Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Khối chỏm cầu

Chỏm cầu thu được khi ta dùng một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu

Là phần màu xanh trong hình vẽ

- Các đại lượng:

+ Phần mặt cầu bị cắt là mặt đáy chỏm cầu có dạng hình tròn và bán kính là a

+ Khoảng cách từ mặt đáy tới đỉnh của chỏm là chiều cao h

- Công thức tính diện tích xung quanh

$S_{xq}=2\pi rh$

Hoặc

$S_{xq}=\pi \left(a^2+h^2\right)$

Trong đó: r là bán kính mặt cầu ; h là chiều cao của chỏm và a là bán kính đáy chỏm.

- Công thức tính thể tích chỏm cầu

$V=\pi h^2.\left(r-\frac{h}{3}\right)$

Hoặc

$V=\frac{\pi h}{6}\left(3a^2+h^2\right)$

2. Khối tròn xoay dạng đặc biệt

- Được tạo thành khi quay đường gấp khúc SMA quanh trục SO.

- Về mặt hình dạng: Gồm 2 phần

+ Hình nón bên trên

+ Hình trụ bên dưới

- Các đại lượng

+ Chiều cao SO (h)

+ Chiều cao hình trụ OI (l)

+ Bán kính đáy (r)

- Công thức tính diện tích xung quanh: Là tổng diện tích 2 phần

$S_{xq}=2\pi rl+\pi r\sqrt{{\left(h-l\right)}^2+r^2}$

- Công thức tính thể tích: Là tổng thể tích 2 phần

$V=\pi r^{2}l+\frac{1}{3}\pi r^2\left(h-l\right)$

3. Ví dụ áp dụng

VD1. Tính diện tích xung quanh và thể tích chỏm cầu trong các trường hợp

a. $r=5cm;h=10cm$

b. $a=4dm;h=6dm$

Lời giải:

VD2. Một gia đình có bồn tắm có bề mặt phẳng và lòng trong như hình vẽ dưới. Lòng trong của bồn tắm có hình dạng bán cầu, mất đi chỏm cầu. với r là bán kính khối cầu, h là chiều cao của chỏm cầu và $OH=\frac{\sqrt{2}}{2}m$ . Thể tích $\left({\text{m}}^3\right)$ lòng trong của bồn tắm là

Lời giải:

Gọi V là thể tích lòng trong của bồn tắm cần tính

$V_1$ là thể tích của nửa quả cầu bán kính r

$V_2$ là thể tích của nửa khối chỏm cầu như hình vẽ

$\Rightarrow V=V_1-V_2$

Xét tam giác OAB vuông cân tại O đường cao $OH=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow r=OA=1$

$\Rightarrow$Chiều cao chỏm cầu là: $h=r-OH=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Khi đó $V_1=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi$

$$\begin{gathered} V_2=\frac{1}{2}\pi h^2.\left(r-\frac{h}{3}\right) \\ =\frac{1}{2}\pi .{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2.\left(1-\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{3}\right) \\ =\frac{8-5\sqrt{2}}{24}\pi \\ \Rightarrow V=V_1-V_2=\frac{8+5\sqrt{2}}{24}\pi \end{gathered}$$

VD3. Một chiếc bút chì được thiết kế phần thân bút là hình trụ và đầu bút là hình nón như hình vẽ

Biết rằng chiều dài của bút là 12cm; đường kính đáy bằng 2cm và phần thân bút dài 10cm. Tính thể tích của chiếc bút.

Lời giải:

VD4. Một công ty sản xuất cốc đựng trà sữa có dạng phần thân là hình trụ và nắp đậy là chỏm cầu. Biết phần thân có bán kính đáy bằng 3cm, phần nắp đậy được tính riêng (hình vẽ minh họa). Chi phí sản xuất cốc là bao nhiêu biết phần thân có giá 1000 đ/dm² và phần nắp có giá 1500 đ/dm².

Lời giải:

Gọi S là diện tích của cốc đựng trà sữa

$S_1$ là diện tích phần thân hình trụ bán kính $r=3cm$; chiều cao $h=10cm$

$$\begin{gathered} \Rightarrow S_1=2\pi \mathrm{.3.10}=60\pi c{m}^2 \\ =\frac{3}{5}\pi \text{ d}{m}^2 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Chi phí sản xuất là:

$\frac{3}{5}\pi .1000\approx 1885$đồng

$S_2$ là diện tích phần chỏm cầu bán kính $a=3cm$; chiều cao $h=4cm$

$$\begin{gathered} \Rightarrow S_2=\pi \left(3^2+4^2\right) \\ =25\pi c{m}^2=\frac{1}{4}\pi \text{d}{m}^2 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Chi phí sản xuất là: $\frac{1}{4}\pi .1500\approx 1178$đồng

Vậy tổng chi phí là khoảng 3600 đồng.