Mặt cầu và phương pháp giải bài tập - Toán lớp 12

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Định nghĩa mặt cầu

- Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R (R > 0), kí hiệu là S(O; R).

Khi đó: S(O; R) = {M | OM = R}.

- Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu

Ví dụ: dây cung CM, MD, CD

- Đường kính là dây cung đi qua tâm mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2R.

Ví dụ: CD là đường kính của mặt cầu S(O; R) thì CD = 2R.

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và một điểm. Khối cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì trong không gian. Nếu:

- Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu S(O; R). Khi đó đoạn OA là bán kính mặt cầu

Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho A, O, B thẳng hàng thì đoạn AB là đường kính của mặt cầu

- Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R)

- Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O; R)

- Định nghĩa khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính R.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(I; R)và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của I lên a hay d (I; a) = IH. Nếu:

+) IH > R: a không cắt mặt cầu hay mặt cầu S(I; R)và đường thẳng a không có điểm chung.

+) IH = R: a với mặt cầu S(I; R)có một điểm chung duy nhất là H. Ta nói a là một tiếp tuyến của mặt cầu S(I; R)và H là tiếp điểm.

- Điều kiện cần và đủ để đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) tại điểm H là a vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.  

+) IH < R: a cắt mặt cầu S(I; R) tại hai điểm A, B phân biệt.

Nhận xét: Tam giác IAB cân tại I, H là trung điểm của đoạn AB và

$R^2=I{H}^2+A{H}^2=I{H}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$

+) Đặc biệt: IH = 0: a đi qua tâm I của mặt cầu. Khi đó $I\equiv H$

- Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó:

a. Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

b. Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(I; R)và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) hay $d\left(I;\left(P\right)\right)=IH$. Nếu

+) IH > R: Mặt cầu S(I; R)và mặt phẳng (P) không có điểm chung

+) IH = R: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S (I; R). Ta nói mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm

- Điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I; R)là: (P) vuông góc với bán kính IH tại điểm H.

+) IH < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm $r=\sqrt{R^2-I{H}^2}$

+) Đặc biệt: IH = 0 thì mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính. Giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường thẳng có bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.

5. Khái niệm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp.

- Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện.

- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.

6. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho mặt cầu S(I; R).

Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2$

Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Chú ý:

- Diện tích S của mặt cầu bán kính R bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

- Thể tích V của khối cầu bán kính R bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó. 

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải.

Dạng 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Phương pháp giải:

- Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

- Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

- Giao điểm I của (P) và d (hoặc của ∆ và d) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

- Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Dạng 1.1: Hình chóp có các điểm cùng nhìn một cạnh của hình chóp dưới một góc vuông.

+) Hình chóp tam giác:

A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm I của SC

Bán kính là: $R=\frac{SC}{2}$

+) Hình chóp tứ giác

A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm J của SC

Bán kính mặt cầu là: $R=\frac{SC}{2}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC = 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

Lời giải

Ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\left(hinhvuongABCD\right)\\ BC\perp SA\left(SA\perp \left(ABCD\right)\right)\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\\ \Rightarrow BC\perp SB\end{array}$

Tương tự: $CD\perp SD$

Lại có: $SA\perp \left(ABC\text{D}\right)\Rightarrow SA\perp AC$

Suy ra: A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: $R=\frac{SC}{2}=\frac{2a}{2}=a.$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = 4a, AB = 2a, BC = 4a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Lời giải

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow BC\perp \left(SAB\right) \\ \Rightarrow BC\perp SB \end{gathered}$$

Ta có: $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AC$

Suy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông.

Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là trung điểm SC, bán kính $R=\frac{SC}{2}$

Ta có: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$ (Định lý Py – ta – go trong tam giác vuông ABC)

$\Rightarrow A{C}^2=20a^2$

$\Rightarrow SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=6a$(Định lý Py – ta – go trong tam giác vuông SAC)

Vậy R = 3a.

