Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lí thuyết

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

- Chú ý:

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

2. Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Diện tích đa giác đáy là S

Khi đó thể tích $V=\frac{1}{3}h.S$

3. Thể tích một số khối chóp đặc biệt

a. Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau

Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy

Bài toán: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể tích tứ diện ABCD

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Do ABCD là tứ diện đều nên $AG\perp \left(BCD\right)$

$DG=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AG=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

$S_{\Delta BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\text{}$

Suy ra :

$V_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\text{}$

Vậy thể tích khối tứ diện đều là: 

$\mathrm{V}=\frac{{\mathrm{canh}}^3\sqrt{2}}{12}$

b. Khối chóp tam giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.
Bài toán 1: Cho khối chóp S.ABC đều, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có $SG\perp \left(ABC\right)$

Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABC đều có đáy ABC là tam giác vuông tại B. $AB=a;BC=a\sqrt{3}$. Các cạnh bên tạo với đáy góc ${60}^{\circ }$. Tính $V_{S.ABC}$

Lời giải:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Do $\Delta ABC$ vuông tại B nên O là trung điểm của AC.

Ta có :

$\left(SA,\left(ABC\right)\right)=\left(SA,OA\right)=\widehat{SAO}={60}^{\circ }$

Áp dụng định lí pytago cho $\Delta ABC$ ta được $AC=2a\Rightarrow SO=a\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} S{\text{}}_{\Delta A\text{}BC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \\ =\frac{a^3}{2} \end{gathered}$$

c. Khối chóp tứ giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.

Bài toán: Cho khối chóp đều S.ABCD đáy vuông cạnh a. Các cạnh bên dài 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có $SO\perp \left(ABCD\right)$

$BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OD=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ Áp dụng pytago cho $\Delta SOD$ ta được $SO=\frac{a\sqrt{14}}{2}$

Diện tích ABCD là $a^2$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{14}}{2}.a^2 \\ =\frac{a^3\sqrt{14}}{6} \end{gathered}$$

d. Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc.

- Giả sử 3 cạnh bên có độ dài lần lượt là a, b và c. Khi đó thể tích khối chóp này là: $V=\frac{1}{6}abc$

d. Khối tứ diện gần đều

- Là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.

Bài toán: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=a$, $AC=BD=b$ và $AD=BC=c$. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

4. Công thức tỉ số thể tích

Bài toán: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm $A\text{'};B\text{'};C\text{'}$

Khi đó tỉ số thể tích:

$\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA\text{}}.\frac{S\text{}B\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC\text{}}$

VD1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là 120.

Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, Q sao cho: $MA=2SM$;$NB=3SN$ và $QC=4SQ$ . Tính thể tích khối chóp S.MNQ?

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: 

$\frac{SM}{SA}=\frac{1}{3}; \frac{SN}{SB}=\frac{1}{4}$; $\frac{SQ}{SC}=\frac{1}{5}$

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

$\frac{V_{S.MNQ}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA\text{}}.\frac{S\text{}N}{SB}.\frac{SQ}{SC\text{}}=\frac{1}{60}$

Suy ra $V_{S.MNQ}=\frac{1}{60}.V_{S.ABC}=2$

VD2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. $SA\perp \left(ABC\right)$ và $SA=2a$, $AB=a;BC=a\sqrt{3}$. Lấy M trung điểm SA và N trung điểm SB.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

b. Tính thể tích khối đa diện

Lời giải:

- Chú ý: Khi áp dụng phương pháp tỉ số thể tích ta chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác. Nếu không là khối chóp tam giác thì ta nên chia khối chóp đã cho thành các khối chóp tam giác để có thể dùng được phương pháp thể tích.

5. Luyện tập

Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B. $AC=a\sqrt{2}$, $CB=a$. SA vuông góc với đáy và $SA=2a$. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng ${45}^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng ${60}^{\circ }$. Tính $V_{S.ABCD}$.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có $AD=2a$; $AB=a$. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mp (SCD) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Dạng 2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. Mặt bên SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết $AD=a\sqrt{3};CD=\frac{1}{2}AB$và góc giữa SC với đáy bằng ${60}^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Dạng 3. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Đáy ABC vuông tại B, $AB=a;\widehat{BAC}={60}^{\circ }$. M là trung điểm SA. Khoảng cách từ M đến (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{19}}{19}.$Tính thể tích khối chóp S.ABC

Dạng 4. Tỉ số thể tích

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích của khối tứ diện AB’C’D’ biết thể tích của ABCD là 100

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng ${60}^{\circ }$. Lấy A’ trên SA sao cho $SA\text{'}=\frac{1}{3}SA$. Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’.