Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$$\begin{gathered} \int u\left(x\right)v\text{'}\left(x\right)d\text{x} \\ =u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)d\text{x} \end{gathered}$$

Hay $\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u$

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng định lý trên

Bước 1. Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx).

Sau đó tính $v=\int \text{d}v$ và du = u'.dx.

Bước 2. Thay vào công thức và tính $v=\int v\text{du}$

Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân $\int v\text{d}u$ dễ tính hơn $\int u\text{d}v$. Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1. $I=\int P\left(x\right)\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\text{d}x$, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=P\left(x\right)\\ \text{d}v=\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\text{d}x\end{array}\right.$.

Dạng 2. $I=\int P\left(x\right)e^{ax+b}\text{d}x$, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=P\left(x\right)\\ \text{d}v=e^{ax+b}\text{d}x\end{array}\right.$.

Dạng 3. $I=\int P\left(x\right)\ln \left(mx+n\right)\text{d}x$, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(mx+n\right)\\ \text{d}v=P\left(x\right)\text{d}x\end{array}\right.$.

Dạng 4. $I=\int \left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]e^x\text{d}x$. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\\ \text{d}v=e^x\text{d}x\end{array}\right.$.

Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay log_ax thì chọn u=lnx hay $u={\log }_{a}x=\frac{1}{\ln a}.\ln x$ và dv = còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….

Cách 2: Sử dụng bảng

Loại 1: Ví dụ: $\int x^3{e}^{x}dx$

Vậy :

$\int x^3{e}^{x}dx=x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6x{e}^x-6e^x+C$

Loại 2: Nguyên hàm lặp. Ví dụ: $\int \cos x{e}^{x}dx$

Vậy

$$\begin{gathered} \int \cos x{e}^{x}dx \\ =\cos x{e}^x-\left(-\sin x\right)e^x+\int -\cos x{e}^{x}dx \\ \Rightarrow \int \cos x{e}^{x}dx=\frac{1}{2}\left(\cos x+\sin x\right)e^x \end{gathered}$$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm

a) $I=\int x{e}^x\text{d}x$

b) $I=\int x\ln xdx$

Lời giải

a) $I=\int x{e}^x\text{d}x$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}\right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$$\begin{gathered} I=\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx \\ =x{e}^x-e^x+C \end{gathered}$$

b) $I=\int x\ln xdx$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=xdx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$$\begin{gathered} I=\int x\ln xdx=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int xdx \\ =\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2+C \end{gathered}$$

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) $I=\int x^2\cos xdx$

b) $I=\int \sin x.e^x\text{d}x$

Lời giải