Các bài toán về góc trong không gian và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

1. Góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng. Cụ thể:

Cho hai mặt phẳng  $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$. Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng c. Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a\subset \left(\alpha \right)\\ b\subset \left(\beta \right)\\ a\perp c\\ b\perp c\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left(\widehat{\left(\alpha \right),\left(\beta \right)}\right)=\left(\widehat{a,b}\right) \end{gathered}$$

Chú ý: Góc giữa hai mặt phẳng là góc không tù. (0°≤ φ ≤90° với φ là góc giữa hai mặt phẳng).

2. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo từ 0° đến 90°.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có $0°\le \alpha \le 90°$.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Góc giữa hai mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, (Q): A’ x + B’y + C’z + D’ = 0 được ký hiệu là $\widehat{\left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)}$ với $0^o\le \widehat{\left(\right(P),(Q\left)\right)}\le {90}^o$

Ta xác định góc này bằng cách tính côsin góc giữa hai mặt phẳng bởi hệ thức

$$\begin{gathered} \cos \left(\right(P),(Q\left)\right) \\ =\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|} \\ =\frac{\left|AA\text{'}+BB\text{'}+CC\text{'}\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A{\text{'}}^2+B{\text{'}}^2+C{\text{'}}^2}}. \end{gathered}$$

Đặc biệt: $\left(P\right)\perp \left(Q\right)\iff$ AA’ + BB’ + CC’ = 0.

Ví dụ 1: Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 8 = 0 và (Q): 3x + y – 2z + 2017 = 0.

A. $\frac{-1}{14}$

B. $\frac{1}{14}$

C. $\frac{5}{14}$

D. $\frac{-5}{14}$

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2;3\right)$ là véc tơ pháp tuyến của (P), $\overrightarrow{n_2}=\left(3;1;-2\right)$ là véc tơ pháp tuyến của (Q). Khi đó:

$$\begin{gathered} Cos\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right) \\ =\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right||\left|\overrightarrow{n_2}\right|} \\ =\frac{\left|1.3+(-2).1+3.(-2)\right|}{\sqrt{1+4+9}\sqrt{9+1+4}}=\frac{5}{14} \end{gathered}$$

Chọn C.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(a;b;c)$ và $\overrightarrow{u_2}=(a\text{'};b\text{'};c\text{'})$ được xác định bằng cách tính côsin góc giữa hai đường thẳng đó theo công thức:

$$\begin{gathered} cos\varphi =\cos \left(d,d\text{'}\right) \\ =\frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|} \\ =\frac{\left|aa\text{'}+bb\text{'}+cc\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2+c{\text{'}}^2}} \\ (0^o\le \varphi \le {90}^o). \end{gathered}$$

Đặc biệt:

$\left(d\right)\perp (d\text{'})\iff$ aa’ + bb’ + cc’ = 0

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-5}{3}$ và $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+5t\\ y=1+2t\\ z=4-3t\end{array}\right.$. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng d là

A. $45°$

B. $60°$

C. $30°$

D. $90°$

Hướng dẫn giải:

Ta có vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right)$, vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{v}=\left(5;2;-3\right)$

Ta thấy :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1.5+2.2+3.\left(-3\right)=0 \\ \Rightarrow \Delta \perp d \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Góc giữa $\Delta$ và d là $90°$.

Chọn D.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $\alpha$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ được xác định bằng cách tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên theo công thức:

$$\begin{gathered} \sin \varphi =\sin \left(d,\left(\alpha \right)\right)=\left|\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})\right| \\ =\frac{\overrightarrow{|u}.\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\overrightarrow{.|n}|} \\ =\frac{\left|Aa+Bb+Cc\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\ (0^o\le \varphi \le {90}^o). \end{gathered}$$

Đặc biệt:

$\left(d\right)//\left(\alpha \right)$ hoặc $\left(d\right)\subset \left(\alpha \right)$

$\iff$Aa + Bb + Cc = 0.

Ví dụ 3: Cho M (-3; -1; 3) và N (-1; 0; 4) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (P).

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $90°$

Hướng dẫn giải:

Ta có . Mặt phẳng ($\overrightarrow{MN}=\left(2;1;1\right)$) có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;2;-1\right)$

$$\begin{gathered} \sin \left(\widehat{MN,\left(P\right)}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{MN}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|} \\ =\frac{|2.1+1.2+1.\left(-1\right)|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}.\sqrt{1^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}} \\ =\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Suy ra $\left(\widehat{MN,\left(P\right)}\right)=30°$

Chọn A.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A. $\cos \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{CD}\right|}.$

B. $\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{CD}\right|}.$

C. $\cos \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]\right|}.$

D. $\cos \alpha =\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{CD}\right|}.$

Câu 2:Cho hai đường thẳng:

$d_1:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}\right.$và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2\\ z=-2+t\end{array}\right.$. Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

A. $30°$

B. $120°$

C. $150°$

D. $60°$

Câu 3: Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – 4 = 0. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P) là:

A. $60°$

B. $-30°$

C. $30°$

D. $-60°$

Câu 4: Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 3 = 0. Côsin góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng:

A. $\frac{4}{9}$.

B. $-\frac{4}{9}$.

C  $\frac{4}{3\sqrt{3}}.$

D. $-\frac{4}{3\sqrt{3}}.$

Câu 5: Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + 2 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):$x – 2y + 1 = 0 và $\left(\beta \right):$x – 2z – 3 = 0. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:

A. $60°$

B. $45°$

C. $30°$

D. $90°$

Câu 6: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0. Điểm A (1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (P) một góc $45°.$

A. Vô số

B. 1

C. 2

D. 4

Câu 7: Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc $60°$?

A. (P) : 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y – z – 2 = 0.

B. (P) : 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q) : -x + 2y + z – 5 = 0.

C. (P) : 2x - 11y + 5z - 21 = 0 và (Q) : 2x + y + z – 2 = 0.

D. (P) : 2x - 5y + 11z – 6 = 0 và (Q) : -x + 2y + z – 5 = 0.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A (-3; -4; 5), B (2; 7; 7), C (3; 5; 8), D (-2; 6; 1). Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc $60°$?

A. DB và AC

B. AC và CD.

C. AB và CB

D. CB và CA.

Câu 9 : Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (P) : 5x – y + 2z – 9 = 0 và (Q) : -2x + 5y + z – 2017 = 0.

A. $\frac{-1}{10}$

B. $\frac{13}{30}$

C. $\frac{-13}{30}$

D. $\frac{1}{10}$

Câu 10: Cho hai điểm A (1; -1; 1) và B (2; -2; 4). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, B và tạo với mặt phẳng $\alpha$: x – 2y + z – 7 = 0 một góc $60°$.

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. Vô số.

ĐÁP ÁN