Công thức tính diện tích thiết diện hình nón chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lí thuyết

a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của hình nón

Thiết diện là một tam giác cân.

Thiết diện là tam giác SAB cân tại S

Gọi H là trung điểm AB. Khi đó:

+ Góc giữa thiết diện với đáy là $\widehat{SHI}$. Giả sử $\widehat{SHI}=\alpha \Rightarrow SH=\frac{h}{\sin \alpha }$

$$\begin{gathered} IH=\frac{h}{\tan \alpha }\Rightarrow AH=\sqrt{I{A}^2-I{H}^2} \\ =\sqrt{r^2-\frac{h^2}{{\tan }^2\alpha }} \end{gathered}$$

+ Diện tích thiết diện:

$$\begin{gathered} S_{△SAB}=SH.AH \\ =\frac{h}{\sin \alpha }.\sqrt{r^2-\frac{h^2}{{\tan }^2\alpha }} \end{gathered}$$

b. Thiết diện đi qua trục

Diện tích  thiết diện:

$S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}SI.AB=h.r$

c. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Mặt phẳng (P) vuông góc và cách đỉnh một khoảng là h’ tạo ra thiết diện là một hình tròn.

Ta có: 2 tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên:

$$\begin{gathered} \frac{SI\text{'}}{SI}=\frac{I\text{'}A\text{'}}{IA}\iff \frac{h\text{'}}{h}=\frac{r\text{'}}{r} \\ \Rightarrow r\text{'}=\frac{r}{h}.h\text{'} \end{gathered}$$

Diện tích thiết diện $S=\pi .r{\text{'}}^2$

2. Các ví dụ

VD1. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh a. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Theo bài ta có SAB vuông cân tại S có $SA=SB=a$

Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2}SA.SB=\frac{1}{2}{a}^2$

VD2. Cho hình nón có bán kính đáy bằng $a\sqrt{2}$ và chiều cao bằng $a\sqrt{3}$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt đáy góc ${60}^{\circ }$. Tính diện tích thiết diện được tạo thành.

Lời giải:

Thiết diện tạo thành là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB. Ta chứng minh được $\widehat{SHI}={60}^{\circ }$

$\Rightarrow IH=\frac{a\sqrt{3}}{\tan {60}^{\circ }}=a$

$SH=2a$

Tam giác IAH vuông tại H nên $AH=\sqrt{I{A}^2-I{H}^2}=a$

Suy ra $S_{\Delta SAB}=SH.AH=2a^2$

VD3. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao a. Mặt phẳng (P) qua S và cắt đáy tại A và B sao cho $AB=2a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P) là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính diện tích thiết diện được tạo thành.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB.

Trong mp (SHI) kẻ $IK\perp SH$

$\Rightarrow d\left(I\left(SAB\right)\right)=IK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{I\text{}{K}^2}=\frac{1}{S{I}^2}+\frac{1}{I{H}^2} \\ \iff \frac{2}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{I{H}^2\text{}}\Rightarrow IH=a \\ \Rightarrow SH=\sqrt{S{I}^2+I{H}^2}=a\sqrt{2} \end{gathered}$$

Vậy diện tích thiết diện là $S=\frac{1}{2}SH.AB=a^2\sqrt{6}$

VD4. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và đường sinh là 5. Mặt phẳng (P) qua đỉnh và tạo với trục một góc ${30}^{\circ }$. Tính diện tích thiết diện

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB

Ta có góc giữa (SAB) và trục là $\widehat{ISH}={30}^{\circ }$

Chiều cao hình nón là :

$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

$\Rightarrow IH=IH.\tan {30}^{\circ }=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$SH=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Ta có :

$$\begin{gathered} AH=\sqrt{I{A}^2-I{H}^2}=\frac{\sqrt{33}}{3} \\ \Rightarrow S_{\Delta SAB}=SH.AH=\frac{8\sqrt{11}}{3} \end{gathered}$$

VD5. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao là 5. Mặt phẳng (P) vuông góc và cách đáy một đoạn bằng 2. Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn. Tính diện tích hình tròn đó.

Lời giải:

Gọi tâm thiết diện là I’ bán kính thiết diện là I’A’

Tâm đường tròn đáy của nón là I; bán kính là IA

Theo bài ta có $II\text{'}=2\Rightarrow SI\text{'}=3$

Tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên: 

$\frac{I\text{'}A\text{'}}{IA}=\frac{SI\text{'}}{SI}=\frac{3}{5}\Rightarrow r\text{'}=\frac{12}{5}$

Vậy diện tích thiết diện là:

$S=\pi .{\left(\frac{9}{5}\right)}^2=\frac{81}{25}\pi$