+tb=xc+ydzc+td
Hướng dẫn: Đặt ab=cd=k⇒a=bk;c=dk
Xét xa+ybza+tb=xbk+ybzbk+tb=b(xk+y)b(zk+t)=xk+yzk+t(1)
Xét xc+ydzc+td=xdk+ydzdk+td=d(xk+y)d(zk+t)=xk+yzk+t(2)
Từ (1) và (2) , suy ra : xa+ybza+tb=xc+ydzc+td , điều phải chứng minh
Câu 23:
Hướng dẫn:
Từ 3x−yx+y=34 suy ra : 4(3x−y)=3(x+y)⇒12x−4y=3x+3y
⇒12x−3x=3y+4y⇒9x=7y⇒xy=79
Câu 24:
Chứng minh rằng : Nếu 2(x+y)=5(y+z)=3(z+x) thì x−y4=y−z5
Hướng dẫn:
Từ 2(x+y)=5(y+z)=3(z+x)suy ra :
2(x+y)30=5(y+z)30=3(z+x)30⇒x+y15=x+z6=z+x10
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x+y15=y+z6=z+x10=(x+y)−(z+x)15−10=y−z5(1)
x+y15=y+z6=z+x10=(z+x)−(y+z)10−6=x−y4(2)
Từ (1) và (2) , suy ra : x−y4=y−z5, điều phải chứng minh.
Câu 25:
Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn b2=ac;c2=bd. Chứng minh rằng:
a3+b3−c3b3+c3−d3=(a+b−cb+c−d)3;Hướng dẫn:
Từ b2=ac⇒ab=bc;c2=bd⇒bc=cd⇒ab=bc=cd.
Đặt ab=bc=cd=k⇒a=bk;b=ck;c=dk
Xét a3+b3−c3b3+c3−d3=b3k3+c3k3−d3k3b3+c3−d3=k3(b3+c3−d3)b3+c3−d3=k3(1)
Xét (a+b−cb+c−d)3=(bk+ck−dkb+c−d)3=(k(b+c−d)b+c−d)3=k3(2)
Từ (1) và (2), suy ra : a3+b3−c3b3+c3−d3=(a+b−cb+c−d)3 điều phải chứng minh.
Câu 26:
Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn b2=ac;c2=bd. Chứng minh rằng:
a3+8b3+27c3b3+8c3+27d3=ad.
Hướng dẫn:
Xét a3+8b3+27c3b3+8c3+27d3=b3k3+8c3k3+27d3k3b3+8c3+27d3=k3(b3+8c3+27d3)b3+8c3+27d3=k3(3)
Xét ad=ab.bc.cd=k.k.k=k3(4)
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh
Câu 27:
Hướng dẫn:
Từ a(y+z)=b(z+x)=c(x+y) suy ra
a(y+z)abc=b(z+x)abc=c(x+y)abc⇒y+zbc=z+xac=x+yab
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
y+zbc=z+xac=(z+x)−(y+z)ac−bc=x−yc(a−b)(1)
y+zbc=x+yab=(y+z)−(x+y)bc−ab=z−xb(c−a)(2)
z+xac=x+yab=(x+y)−(z+x)ab−ac=y−za(b−c)(3)
Từ (1), (2), (3) , suy ra y−za(b−c)=z−xb(c−a)=x−yc(a−b), điều phải chứng minh
Câu 28:
Hướng dẫn:
Áp dụng tỉ số bằng nhau , ta có :
a2016=b2018=c2020=a−b−2=b−c−2=a−c−4
⇒(a−c)216=(a−b−2)(b−c−2)=(a−b)(b−c)4
Do đó (a−c)24=(a−b)(b−c)
Câu 29:
Cho a+b+c=a2+b2+c2=1 và xa=yb=zc.
