Nhận dạng đồ thị hàm số và cách giải bài tập - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.Nhận dạng đồ thị hàm số bậc 3: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

2. Nhận dạng đồ thị hàm bậc 4 trùng phương: $y=a{x}^4+b{x}^2+c$

+) Đạo hàm:$y\text{'}=4a{x}^3+2bx=2x\left(2a{x}^2+b\right)$,

$y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 2a{x}^2+b=0\end{array}\right.$

3. Nhận dạng đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$

+ Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{d}{c}\right\}$

+ Đạo hàm: $y=\frac{ad-bc}{{\left(cx+d\right)}^2}$

+ Đồ thị hàm số có: TCĐ: $x=-\frac{d}{c}$ và TCN: $y=\frac{a}{c}$

+ Đồ thị có tâm đối xứng: $I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right)$

Tiêu chí nhận dạng:

- Dựa vào tiệm cận đứng + tiệm cận ngang.

- Dựa vào giao Ox,Oy

- Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến.

4. Lưu ý:

- Tại giao điểm với trục Ox thì thay y = 0 và biện luận.

- Tại giao điểm với trục Oy thì thay x = 0 và biện luận.

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a,b,c,d\in ℝ\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số dương trong các số  $a,b,c,d?$

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Lời giải

Chọn C

Vậy có 2 giá trị dương là a và b.

Ví dụ 2. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y=x^3-3x+1$

B.  $y=-2x^4+4x^2+1$

C. $y=-x^3+3x+1$

D. $y=2x^4-4x^2+1$ .

Lời giải

Từ đồ thị ta thấy:

- Đây là đồ thị hàm bậc 4 trùng phương

- Đồ thị hàm số có dạng hình chữ w nên a > 0

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho hàm số  có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi hàm số đã cho là hàm số nào?

A. $y=\frac{2x+1}{x-3}$

B. $y=\frac{2-x}{x+3}$

C. $y=\frac{2x+7}{x+3}$

D. $y=\frac{2x-1}{x+3}$.

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

+ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng và đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang (loại đáp án A và B).

+ Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Xét hàm số $y=\frac{2x+7}{x+3}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x+3\right)}^2}<0\left(\forall x\ne -3\right)$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nên ta loại đáp án C.

Chọn D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Đồ thị của hàm số dưới đây có dạng như đường cong bên?

A. $y=x^3-3x+1$

B. $y=x^4-2x^2+1$

C. $y=-x^4+2x^2+1$

D. $y=-x^3+3x+1$ .

Câu 2. Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. $y=-x^2+x-1$

B. $y=-x^3+3x+1$.

C. $y=x^4-x^2+1$

D. $y=x^3-3x+1$.

Câu 3. Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào ?

A. $y=x^3-3x+2$

B. $y=x^4-x^2+1$

C. $y=x^4+x^2+1$

D. $y=-x^3+3x+2$

Câu 4. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. $y=-x^3+1$

B. $y=-x^3+3x+2$.

C. $y=-x^3-x+2$

D. $y=-x^3+2$.

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên sau:

Đồ thị nào sau đây thể hiện hàm số y = f(x)?

Câu 6. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số ở dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào ?

A. y = 2x + 5.

B. x =2 .

C. x = -5

D. $y=x^3-3x^2+3$.

Câu 7. Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình bên. Chọn đáp án đúng?

A. Hàm số có hệ số a <0.

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (2-;1) và (1;2).

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hệ số tự do của hàm số khác 0.

Câu 8. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số ở dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào ?

A. $y=-x^3+x^2-1$

B. $y=x^4-x^2-1$.

C. $y=x^3-x^2-1$

D. $y=-x^4+x^2-1$.

Câu 9. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. $y=x^4-2x^2-1$

B. $y=-2x^4+4x^2-1$

C. $y=-x^4+2x^2-1$

D. $y=-x^4-2x^2-1$.

Câu 10. Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. $y=-x^4-2x^2+3$

B. $y=-x^4-2x^2-3$.

C. $y=-x^4+2x^2+3$

D. $y=x^4+2x^2+3$.

Câu 11. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. $y=x^4+x^2+2$

B. $y=x^4-x^2+2$.

C. $y=x^4-x^2+1$

D. $y=x^4+x^2+10$.

Câu 12. Trong các đồ thị hàm số sau, đồ thị nào là đồ thị của hàm số $y=\left|2x^2-x^4+1\right|$?