Dạng 1.2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều.

Phương pháp giải:

Phương pháp tự luận:

Cho hình chóp có đỉnh là S, gọi O là tâm của đáy. Suy ra SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO) (các hình dưới), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA và cắt SO tại I.

Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta có:

Cụ thể:

- Hình chóp đều S.ABC

- Hình chóp S.ABC có SA = SB = SC

Phương pháp trắc nghiệm:

Giả sử hình chóp đều có cạnh bên là SA, đường cao SO thì bán kính mặt cầu là: $R=\frac{S{A}^2}{2SO}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a và cạnh bên SA = 2a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.

Lời giải

Gọi O là tâm tam giác ABC.

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Suy ra:

$$\begin{gathered} R=\frac{S{A}^2}{2SO}=\frac{S{A}^2}{2\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}} \\ \Rightarrow R=\frac{S{A}^2}{2\sqrt{S{A}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}AB\right)}^2}} \\ \Rightarrow R=\frac{2\sqrt{33}}{11}a \end{gathered}$$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $S=4\pi R^2=\frac{48}{11}\pi a^2$

Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên $SO\perp \left(ABC\text{D}\right)$

$$\begin{gathered} BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2} \\ =\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=a\sqrt{6} \\ OD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{6}}{2} \\ SO=\sqrt{S{D}^2-O{D}^2} \\ \Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{6}}{2} \end{gathered}$$

Vậy OS = OA = OB = OC = OD nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:

$V=\frac{4}{3}\pi S{O}^3 =\pi a^3\sqrt{6}$

Dạng 1.3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Phương pháp giải:

Phương pháp tự luận:

Cho hình chóp $S.A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$ có cạnh bên $S{A}_1\perp \left(A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n\right)$ và đáy $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$ nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$được xác định như sau:

- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp $\left(A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n\right)$  tại O.

- Trong mp $(d,S{A}_1)$ ta dựng đường trung trực ∆ của cạnh $S{A}_1$, cắt $S{A}_1$tại M, cắt d tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính $R=I{A}_1=I{A}_2=\mathrm{...}=I{A}_n=IS$

- Tìm bán kính:

Có $MIO{A}_1$ là hình chữ nhật

Xét tam giác $M{A}_{1}I$ vuông tại M có:

$$\begin{gathered} R=A_{1}I=\sqrt{M{I}^2+M{A_1}^2} \\ =\sqrt{A_1{O}^2+{\left(\frac{S{A}_1}{2}\right)}^2} \end{gathered}$$

Phương pháp trắc nghiệm:

Gọi h là chiều cao hình chóp và $R_d$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì bán kính mặt cầu là: $R=\sqrt{{R_d}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a, SA = 10a. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Lời giải

Gọi O là trung điểm BC, N là trung điểm SA.

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A.

Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng (SA, d) vẽ trung trực cạnh SA và cắt d tại I. Khi đó NI là đường trung trực của SA.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bán kính R = IA = IB = IC = IS

Có tứ giác NIOA là hình chữ nhật

Xét tam giác NAI vuông tại N có

$$\begin{gathered} R=IA=\sqrt{N{I}^2+N{A}^2} \\ \Rightarrow R=\sqrt{{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow R=\sqrt{\frac{A{B}^2+A{C}^2}{4}+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2} \\ \Rightarrow R=5a\sqrt{2} \end{gathered}$$

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, ABC đều cạnh a, SA = 2a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Lời giải

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC, N là trung điểm SA.

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SA, d) vẽ trung trực cạnh SA cắt d tại I. Khi đó NI là đường trung trực của SA.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R = IA = IB =IC = IS

Ta có tứ giác NIOA là hình chữ nhật

Xét tam giác NAI vuông tại N có:

Dạng 1.4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Phương pháp giải:

Gọi h là chiều cao hình chóp và $R_b,R_d$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy và $\partial$ là độ dài cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy thì bán kính mặt cầu là:

$R=\sqrt{{R_b}^2+{R_d}^2-{\left(\frac{\partial }{2}\right)}^2}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên $\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)$ và tam giác SAB đều cạnh bằng 1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Lời giải

Gọi H, M lần lượt là trung điểm AB, BC.

