Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lí thuyết

- Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên tập D

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D nếu $f\left(x\right)\le M\forall x\in D$ và tồn tại $x_0\in D:f\left(x_0\right)=M$

- Kí hiệu là: $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D nếu $f\left(x\right)\ge M\forall x\in D$ và tồn tại $x_0\in D:f\left(x_0\right)=m$

- Kí hiệu là: $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$

2. Các bước tìm GTLN - GTNN của hàm số trên D hoặc trên một khoảng xác định.

- Tìm TXĐ: D

- Tính $y\text{'}$. Tìm những điểm mà $y\text{'}=0$ và $y\text{'}$ không xác định

- Lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên và kết luận GTLN; GTNN

- Lưu ý: GTLN, GTNN của hàm số phải là số hữu hạn

+ Trong một vài TH (thường là hàm phân thức) GTLN, GTNN hữu hạn nhưng đạt tại $x=\pm \infty$. Khi đó ta cũng kết luận là hàm số không có GTLN (GTNN).

3. Cách tính GTLN và GTNN trên một đoạn

a. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

b. Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a,b]

- Tìm các điểm $x_1,x_2,\mathrm{...}{x}_n$ trên khoảng $\left(a;b\right)$ mà tại đó $f\text{'}\left(x\right)=0$ hoặc $f\text{'}\left(x\right)$ không xác định

- Tính $f\left(a\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),\mathrm{...}f\left(x_n\right),f\left(b\right)$.

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

- Kết luận: $\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)=M$ và $\underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)=m$

- Chú ý: Đối với hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Khi tìm GTLN và GTNN của hàm này trên đoạn $\left[m;n\right]$.

+) Nếu $-\frac{d}{c}\in \left[m;n\right]$ thì hàm số không có GTLN và GTNN

+) Nếu $-\frac{d}{c}\notin \left[m;n\right]$ thì GTLN và GTNN sẽ đạt tại các đầu mút.

4. Các ví dụ

VD1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a. $y=x-3+\frac{1}{x}$  trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

b. $y=\frac{x}{4+x^2}$ trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

Lời giải:

a. Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, ta có: $y\text{'}=1-\frac{1}{x^2}$;$y\text{'}=0\iff x=1$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(1\right)=-1$ và không tồn tại GTNN.

b. $y\text{'}=\frac{4+x^2-2x^2}{{\left(4+x^2\right)}^2}=\frac{4-x^2}{{\left(4+x^2\right)}^2}$.

$y\text{'}=0\iff x=\pm 2$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\max y=y\left(2\right)=\frac{1}{4}$ và $\min y=y\left(-2\right)=-\frac{1}{4}$

VD2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. $y=x^3+3x^2-9x-7$ trên đoạn $\left[-4;3\right]$

b. $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $\left[1;3\right]$

Lời giải:

a.

b. 

5. Luyện tập

Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

a. $y=2x^3-3x^2-12x+8$ trên đoạn $\left[-3;3\right]$

b. $y=x^4-2x^2+3$ trên đoạn $\left[-2;0\right]$

c. $y=\frac{x-1}{x-2}$ trên đoạn $\left[-4;4\right]$

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. $y=\frac{1}{\sin x}$ trên đoạn $\left[\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6}\right]$

b. $y=x^3-3x^2-9x+35$ trên các đoạn $\left[-4;4\right]$ và $\left[-5;3\right]$

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau:

a. $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}$

b. $\frac{1}{1+x^4}$

Bài 4. Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất.

Bài 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $x=6t^2-t^3$. Tính thời điểm t (giây) mà tại đó chất điểm có vận tốc lớn nhất.