Bài toán về vị trí tương đối trong tọa độ không gian và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

Trong không gian Oxyz ta xét các vị trí tương đối:

1. Giữa hai mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:

+) Song song.

+) Cắt nhau (trong trường hợp này có bao gồm 2 mặt phẳng vuông góc).

+) Trùng nhau.

2. Giữa đường thẳng và mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:

+) Song song.

+) Cắt nhau.

+) Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

3. Giữa mặt cầu và mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:

+) Cắt nhau (giao tuyến là một hình tròn).

+) Tiếp xúc nhau.

+) Không có điểm chung.

4. Giữa đường thẳng và mặt cầu bao gồm 3 vị trí tương đối:

+) Không cắt nhau.

+) Tiếp xúc nhau.

+) Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

5. Giữa đường thẳng và đường thẳng bao gồm 4 vị trí tương đối:

+) Song song.

+) Cắt nhau.

+) Trùng nhau.

+) Chéo nhau.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 30 = 0 và (Q): 4x – 6y + 8z + 40 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là

A. Song song

B. Trùng nhau

C. Cắt nhưng không vuông góc.

D. Vuông góc.

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}=\frac{4}{8}\ne \frac{30}{40}$ nên (P) // (Q).

Chọn A.

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Phương pháp giải:

Cho đường thẳng: $d:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right):$ Ax + By + Cz + D = 0.

Xét hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x=x_0+a_{1}t& \left(1\right)\\ y=y_0+a_{2}t& \left(2\right)\\ z=z_0+a_{3}t& \left(3\right)\\ Ax+By+Cz+D=0& \left(4\right)\end{array}\right.(*)$

+) (*) có nghiệm duy nhất d cắt $\left(\alpha \right)$

+) (*)  vô nghiệm d // $\left(\alpha \right)$

+) (*) vô số nghiệm d  $\subset \left(\alpha \right)$

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3+4t\\ z=3t\end{array}\right.$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. d // (P).

B. $d\subset \left(P\right)$.

C. d cắt (P)

D. $d\perp \left(P\right)$

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta giải hệ PT:

Cách 2:

Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{a}=\left(3;-3;2\right)$.

d có VTCP $\overrightarrow{b}=\left(2;4;3\right)$.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\\ A\left(-1;3;0\right)\in d\\ A\notin \left(P\right)\end{array}\right.\Rightarrow d//\left(P\right)$ 

Chọn A.

3. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Phương pháp giải:

Cho mặt cầu:$\left(S\right):{\left(x–a\right)}^2+{\left(y–b\right)}^2+{\left(z–c\right)}^2=R^2$

 tâm I (a; b; c) bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

+) Nếu d (I; (P)) > R thì (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.

+) Nếu d (I; (P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau. Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm.

+) Nếu d (I; (P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương trình: 

$\left\{\begin{array}{l}{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2\\ Ax+By+Cz+D=0\end{array}\right.$

Trong đó $r=\sqrt{R^2-d{(I,(P\left)\right)}^2}$ bán kính đường tròn  và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (2; 1; -1) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 3= 0. Mặt cầu (S) có bán kính R bằng:

A. R = 1

B. R = 2

C. $R=\frac{2}{3}$

D. $R=\frac{2}{9}$

Hướng dẫn giải

(S) tiếp xúc (P) 

$$\begin{gathered} R=d\left(I;\left(P\right)\right) \\ =\frac{|2.2-2.1-1.\left(-1\right)+3|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=2 \end{gathered}$$

Chọn B.

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp giải:

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .

Để xét vị trí tương đối giữa $\Delta$ và (S) ta tính $d\left(I,\Delta \right)$ rồi so sánh với bán kính R.

+) $d\left(I,\Delta \right)>R$: $\Delta$ không cắt (S)

+) $d\left(I,\Delta \right)=R$: $\Delta$ tiếp xúc với (S).

Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng $\Delta$.

+) $d\left(I,\Delta \right)<R$: $\Delta$ cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và $R=\sqrt{d^2+\frac{A{B}^2}{4}}$

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-1}$và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$. Số điểm chung của d và (S) là:

A. 0.

B. 1

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải.

Ta có: $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-1}$

Do đó đường thẳng d đi qua M (0; 1; 2) và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left(2;1;-1\right)$

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R = 2.

Ta có:

$\overrightarrow{MI}=\left(1;-1;-4\right)$  

và $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{MI}\right]=\left(-5;7;-3\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow d\left(I,d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{MI}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|} \\ =\frac{\sqrt{{\left(-5\right)}^2+7^2+{\left(-3\right)}^2}}{\sqrt{2^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}} \\ =\frac{\sqrt{498}}{6} \end{gathered}$$

Vì d (I, d) > R nên d không cắt mặt cầu (S).

