Các phương pháp tính nguyên hàm và cách giải bài tập - Toán lớp 12

1. Phương pháp biến đổi biến số.

Nếu thì $\int f\left[u\left(x\right)\right].u\text{'}\left(x\right)\text{d}x=F\left[u\left(x\right)\right]+C$.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm $I=\int f\left(x\right)\text{d}x$, trong đó ta có thể phân tích $f\left(x\right)=g\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)$ thì ta thực hiện phép đổi biến số $t=u\left(x\right)$, suy ra $\text{d}t=u\text{'}\left(x\right)\text{d}x$.

Khi đó ta được nguyên hàm: $\int g\left(t\right)\text{d}t=G\left(t\right)+C=G\left[u\left(x\right)\right]+C.$

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$ theo t thì ta phải thay $t=u\left(x\right)$.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chọn $x=\phi \left(t\right)$ , trong đó $\phi \left(t\right)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp .

Bước 2: Lấy vi phân hai vế : $dx=\phi \text{'}\left(t\right)dt$

Bước 3: Biến đổi : $f\left(x\right)dx=f\left[\phi \left(t\right)\right]\phi \text{'}\left(t\right)dt=g\left(t\right)dt$

Bước 4: Khi đó tính : $\int f\left(x\right)dx=\int g\left(t\right)dt=G\left(t\right)+C$.

Một số cách đổi biến số hay gặp.

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$.

Khi đó:  $\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u.\left(*\right)$

Để tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)\text{d}x$ bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1. Chọn u, v sao cho từ $f\left(x\right)\text{d}x=u\text{d}v$ (chú ý $\text{d}v=v\text{'}\left(x\right)\text{d}x$).

           Sau đó tính $v=\int \text{d}v$ và $\text{d}u=u\text{'}.\text{d}x$.

Bước 2. Thay vào công thức $\left(*\right)$ và tính $\int v\text{d}u$.

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng $\int \text{p(x)q(x)dx}$ trong các trường hợp sau:

Chú ý: Với p(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Lưu ý: Chọn u: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.

- Mở rộng: Quy tắc đường chéo để tính tích phân từng phần

 Áp dụng nhanh trong trường hợp u là một đa thức bậc cao.

Ở cột u, lấy đạo hàm liên tiếp đến khi được kết quả bằng 0, hoặc đến khi lấy đạo hàm phức tạp hơn, hoặc đến khi lặp lại thì dừng.

Ở cột v, tìm nguyên hàm tương ứng của v.

Ví dụ áp dụng: Tìm các nguyên hàm sau:

1. $\int (x+2)e^{2x}dx$

2. $\int (2x-1)\cos xdx$

3. $\int (3x^2-1)\ln xdx$

Giải: Áp dụng quy tắc đường chéo:

1:  $\int (x+2)e^{2x}dx$

Căn cứ vào bảng ta được:

$\int (x+2)e^{2x}dx=\frac{1}{2}(x+2)e^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$

2. $\int (2x-1)\cos xdx$

 Căn cứ vào bảng ta được:

$$\begin{gathered} \int (2x-1)\cos xdx \\ =\left(2x-1\right)\sin x+2cosx+C \end{gathered}$$

3.  $\int (3x^2-1)\ln xdx$

Căn cứ vào bảng ta được:

B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{{(x+2)}^2}$ trên khoảng $\left(-2;+\infty \right)$ là:

A. $2\ln (x+2)+\frac{1}{x+2}+C.$

B. $2\ln (x+2)-\frac{1}{x+2}+C.$

C. $2\ln (x+2)-\frac{3}{x+2}+C.$

D. $2\ln (x+2)+\frac{3}{x+2}+C.$

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 2. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của $g\left(x\right)=\frac{\ln x}{{\left(x+1\right)}^2}$?

A. $\frac{-\ln x}{x+1}+\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+1999$

B. $\frac{-\ln x}{x+1}-\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+1998$ .

C. $\frac{\ln x}{x+1}-\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+2016$

D. $\frac{\ln x}{x+1}+\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+2017$ .

Lời giải

Gọi nguyên hàm của hàm số đã cho là S, ta có :

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=\frac{-1}{x+1}\end{array}\right.$

Chọn A.

Ví dụ 3. Tìm một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)$?