Câu 13. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A.  $y=\frac{x+1}{2x+1}.$

B. $y=\frac{x+3}{2x+1}.$

C.  $y=\frac{x}{2x+1}.$

D. $y=\frac{x-1}{2x+1}.$

Câu 14. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số  $y=\frac{ax+b}{cx+d}$  với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $y^{\text{'}}>0,\forall x\in ℝ$

B. $y^{\text{'}}<0,\forall x\in ℝ$

C. $y^{\text{'}}>0,\forall x\ne 1$

D. $y^{\text{'}}<0,\forall x\ne 1$

Câu 15. Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x$ có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. $y=-x^3+6x^2-9x.$

B. $y={\left|x\right|}^3+6{\left|x\right|}^2+9\left|x\right|.$

C. $y=\left|x^3-6x^2+9x\right|$

D. $y={\left|x\right|}^3-6x^2+9\left|x\right|.$

Câu 16. Cho hàm số $y=x^3+3x^2-2$ có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. $y={\left|x\right|}^3+3{\left|x\right|}^2-2.$

B. $y=\left|x^3+3x^2-2\right|.$

C. $y=\left|{\left|x\right|}^3+3x^2-2\right|.$

D. $y=-x^3-3x^2+2.$

Câu 17. Cho hàm số $y=\frac{x}{2x+1}$ có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. $y=\left|\frac{x}{2x+1}\right|.$

B. $y=\frac{\left|x\right|}{2\left|x\right|+1}.$

C. $y=\frac{x}{2\left|x\right|+1}.$

D. $y=\left|\frac{\left|x\right|}{2\left|x\right|+1}\right|.$

Câu 18. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. $y=-\left(\frac{x+2}{2x-1}\right).$

B. $y=\frac{\left|x\right|+2}{2\left|x\right|-1}$

C. $y=\left|\frac{x+2}{2x-1}\right|.$

D. $y=\frac{\left|x\right|+2}{2x-1}.$

Câu 19. Cho hàm số $y=x^3+b{x}^2+cx+d$.

Các đồ thị nào có thể là đồ thị biểu diễn hàm số đã cho?

A. (I).

B. (I) và (III).

C. (II) và (IV).

D. (III) và (IV).

Câu 20. Cho hàm số $y=x^3+b{x}^2-x+d$.

Các đồ thị nào có thể là đồ thị biểu diễn hàm số đã cho?

A. (I)

B. (I) và (II).

C. (III).

D. (I) và (IIII)

Câu 21. Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.

Trong các mệnh đề sau hãy chọn mệnh đề đúng:

A. Đồ thị (I) xảy ra khi $a<0$ và $f\text{'}\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

B. Đồ thị (II) xảy ra khi $a\ne 0$ và $f\text{'}\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

C. Đồ thị (III) xảy ra khi $a>0$ và $f\text{'}\left(x\right)=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

D. Đồ thị (IV) xảy ra khi $a>0$ và $f\text{'}\left(x\right)=0$ có nghiệm kép.

Câu 22. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là sai ?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

Câu 23. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Tìm giá trị cực đại y_CĐ và giá trị cực tiểu y_CT của hàm số đã cho.

A. y_CĐ = 3 và y_CT = -2

B. y_CĐ = 2 và y_CT= 0

C. y_CĐ = -2 và y_CT =2  

D. y_CĐ= 3   và y_CT = 0  .

Câu 24. Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y= f’(x) như hình bên. Đặt h(x) = 2f(x) – x². Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $h\left(4\right)=h(-2)>h\left(2\right)$

B. $h\left(4\right)=h(-2)<h\left(2\right)$

C. $h\left(2\right)>h\left(4\right)>h(-2)$

D. $h\left(2\right)>h(-2)>h\left(4\right)$

Câu 25. Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f²(x) + x². Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $g\left(3\right)<g(-3)<g\left(1\right)$

B. $g\left(1\right)<g\left(3\right)<g(-3)$

C. $g\left(1\right)<g(-3)<g\left(3\right)$

D. $g(-3)<g\left(3\right)<g\left(1\right)$

Câu 26. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y=x^3-3x^2+1$

B. $y=-x^3+3x^2+1$

C. $y=-x^4+2x^2+1$

D.  $y=x^4-2x^2+1$.

Câu 27.  Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y=x^4-2x^2+1$

B. $y=-x^3+3x^2+1$

C. $y=x^3-3x^2+1$

D. $y=-x^4+2x^2+1$

Câu 28. Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a,b,c,d\in ℝ\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số $a,b,c,d$?

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Đáp án