Vậy d và (S) không có điểm chung.

Chọn A.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Phương pháp giải:

Cho 2 đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ qua M, có VTCP $\overrightarrow{u_d}$ 

$d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x={x^{\text{'}}}_0+{a^{\text{'}}}_1{t}^{\text{'}}\\ y=y_0+{a^{\text{'}}}_2{t}^{\text{'}}\\ z=z_0+{a^{\text{'}}}_3{t}^{\text{'}}\end{array}\right.$ có VTCP $\overrightarrow{u_{d\text{'}}}$

Khi đó ta có 2 trường hợp:

a) Nếu $\overrightarrow{u_d}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_{d\text{'}}}$ ta có:

+) d song song d’

$\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_d}=k\overrightarrow{u_{d\text{'}}}\\ M\in d\\ M\notin d\text{'}\end{array}\right.$

+) d trùng d’

$\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_d}=k\overrightarrow{u_{d\text{'}}}\\ M\in d\\ M\in d\text{'}\end{array}\right.$

b) Nếu $\overrightarrow{u_d}$ không cùng phương với $\overrightarrow{u_{d\text{'}}}$ ta xét hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_0+a_{1}t={x^{\text{'}}}_0+{a^{\text{'}}}_1{t}^{\text{'}}\\ y_0+a_{2}t=y_0+{a^{\text{'}}}_2{t}^{\text{'}}\\ z_0+a_{3}t=z_0+{a^{\text{'}}}_3{t}^{\text{'}}\end{array}\right.(*)$

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì d cắt d’

+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau.

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$ và $d\text{'}:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}$. Khi đó hai đường thẳng d và d’

A. song song.

B. trùng nhau.

C. cắt nhau.

D. chéo nhau.

Hướng dẫn giải

d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left(2;1;4\right)$

d’ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d\text{'}}}=\left(3;-2;1\right)$

Suy ra d và d’ không cùng phương.

$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=7+t\\ z=3+4t\end{array}\right.$, 

$d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=6+3t\text{'}\\ y=-1-2t\text{'}\\ z=-2+t\text{'}\end{array}\right.$

Ta xét hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}1+2t=6+3t\text{'}\\ 7+t=-1-2t\text{'}\\ 3+4t=-2+t\text{'}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}t=-2\\ t\text{'}=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

 Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vậy d và d’ cắt nhau.

Chọn C.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 6x – 9y + 12z + 40 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:

A. Song song.

B. Trùng nhau

C. Cắt nhưng không vuông góc

D. Vuông góc.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 6x – 9y + 12z + 60 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:

A. Song song

B. Trùng nhau

C. Cắt nhưng không vuông góc

D. Vuông góc.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + my + 2mz – 9 = 0 và (Q): 6x – y – z – 10 = 0. Tìm m để $\left(P\right)\perp \left(Q\right)$.

A. m = 4

B. m = -4

C. m = -2

D. m = 2.

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – 6 = 0 và đường thẳng  $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+4t\\ z=3+3t\end{array}\right.$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. d // (P).

B. $d\subset \left(P\right)$

C. d cắt (P).                      

D. $d\perp \left(P\right)$

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 4 = 0 và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=2-3t\end{array}\right.$. Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

A. Vô số. 

B. 1

C. Không có

D. 2.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=t\end{array}\right.$ và $d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=-2t\\ y=-5+3t\\ z=4+t\end{array}\right.$. Khi đó hai đường thẳng d và d’

A. song song

B. trùng nhau

C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Câu 7: Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3}$  và $d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-t\\ z=-2+3t\end{array}\right.$có vị trí tương đối là:

A. trùng nhau.

B. song song

C. chéo nhau

D. cắt nhau.

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 3 = 0 và điểm I (1; 0; 2). Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=1$

B. ${\left(x+1\right)}^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=1$

C. ${\left(x+1\right)}^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=3$

D. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=3$

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+5}{2}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z}{1}$ và điểm M (4; 1; 6). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6. Phương trình của mặt cầu (S) là:

A. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-6\right)}^2=9.$

B. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+6\right)}^2=18.$

C. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-6\right)}^2=18.$

D. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-6\right)}^2=16.$

Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có phương trình là:

A. y – 2z = 0

B.  y + 2z = 0

C. y + 3z = 0

D. y – 3z = 0

ĐÁP ÁN