Công thức tìm tâm, bán kính của mặt cầu chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Định nghĩa mặt cầu

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r $\left(r>0\right)$ được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. Đoạn OM là bán kính của mặt cầu.

- Người ta kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là S(O; r) hay (S)

- Nếu hai điểm C, D nằm trên (S) thì đoạn CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng r

- Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó.

2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

- Phương pháp:

+ Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O cố định một khoảng bằng r cho trước là mặt cầu tâm O bán kính r

+ Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.

+ Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách tứ M tới A, B cố định bằng một hằng số $k^2$ là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn AB và bán kính $r=\frac{1}{2}\sqrt{2k^2-A{B}^2}$

+ Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp hoặc khối lăng trụ có tâm nằm trên trục của đa giác đáy (qua tâm đường tròn ngoại tiếp và vuông góc với đa giác đáy)

+ Mặt cầu giao mặt phẳng theo đường tròn có bán kính r và khoảng cách từ tâm O của mặt cầu tới mặt phẳng là d. Khi đó bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{d^2+r^2}$

3. Các ví dụ

VD1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu trong các trường hợp sau đây:

a. Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương

b. Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương

c. Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương

Lời giải:

a. Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’. Khi đó O cách đều 8 đỉnh của hình lập phương $\Rightarrow$ tâm của mặt cầu đi qua 8 đỉnh là O

Bán kính $r=OA=\frac{1}{2}A\text{}C\text{'}$

Ta có tam giác AA’C vuông tại A’ có :

$$\begin{gathered} AA\text{'}=a;A\text{'}C\text{'}=a\sqrt{2} \\ \Rightarrow A\text{}C\text{'}=a\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vậy $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

b. Ta thấy khoảng cách từ O tới cách cạnh của hình lập phương đều bằng nhau.

Gọi H là trung điểm của AA’ $\Rightarrow r=OH$

Mà OH là đường trung bình tam giác AA’C’ nên $OH=\frac{1}{2}A\text{'}C\text{'}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương là mặt cầu $\left(O;\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$

c. Ta thấy O cách đều 6 mặt bên của hình lập phương $d\left(O;\left(ABCD\right)\right)=OI$ (I là tâm của hình vuông)

Do đó $r=OI=\frac{1}{2}AA\text{'}=\frac{a}{2}$

Vậy mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương là mặt cầu $\left(O;\frac{a}{2}\right)$

VD2. Cho 2 điểm A và B cố định và $AB=6$ . Một điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2=40$. Chứng minh rằng M thuộc một mặt cầu cố định. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

VD3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, $SC=2a$. Biết SA vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Lời giải:

Ta xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do ABC vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm D của AC.

Từ D ta kẻ đường thẳng d vuông góc với đáy $\Rightarrow$ d // SA

Gọi O là giao của d với SC $\Leftarrow O$là trung điểm của SC

Ta thấy O thuộc trục của đáy nên $OA=OB=OC$

Mặt khác O là trung điểm của SC nên $OC=OS$

Do vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính $r=\frac{1}{2}SC=a$

VD4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh a. Cạnh bên $SA=2a$. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Lời giải:

Do S.ABC đều nên trục là đường cao SH

$\Rightarrow O\in SH$

Ta có H là trọng tâm tam giác ABC nên :

$$\begin{gathered} AH=\frac{a\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2} \\ =\frac{a\sqrt{33}}{3} \end{gathered}$$

Kẻ đường trung trực d của SA. Khi đó $O=d\cap SH$

Tam giác SIO và SHA đồng dạng nên:

$$\begin{gathered} \frac{SO}{SA}=\frac{SI}{SH}=\frac{SA}{2SH} \\ \Rightarrow SO=\frac{S{A}^2}{2SH}=\frac{2a\sqrt{33}}{11} \end{gathered}$$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $\left(O;\frac{2a\sqrt{33}}{11}\right)$

VD5. Cho mặt cầu (S) tâm O. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là $36\pi$. Biết $d\left(O,\left(P\right)\right)=4$. Tính bán kính R của (S).

Lời giải:

Bán kính đường tròn thiết diện là: $r=6$

Khi đó bán kính của (S) là:

$$\begin{gathered} R=\sqrt{d^2+r^2} \\ =\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13} \end{gathered}$$