Chứng minh rằng:(x+y+z)2=x2+y2+z2
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất tỉ số bằng nhau , ta có :
xa=yb=zc=x+y+za+b+c=x+y+z(Vì a+b+c=1)
Suy ra : (x+y+z)2=x2a2=y2b2=z2c2=x2+y2+z2a2+b2+c2=x2+y2+z2 ( vì a+b+c=1)
Vậy (x+y+z)2=x2+y2+z2
Câu 30:
Hướng dẫn:
Từ xy+z+t=yz+t+x=zt+x+y=tx+y+z
⇒xy+z+t+1=yz+t+x+1=zt+x+y+1=tx+y+z+1
x+y+z+ty+z+t=x+y+z+tz+t+x=x+y+z+tt+x+y=x+y+z+tx+y+z
Trường hợp 1: Xét x+y+z+t=0
⇒x+y=−(z+t);y+z=−(t+x)
Suy ra A=−(z+t)z+t+−(t+x)t+x+z+t−(z+t)+t+x−(t+x)
A=(−1)+(−1)+(−1)+(−1)=−4
Trường hợp 2: Xét x+y+z+t≠0
Suy ra y+z+t=z+t+x=t+x+y=x+y+z⇒x=y=z=t
Suy ra A=x+xx+x+x+xx+x+x+xx+x+x+xx+x=1+1+1+1=4
Vậy biểu thức A luôn có giá trị là số nguyên
Câu 31:
Cho dãy tỉ số bằng nhau : a1a2=a2a3=...=a2019a2020=a2020a1
Tính giá trị biểu thức B=(a1+a2+...+a2020)2a12+a22+a32+...+a20202
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
a1a2=a2a3=...=a2019a2020=a2020a1=a1+a2+...+a2019+a2020a2+a3+...+a2020+a1
Suy ra : a1=a2=...=a2019=a2020
Do đó B=(a1+a1+...+a1)2a12+a12+...+a12=20202a122020.a12=2020
Câu 32:
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
ab=bc=ca=a+b+cb+c+a=1⇒a=b=c.Do đó P=a49.a51a100=1
Câu 33:
Cho a, b, c là ba số dương, thỏa mãn điều kiện : a+b−cc=b+c−aa=c+a−bb
Hãy tính giá trị của biểu thức B=(1+ba)(1+ac)(1+cb).
Hướng dẫn: Từ đề bài suy ra
a+b−cc+2=b+c−aa+2=c+a−bb+2⇒a+b+cc=a+b+ca=a+b+cb
Mà a,b,c>0 nên a+b+c>0, suy ra a=b=c
Từ đó , ta có : B=(1+aa)(1+aa)(1+aa)=8
Câu 34:
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
a+b+ca+b−c=a−b+ca−b−c=(a+b+c)−(a−b+c)(a+b−c)−(a−b−c)=2b2b=1
⇒a+b+c=a+b−c⇒2c=0⇒c=0
Câu 35:
Hướng dẫn:
Từ x−yx+y=z−xz+x suy ra x−yz−x=x+yz+x
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
x−yz−x=x+yz+x=x−y+x+yz−x+z+x=2x2z=xz(1)
x−yz−x=x+yz+x=x−y−x−yz−x−z−x=−2y−2x=yx(2)
Từ (1) và (2) , suy ra : xz=yx⇒x2=yz
Câu 36:
Hướng dẫn:
Từ x3=y4⇒x15=y20;y5=z6⇒y20=z24 suy ra x15=y20=z24
Đặt x15=y20=z24=k⇒x=15k;y=20k;z=24k
Do đó A=30k+60k+96k45k+80k+120k=186k250k=93125
Câu 37:
Cho các số a; b; c khác 0 thỏa mãn aba+b=bcb+c=cac+a
Tính giá trị của biểu thức P=ab2+bc2+ca2a3+b3+c3
Hướng dẫn:
Với a,b,c≠0 ta có : aba+b=bcb+c=cac+a
⇒a+bab=b+cbc=c+aca⇒1b+1a=1c+1b=1a+1c
⇒1a=1b=1c⇒a=b=c⇒P=1