Do $\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)$ AB; $\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right)=AB$ ; SH $\perp$AB (SAB là tam giác đều)

Khi đó SH $\perp$ (ABC).

Có M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do tam giác ABC vuông tại A)

Dựng d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (d qua M và song song SH)

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và ∆ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB, ∆ cắt d tại I

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Suy ra bán kính R = SI

Xét tam giác SGI có:

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB đều, O là giao điểm của AC và BD

Tam giác SAB đều nên $SG=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy

$$\begin{gathered} R_d=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}}{2} \\ =\frac{\sqrt{a^2+a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên

$R_b=SG=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Cạnh chung của mặt bên (SAB) và mặt đáy là $\partial =AB=a$

Theo công thức ở lý thuyết, vậy bán kính mặt cầu là

$$\begin{gathered} R=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2} \\ =\frac{a\sqrt{21}}{6} \end{gathered}$$

Dạng 2: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

Phương pháp giải: Nếu đặt V là thể tích khối chóp và $S_{tp}$ là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp thì bán kính r của mặt cầu nội tiếp khối chóp: $r=\frac{3V}{S_{tp}}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính diện tích S của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD; I là trung điểm CD

Suy ra AH vuông góc (BCD) (do ABCD là tứ diện đều)

Ta có:

$BI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Có: $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Thể tích tứ diện ABCD là: 

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}{S}_{BCD}AH \\ =\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12} \end{gathered}$$

Gọi G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD ta có:

$$\begin{gathered} d\left(G,\left(ACD\right)\right)=d\left(G,\left(ABC\right)\right) \\ =d\left(G,\left(ABD\right)\right)=d\left(G,\left(BCD\right)\right)=r \end{gathered}$$

Với r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = 8, BC = 6, SA = 6, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

Lời giải

Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính của hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC

(do tam giác SBC, và tam giác SAC lần lượt vuông tại B và A, sử dụng định lý Py – ta – go ta tính được các cạnh góc vuông, từ đó tính diện tích).

Dạng 3: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ đứng tam giác, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Phương pháp giải:

a. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng tam giác, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

+ Phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:

Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ

Suy ra $O_1{O}_2$ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy

Gọi I là trung điểm của $O_1{O}_2$

$$\begin{gathered} \Rightarrow IA=IB=IC=IA\text{'} \\ =IB\text{'}=IC\text{'}\left(=ID=ID\text{'}\right) \end{gathered}$$

Suy ra trung điểm I của $O_1{O}_2$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Bán kính

$$\begin{gathered} R=IA=\sqrt{A\text{'}{O_1}^2+I{O_1}^2} \\ =\sqrt{A\text{'}{O_1}^2+{\left(\frac{O_1{O}_2}{2}\right)}^2} \end{gathered}$$

+ Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là R = $\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

b. Mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng tam giác, hình lập phương

- Hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a, bán kính $r=\frac{a}{2}$

- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có ABCD là hình chữ nhật

Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B (do giả thiết cân)

$$\begin{gathered} S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=2\Rightarrow A{B}^2=4 \\ \Rightarrow AB=BC=2 \end{gathered}$$

Gọi I là trung điểm của AC, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

Khi đó O nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại I.

