Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT.

1. Một số công thức lượng giác cần nhớ

- Hệ thức lượng giác cơ bản:

$$\begin{gathered} {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1; \\ \frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\cot }^{2}x; \\ \frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x \end{gathered}$$

2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng $\int {\sin }^{m}x.{\cos }^{n}xdx$ trong đó m, n là các số tự nhiên.

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.

Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.

2. Dạng $\int \sin ax.\cos bxdx$;

$\int \sin ax.\sin bxdx$; $\int \cos ax.\cos bxdx$;

$\int \cos ax.\sin bxdx$.

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

3. Dạng $\int \frac{{\tan }^{m}x}{{\cos }^{n}x}dx$ trong đó m, n là các số nguyên.

4. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng $\sqrt{x^2+a^2},\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{a^2-x^2}$, thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1: Tìm $I=\int {\sin }^{5}x.{\cos }^{2}xdx$.

Lời giải

Vì lũy thừa của $\sin x$ là số lẻ nên ta đổi biến

$u=\cos x\Rightarrow du=\left(\cos x\right)\text{'}dx$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

a. $A=\int \frac{{\tan }^{6}x}{{\cos }^{4}x}dx$

b.  $B=\int \frac{{\tan }^{5}x}{{\cos }^{7}x}dx$

Lời giải

a. Do lũy thừa của cosx là số nguyên dương chẵn nên đặt u = tanx. Từ công thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có:

b. Do lũy thừa của  là một số lẻ nên ta đặt $u=\frac{1}{\cos x}$, do vậy, từ công thức tổng quát chứng minh ở trên ta có

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)=x+\sin x\sin 2x.$ Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ là:

A. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{4}+\frac{2}{3}$

B. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{4}+\frac{8}{3}$

C. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{2}{3}$

D. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{8}{3}$

Lời giải:

Chọn B

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Tìm công thức sai:

A. $\int e^{x}dx=e^x+C$

B. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right)$

C. $\int \cos xdx=\sin x+C$

D. $\int \sin xdx=\cos x+C$

Câu 2. Tìm nguyên hàm của: $y=\sin x.\sin 7x$ với $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ là:

A. $\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}$

B. $-\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}$

C. $\frac{\sin 6x}{12}-\frac{\sin 8x}{16}$

D. $-\left[\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}\right]$

Câu 3. $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}dx$ bằng:

A. $2\tan 2x+C$

B. -4$\cot 2x+C$

C. 4$\cot 2x+C$

D. 2$\cot 2x+C$

Câu 4. $\int {\left(\sin 2x-c\text{os}2x\right)}^{2}dx$ bằng:

A. $\frac{{\left(\sin 2x-c\text{os}2x\right)}^3}{3}+C$

B. ${\left(-\frac{1}{2}c\text{os}2x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^2+C$

C. $x-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

D. $x+\frac{1}{4}c\text{os}4x+C$

Câu 5. $\int c{\text{os}}^2\frac{2x}{3}dx$  bằng:

A. $\frac{3}{2}c{\text{os}}^4\frac{2x}{3}+C$

B. $\frac{1}{2}c{\text{os}}^4\frac{2x}{3}+C$

C. $\frac{x}{2}+\frac{3}{8}\text{sin}\frac{4x}{3}+C$

D. $\frac{x}{2}-\frac{4}{3}c\text{os}\frac{4x}{3}+C$

Câu 6. Hàm số $F\left(x\right)=\ln \left|\sin x-3\cos x\right|$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:

