Công thức tiếp tuyến với đồ thị hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lí thuyết.

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị (C). Điểm $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\in \left(C\right)\text{}$. Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$. Kí hiệu $f\text{'}\left(x_0\right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M.

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta$

$\Delta :y=f\text{'}\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

- Điều kiện tiếp xúc của $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ là hệ $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)\end{array}\right.$có nghiệm.

2. Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

- Xác định tiếp điểm $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\text{}$

- Tính $f\text{'}\left(x_0\right)$

- Tiếp tuyến có dạng:

$\Delta :y=f\text{'}\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

3. Một số dạng toán

a. Tiếp tuyến đi qua tiếp điểm thuộc đồ thị

- Làm theo các bước của phần 2.

VD1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2+1$ tại điểm có hoành độ bằng 2.

Lời giải:

- Tọa độ tiếp điểm $M\left(2;1\right)$

$y\text{'}=3x^2-4x\Rightarrow y\text{'}\left(2\right)=4$

Phương trình tiếp tuyến:

$$\begin{gathered} \Delta :y=4\left(x-2\right)+1 \\ \iff \Delta :y=4x-7 \end{gathered}$$

VD2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2-2x+1$ tại điểm có tung độ bằng 4.

Lời giải:

Tọa độ tiếp điểm $M\left(3;4\right)$ và $N\left(-1;4\right)$

- Gọi ${\Delta }_1$ là phương trình tiếp tuyến tại M

${\Delta }_2$ là phương trình tiếp tuyến tại N

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=2x-2 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(3\right)=4\\ y\text{'}\left(-1\right)=-4\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\Delta }_1:y=4x-8\\ {\Delta }_2:y=-4x\end{array}\right. \end{gathered}$$

b. Tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước (biết trước hệ số góc của tiếp tuyến)

- Bài toán cho hệ số góc của tiếp tuyến là k

+ Giải phương trình $f\text{'}\left(x_0\right)=k\Rightarrow M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$

+ Sau đó viết phương trình tiếp tuyến qua M

- Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng $d_1$ có hệ số góc $k_1$ thì $k=k_1$

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d_2$ có hệ số góc $k_2$ thì $k.k_2=-1$

VD3. Viết phương trình tiếp tuyến với $y=x^3-9x^2+1$ trong các trường hợp sau:

a. Hệ số góc của tiếp tuyến là -27

b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=21x-244$

Lời giải:

a. Gọi hoành độ tiếp điểm là $x_0$

Giải phương trình:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x_0\right)=-27 \\ \iff 3{x_0}^2-18x_0=-27 \\ \iff x_0=3 \end{gathered}$$

Suy ra tiếp điểm $M\left(3;-53\right)$

Vậy phương trình tiếp tuyến là :

$$\begin{gathered} \Delta :y=-27\left(x-3\right)-53 \\ \iff \Delta :y=-27x+28 \end{gathered}$$

b. Gọi phương trình tiếp tuyến là $\Delta \text{'}$. Do $\Delta \text{'}$ // d nên hệ số góc của $\Delta \text{'}$ là 21

Gọi hoành độ tiếp điểm là $x_0$. Giải phương trình:

$f\text{'}\left(x_0\right)=21\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ x_0=7\end{array}\right.$

Với $x_0=-1$ ta được tiếp điểm là $M\left(-1;-9\right)$

$\Rightarrow \Delta \text{'}:y=21x+12$

Với $x_0=7$ ta được tiếp điểm là $N\left(7;-97\right)$,$M\left(-1;-9\right)$

$\Rightarrow \Delta \text{'}:y=21x-244$

Tuy nhiên đường thẳng này lại trùng với d nên loại.

Vậy phương trình tiếp tuyến là $\Delta \text{'}:y=21x+12$

4. Luyện tập

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  $y=x^2-2x$

a. Tại điểm có hoành độ là -1

b. Tại điểm có tung độ là 8

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ tại điểm có hoành độ là 2.

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2-3$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=24x-1$

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-3$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d:y=-\frac{1}{9}x+1$

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=x^2-6x+3$. Biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left(-2;10\right)$