1. Lí thuyết

a. Tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left(a;+\infty \right)$, $\left(-\infty ;b\right)$ hoặc $\left(-\infty ;+\infty \right)$). Đường thẳng $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0,\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Nghĩa là các giới hạn trên phải tồn tại hữu hạn

b. Tiệm cận đứng

- Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$$\begin{gathered} \underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ,\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \\ \underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ,\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \end{gathered}$$

Nghĩa là các giới hạn trái, phải tiến ra vô cùng.

2. Cách xác định TCĐ và TCN

- Dựa vào định nghĩa, ta tính:

+)  $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$. Nếu giới hạn này là một số hữu hạn  $y_0$

thì ta kết luận đường TCN là $y=y_0$.

+) $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Trong đó $x_0$ là điểm mà hàm số không xác định.

Nếu ít nhất một trong hai giới hạn này tiến tới vô cùng thì ta kết luận TCĐ là $x=x_0$

- Hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCN là $y=\frac{a}{c}$ và TCĐ là $-\frac{d}{c}$

3. Ví dụ

VD1. Tìm các TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

a. $y=\frac{x+1}{x-2}$

b.  $y=\frac{3-2x}{3x+1}$

Lời giải:

a. TXĐ: $D=ℝ\text{}\left\{2\right\}$

Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+1}{x-2}=1$ nên đường thẳng $y=1$ là TCN của đồ thị hàm số

Do $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x+1}{x-2}=+\infty$ (hoặc $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x-2}=-\infty$ ) nên đường thẳng $x=2$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

b. TXĐ: $D=ℝ\text{}\left\{-\frac{1}{3}\right\}$

Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3-2x}{3x+1}=-\frac{2}{3}$ nên đường thẳng $y=-\frac{2}{3}$ là TCN của đồ thị hàm số

Vì $\underset{x\to -{\frac{1}{3}}^{+}}{\lim }\frac{3-2x}{3x+1}=+\infty$ (hoặc $\underset{x\to -{\frac{1}{3}}^{-}}{\lim }\frac{3-2x}{3x+1}=-\infty$) nên đường thẳng $x=-\frac{1}{3}$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

VD2. Tìm các TCĐ và TCN của đồ thị hàm số sau:

a.  $y=\frac{x^2-12x+27}{x^2-4x+5}$

b. $y=\frac{2-x}{x^2-4x+3}$

Lời giải:

a. TXĐ: $D=ℝ\Rightarrow$  đồ thị hàm số không có TCĐ

Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-12x+27}{x^2-4x+5}=1$ nên đường thẳng $y=1$ là TCN của đồ thị hàm số.

b. TXĐ: $D=ℝ\text{}\left\{1;3\right\}$

Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2-x}{x^2-4x+3}=0$ nên đường thẳng $y=0$  là TCN của đồ thị hàm số.

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2-x}{x^2-4x+3}=+\infty$ nên $x=1$ là một đường TCĐ

Vì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2-x}{x^2-4x+3}=-\infty$ nên $x=3$ là một đường TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có TCN là $y=0$; TCĐ là $x=1$ và $x=3.$

4. Luyện tập

Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a. $y=\frac{x}{3-x}$

b. $y=\frac{2x+3}{3-2x}$

c. $y=\frac{5}{x+5}-2$

Bài 2. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:

a. $y=\frac{x^2+3x}{x^2-4}$

b. $y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+5}$

c. $y=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$

Bài 3. Đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x^2-3x-4}+x$ có bao nhiêu đường tiệm cận

Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-mx+2}{x^2-1}$ có đúng 2 đường tiệm cận.