A. $x^4\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)-2x^2$ .

B. $\left(\frac{x^4-16}{4}\right)\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)-2x^2$ .

C. $x^4\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)+2x^2$ .

D. $\left(\frac{x^4-16}{4}\right)\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)+2x^2$ .

Lời giải

Khi đó ta có một nguyên hàm của hàm số đã cho là $\left(\frac{x^4-16}{4}\right)\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)-2x^2$

Chọn B.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Nguyên hàm của $\int \frac{x}{x^2+1}dx$ là:

A. $\ln \left|t\right|+C$ , với $t=x^2+1$

B. $-\ln \left|t\right|+C$, với $t=x^2+1$.

C. $\frac{1}{2}\ln \left|t\right|+C$ , với $t=x^2+1$.

D. $-\frac{1}{2}\ln \left|t\right|+C$ , với $t=x^2+1$.

Câu 2. Với phương pháp đổi biến số $\left(x\to t\right)$ , nguyên hàm $\int \frac{\ln 2x}{x}dx$ bằng:

A. $\frac{1}{2}{t}^2+C$ .

B. $t^2+C$ .

C. $2t^2+C$ .

D. $4t^2+C$

Câu 3. Nguyên hàm của $I=\int x\ln xdx$ bằng:

A. $\frac{x^2}{2}\ln x-\int xdx+C$ .

B. $\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{1}{2}xdx+C$ .

C. $x^2\ln x-\int \frac{1}{2}xdx+C$ . 

D. $x^2\ln x-\int xdx+C$ .

Câu 4. Họ nguyên hàm của $\int e^x\left(1+x\right)dx$ là:

A. $I=e^x+x{e}^x+C$ .

B. $I=e^x+\frac{1}{2}x{e}^x+C$ .

C. $I=\frac{1}{2}{e}^x+x{e}^x+C$ .

D. $I=2e^x+x{e}^x+C$ .

Câu 5. $\int \left(2x\sqrt{x^2+1}+x\ln x\right)dx$ có dạng $\frac{a}{3}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^3+\frac{b}{6}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2+C$, trong đó a,b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. Không tồn tại

Câu 6. Tính $F\left(x\right)=\int \frac{dx}{x\sqrt{2\ln x+1}}$

A. $F\left(x\right)=2\sqrt{2\ln x+1}+C$

B. $F\left(x\right)=\sqrt{2\ln x+1}+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{4}\sqrt{2\ln x+1}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2\ln x+1}+C$

Câu 7. Tính $F\left(x\right)=\int \frac{x^3}{x^4-1}dx$

A. $F\left(x\right)=\ln \left|x^4-1\right|+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{4}\ln \left|x^4-1\right|+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|x^4-1\right|+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|x^4-1\right|+C$

Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x\sqrt{x^2+1}$  là:

A. $\frac{2}{3}\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$

B.  $-2\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$

C. $\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$

D. $\frac{-1}{3}\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$

Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$  là:

A. $\sqrt{x^2+1}+C$

B. $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}+C$

C. $2\sqrt{x^2+1}+C$

D. $4\sqrt{x^2+1}+C$

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x}{x^2+4}$ là:

A. $2\ln \left|x^2+4\right|+C$

B. $\frac{\ln \left|x^2+4\right|}{2}+C$

C. $\ln \left|x^2+4\right|+C$

D. $4\ln \left|x^2+4\right|+C$

Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{e^x}{e^x+3}$ là:

A. $-e^x-3+C$

B. $3e^x+9+C$

C. $-2\ln \left|e^x+3\right|+C$

D. $\ln \left|e^x+3\right|+C$

Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}$  là:

A. ${\ln }^{2}x+C$

B. $\ln x+C$

C. $\frac{{\ln }^{2}x}{2}+C$

D. $\frac{\ln x}{2}+C$

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x{.2}^{x^2}$  là:

A. $\frac{1}{\ln {2.2}^{x^2}}+C$

B. $\frac{1}{\ln 2}{.2}^{x^2}+C$

C. $\frac{\ln 2}{2^{x^2}}+C$

D. $\ln {2.2}^{x^2}+C$

Câu 14. Tính $\int \frac{2x}{{\left(x^2+9\right)}^4}\text{ d}x$ ta được kết quả là:

A. $-\frac{1}{5{\left(x^2+9\right)}^5}+C$

B. $-\frac{1}{3{\left(x^2+9\right)}^3}+C$

C. $-\frac{4}{{\left(x^2+9\right)}^5}+C$

D. $-\frac{1}{{\left(x^2+9\right)}^3}+C$

Câu 15. Một nguyên hàm của $-\frac{1}{{\left(x^2+9\right)}^3}+C$ là:

A. $\frac{1}{2}\ln \left|x+1\right|$

B. $2\ln \left(x^2+1\right)$

C. $\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$

D. $\ln (x^2+1)$

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x{e}^x$ là:

A.  $x{e}^x+e^x+C$

B. $e^x+C$

C. $\frac{x^2}{2}{e}^x+C$

D. $x{e}^x-e^x+C$

Câu 17. Kết quả của $\int \ln xdx$ là:

A. $x\ln x+x+C$

B. Đáp án khác        

C.  $x\ln x+C$

D. $x\ln x-x+C$

Câu 18. Kết quả của $\int x\ln xdx$ là:

A. $x\ln x+x+C$

B. Đáp án khác        

C. $x\ln x+C$

D. $x\ln x-x+C$

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x^2+x+4}$  là:

A. $2\ln \left|x^2+x+4\right|+C$

B.  $\ln \left|x^2+x+4\right|+C$

C. $\frac{\ln \left|x^2+x+4\right|}{2}+C$

D. $4\ln \left|x^2+x+4\right|+C$

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2+x}{x^2+4x-4}$ là :

A. $\frac{1}{2}.\ln \left|x^2+4x-4\right|+C$

B. $\ln \left|x^2+4x-4\right|+C$

C. $2\ln \left|x^2+4x-4\right|+C$

D. $4\ln \left|x^2+4x-4\right|+C$

Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\ln 2x}{x}$ là :

A. $\ln 2x+C$

B. ${\ln }^{2}x+C$

C. $\frac{{\ln }^{2}2x}{2}+C$

D. $\frac{\ln x}{2}+C$

Câu 22. Câu nào sau đây sai?

A. Nếu $F\text{'}\left(t\right)=f\left(t\right)$ thì $F^{\text{'}}\left(u\left(x\right)\right)=f\left(u\left(x\right)\right)$.

B.  $\int f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=F\left(t\right)+C$$\Rightarrow \int f\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=F\left(u\left(x\right)\right)+C$

C. Nếu $G\left(t\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left(t\right)$ thì $G\left(u\left(x\right)\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left(u\left(x\right)\right).u^{\text{'}}\left(x\right)$.

D. $\int f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=F\left(t\right)+C\Rightarrow \int f\left(u\right)\text{\hspace{0.17em}d}u=F\left(u\right)+C$ với $u=u\left(x\right)$.

Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu $\int f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=F\left(t\right)+C$ thì $\int f\left(u\left(x\right)\right).u^{\text{'}}\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=F\left(u\left(x\right)\right)+C$.

B. Nếu $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ thì $\int \left[F\left(x\right)-G\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x$ có dạng $h\left(x\right)=Cx+D$ ( C,D là các hằng số và $C\ne 0$).

C. $F\left(x\right)=7+{\sin }^{2}x$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=\sin 2x$.

D. $\int \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)}{u\left(x\right)}\text{d}x=\sqrt{u\left(x\right)}+C$.

Câu 24. Để tính $\int \frac{e^{\ln x}}{x}\text{d}x$ theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A. $t=e^{\ln x}.$

B. $t=\ln x.$

C. $t=x.$

D. $t=\frac{1}{x}.$

Câu 25. F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=x{e}^{x^2}$. Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+2$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}+5\right)$

C. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$

D. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(2-e^{x^2}\right)$

Câu 26. Để tính $\int x\ln \left(2+x\right)\text{d}x$ theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ \text{d}v=\ln \left(2+x\right)\text{d}x\end{array}\right..$

B. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2+x\right)\\ \text{d}v=x\text{d}x\end{array}\right..$

C. $\left\{\begin{array}{l}u=x\ln \left(2+x\right)\\ \text{\hspace{0.17em}d}v=\text{d}x\end{array}\right..$

D. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2+x\right)\\ \text{d}v=\text{d}x\end{array}\right..$

Câu 27. Hàm số $f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x$ có một nguyên hàm $F\left(x\right)$ là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi $x=0$?

A. $F\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x$

B. $F\left(x\right)=\left(x-2\right)e^x$

C. $F\left(x\right)=\left(x+1\right)e^x+1$

D. $F\left(x\right)=\left(x-2\right)e^x+3$

Câu 28. Một nguyên hàm của $f\left(x\right)=x\ln x$ là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi $x=1$?

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}\left(x^2+1\right)$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x+\frac{1}{4}x+1$

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}x\ln x+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)$

D. Một kết quả khác.

Câu 29. Cho $F\left(x\right)=\frac{1}{2x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left(x\right)}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right)\ln x$

A. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\ln xdx=-\left(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{2x^2}\right)+C$

B. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\ln xdx=\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{x^2}+C$

C. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\ln xdx=-\left(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right)+C$

D. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\ln xdx=\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{2x^2}+C$

Câu 30. Tính nguyên hàm $I=\int \frac{\ln \left(lnx\right)}{x}\text{d}x$ được kết quả nào sau đây?

A. $I=\ln x.\ln \left(\ln x\right)+C.$

B. $I=\ln x.\ln \left(\ln x\right)+\ln x+C.$

C. $I=\ln x.\ln \left(\ln x\right)-\ln x+C.$

D. $I=\ln \left(\ln x\right)+\ln x+C.$

Đáp án