Xét tam giác ABC: 

$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\Rightarrow IC=\sqrt{2}$

Lại có: OC = R = 3

Xét tam giác IOC:

$IO=\sqrt{O{C}^2-I{C}^2}=\sqrt{7}$

Suy ra chiều cao của khối hộp là $2\sqrt{7}$

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

$\begin{array}{l}{S}_{tp}=S_{2day}+S_{xq}\\ \Rightarrow S_{tp}={2.2}^2+4\left(2.2\sqrt{7}\right)\\ =8+16\sqrt{7}\end{array}$

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AD = a, BD = 2a, góc giữa đường chéo AB’ của mặt bên (ABB’A’) với mặt phẳng đáy là 60 độ. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Lời giải

Dạng 4: Bài toán cực trị

Phương pháp giải: Phụ thuộc vào dữ kiện đề cho, áp dụng các công thức liên quan ở phần lý thuyết.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho mặt cầu bán kính R = 5cm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng $8\pi$cm. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc (S) $\left(D\notin \left(C\right)\right)$ và tam giác ABC đều. Tìm thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD.

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P).

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng $8\mathrm{\pi }$cm

Suy ra bán kính đường tròn $R=\frac{8\pi }{2\pi }=4cm$

Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng $4\sqrt{3}cm$

$S_{ABC}=\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}\left(c{m}^2\right)$ không đổi

Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất khi $d\left(D,\left(ABC\right)\right)$ lớn nhất

$\iff$ D và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d, H là trực tâm tam giác SBC. Biết rằng khi S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường (C). Trong số các mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ nhất là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi M là trung điểm BC

Suy ra $AM\perp BC;SM\perp BC$

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow MG=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Suy ra $MG.MA=\frac{a^2}{4}$

Mặt khác H là trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH và tam giác SMC đồng dạng

Suy ra: $\frac{BM}{SM}=\frac{MH}{MC}$

$\iff MH.MS=BM.MC=\frac{a^2}{4}$

Do đó $MH.MS=MG.MA$

hay $\frac{MH}{MG}=\frac{MA}{MS}$

Nên tam giác MHG và tam giác MAS đồng dạng

Suy ra: $GH\perp SM$

Vì H thuộc (SAM) cố định khi S thay đổi trên d và $GH\perp SM$

Nên (C) là một phần của đường tròn đường kính GM

Do đó trong các mặt cầu chứa (C) mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu nhận GM làm đường kính.

Nên bán kính mặt cầu $R=\frac{GM}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{12}$

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng. Các tiếp điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác có các cạnh là 4, 2 và 3. Tích bán kính của ba hình cầu trên là bao nhiêu?

A. 12

B. 3

C. 6

D. 9

Bài 2: Trong không gian cho 2 điểm phân biệt A và B. Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua A và B là

A. một đường thẳng

B. một mặt phẳng

C. một đường tròn   

D. một mặt cầu

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 độ. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

A.  $\frac{25\pi a^2}{3}$

B. $\frac{32\pi a^2}{3}$

C. $\frac{8\pi a^2}{3}$

D. $\frac{\pi a^2}{12}$

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ.

A. $R=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

B. $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}$

C. $R=\frac{a\sqrt{10}}{4}$

D. $R=a$

Bài 5: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a.

A. $V=\frac{7\pi a^2}{3}$

B. $V=\frac{4\pi a^2}{3}$

C. $V=\frac{11\pi a^2}{3}$

D. $V=\frac{10\pi a^2}{3}$

Bài 6: Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

A. Hình chóp tam giác (tứ diện)

 B. Hình chóp ngũ giác đều

C. Hình chóp tứ giác

D. Hình hộp chữ nhật

Bài 7: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r và điểm A nằm ngoài mặt cầu. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $OA=r$

B. $OA\le r$

C. $OA<r$

D. $OA>r$

Bài 8: Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông.

A. Mặt nón

B. Mặt trụ

C. Mặt cầu

D. Mặt phẳng

Bài 9: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

A. Trục đường tròn nội tiếp tam giác đó

B. Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

C. Mặt phẳng

D. Mặt phẳng trung trực một cạnh của tam giác đó

Bài 10: Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh bằng 1.

A. $\frac{\pi }{12}$

B. $\frac{\pi }{3}$

C. $\frac{\pi }{6}$

D. $\frac{2\pi }{3}$