A. $f\left(x\right)=\frac{\cos x+3\sin x}{\sin x-3\cos x}$

B. $f\left(x\right)=\cos x+3\sin x$

C.  $f\left(x\right)=\frac{-\cos x-3\sin x}{\sin x-3\cos x}$

D. $f\left(x\right)=\frac{\sin x-3\cos x}{\cos x+3\sin x}$

Câu 7. Tìm nguyên hàm: $\int {(1+\sin x)}^{2}dx$

A. $\frac{2}{3}x+2\cos x-\frac{1}{4}\sin 2x+C$

B. $\frac{3}{2}x-2\cos x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

C.  $\frac{2}{3}x-2\cos 2x-\frac{1}{4}\sin 2x+C$

D. $\frac{3}{2}x-2\cos x-\frac{1}{4}\sin 2x+C$

Câu 8. Cho $f\left(x\right)=\frac{4m}{\pi }+{\sin }^{2}x$. Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{8}$

A. $m=-\frac{4}{3}$

B. $m=-\frac{3}{4}$

C. $m=-\frac{3}{4}$

D. $m=\frac{3}{4}$

Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số $y=\sin 3x$

A. $-\frac{1}{3}c\text{os}3x$

B. $-3c\text{os}3x$

C. $3c\text{os}3x$

D. $\frac{1}{3}c\text{os}3x$

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=ta{n}^{3}x$ là:

A. Đáp án khác

B. ${\tan }^{2}x+1$

C. $\frac{{\tan }^{4}x}{4}+C$

D. $\frac{1}{2}{\tan }^{2}x+\ln \left|\cos x\right|+C$

Câu 11. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A.  $\sin 2x$ và ${\cos }^{2}x$

B. $\tan x^2$ và $\frac{1}{{\cos }^2{x}^2}$

C. $e^x$ và $e^{-x}$

D. $\sin 2x$ và ${\sin }^{2}x$

Câu 12. Một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{4}{{\cos }^{2}x}$ là:

A. $\frac{4x}{{\sin }^{2}x}$

B. $4\tan x$

C. $4+\tan x$

D. $4x+\frac{4}{3}{\tan }^{3}x$

Câu 13. Họ nguyên hàm của $f\left(x\right) = {\sin }^{3}x$

A. $\cos x-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$

B. $-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$

C. $-\cos x+\frac{1}{\cos x}+c$

D. $\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C$

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2\sin x+\cos x$ là:

A. $2\cos x-\mathrm{s}\text{inx}+C$

B. $2\cos x+\mathrm{s}\text{inx}+C$

C. $-2\cos x-\mathrm{s}\text{inx}+C$

D. $-2\cos x+\mathrm{s}\text{inx}+C$

Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin 2x$ là

A. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$

B. $F\left(x\right)=\cos 2x+C$

C.  $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x+C$

D. $F\left(x\right)=-\cos 2x+C$

Câu 16. Tính $\int \cos 5x.\cos 3xdx$

A. $\frac{1}{8}\sin 8x+\frac{1}{2}\sin 2x+C$

B. $\frac{1}{2}\sin 8x+\frac{1}{2}\sin 2x$

C. $\frac{1}{16}\sin 8x+\frac{1}{4}\sin 2x$

D. $\frac{-1}{16}\sin 8x-\frac{1}{4}\sin 2x$

Câu 17. $\int c\text{os}8x.\sin xdx$  bằng:

A.  $\frac{1}{8}\sin 8x.c\text{os}x+C$

B. $-\frac{1}{8}\sin 8x.c\text{os}x+C$

C.  $\frac{1}{14}c\text{os7}x-\frac{1}{18}c\text{os}9x+C$

D. $\frac{1}{18}c\text{os9}x-\frac{1}{14}c\text{os7}x+C$

Câu 18. $\int {\sin }^{2}2xdx$  bằng:

A. $\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin 4x+C$

B. $\frac{1}{3}{\sin }^{3}2x+C$

C.  $\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin 4x+C$

D. $\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 4x+C$

Câu 19. Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=x+\sin x$ thỏa mãn $F\left(0\right)=19$ là:

A. $F\left(x\right)=-c\text{os}x+\frac{x^2}{2}$

B. $F\left(x\right)=-c\text{os}x+\frac{x^2}{2}+2$

C.  $F\left(x\right)=c\text{os}x+\frac{x^2}{2}+20$

D. $F\left(x\right)=-c\text{os}x+\frac{x^2}{2}+20$

Câu 20. Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$ là:

A. $F\left(x\right)=-c\text{ot}x+x^2-\frac{{\pi }^2}{4}$

B. $F\left(x\right)=c\text{ot}x-x^2+\frac{{\pi }^2}{16}$

C. $F\left(x\right)=-c\text{ot}x+x^2$

D. $F\left(x\right)=-c\text{ot}x+x^2-\frac{{\pi }^2}{16}$

Câu 21. Cho hàm số $f\left(x\right)=\cos 3x.\cos x$. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ bằng 0 khi $x=0$ là hàm số nào trong các hàm số sau ?

A. $3\sin 3x+\sin x$

B. $\frac{\sin 4x}{8}+\frac{\sin 2x}{4}$

C. $\frac{\sin 4x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$

D. $\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{4}$

Câu 22. $\int \frac{3\cos x}{2+\sin x}dx$ bằng:

A. $3\ln \left(2+\sin x\right)+C$

B. $-3\ln \left|2+\sin x\right|+C$

C. $\frac{3\sin x}{{\left(2+\sin x\right)}^2}+C$

D. $-\frac{3\sin x}{\ln \left(2+\sin x\right)}+C$

Câu 23. Nguyên hàm của $\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ là:

A. $\ln \left|\sin x+\cos x\right|+C$

B. $\frac{1}{\ln \left|\sin x-\cos x\right|}+C$

C. $\ln \left|\sin x-\cos x\right|+C$

D. $\frac{1}{\sin x+\cos x}+C$

Câu 24. $\int \frac{\cot x}{{\sin }^{2}x}dx$  bằng:

A. $-\frac{{\cot }^{2}x}{2}+C$

B. $\frac{{\cot }^{2}x}{2}+C$

C. $-\frac{{\tan }^{2}x}{2}+C$

D. $\frac{{\tan }^{2}x}{2}+C$

Câu 25.  $\int \frac{\sin x}{c{\text{os}}^{5}x}dx$ bằng:

A. $\frac{-1}{4c{\text{os}}^{4}x}+C$

B. $\frac{1}{4c{\text{os}}^{4}x}+C$

C. $\frac{1}{4{\text{sin}}^{4}x}+C$

D. $\frac{-1}{4{\text{sin}}^{4}x}+C$

Câu 26. $\int {\sin }^{5}x.c\text{os}xdx$  bằng:

A. $\frac{{\sin }^{6}x}{6}+C$

B.$-\frac{{\sin }^{6}x}{6}+C$

C. $-\frac{c{\text{os}}^{6}x}{6}+C$

D. $\frac{c{\text{os}}^{6}x}{6}+C$

Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{-x}\cos x$  là

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{-x}\left(\sin x-\cos x\right)+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)+C$

C. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)+C$

D. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{-x}\left(\sin x-\cos x\right)+C$

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số: $I=\int \left(x-2\right)\sin 3xdx$ là:

A. F(x) = $-\frac{\left(x-2\right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

B. F(x) = $\frac{\left(x-2\right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

C. F(x) = $-\frac{\left(x+2\right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

D. F(x) = $-\frac{\left(x-2\right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{3}\sin 3x+C$

Câu 29. Biểu thức nào sau đây bằng với  $\int x^2\sin xdx$?

A. $-2x\cos x-\int x^2\cos xdx$

B. $-x^2\cos x+\int 2x\cos xdx$

C. $-x^2\cos x-\int 2x\cos xdx$

D. $-2x\cos x+\int x^2\cos xdx$

Câu 30. Đổi biến x = 2sint tích phân $I=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$ trở thành

A. $\underset{}{\overset{}{\int }}dt$

B. $\underset{}{\overset{}{\int t}}dt$

C. $\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{1}{t}dt$

D. $\underset{}{\overset{}{\int }}dt$

Đáp án