Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

1. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

b) Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$, khi đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được tính theo công thức:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^2}$

+ Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Do đó ta có

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức:

$$\begin{gathered} \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|} \\ =\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} \end{gathered}$$

(với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$)

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0 \\ \iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0 \end{gathered}$$

2. Tích có hướng của hai vectơ

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b},$ kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

$$\begin{gathered} \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right) \\ =\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1\right) \end{gathered}$$

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất của tích có hướng:

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng hay $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}\ne 0$ và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}=0.$ 

3. Ứng dụng của tích có hướng

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$, khi đó: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;2\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(-3;-1;2\right)$. Khi đó $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ bằng

A. 10

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left(-1\right).\left(-3\right)+3.\left(-1\right)+2.2 \\ =3-3+4=4 \end{gathered}$$

Chọn D.

Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$, khi đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được tính theo công thức:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^2}$

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;4;1\right)$. Độ dài vectơ $\overrightarrow{a}$ là

A. $\sqrt{21}$

B. $\sqrt{7}$

C. 21

D. 7

Hướng dẫn giải:

Độ dài vectơ $\overrightarrow{a}$ là:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+4^2+1^2}=\sqrt{21}$

Chọn A.

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm

Phương pháp giải: Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Do đó ta có

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho $AM=\sqrt{5}$. Tọa độ của điểm M là

A. M (0; 0; 3).

B. M (0; 0; 2).

C. M (0; 0; -3).

D. M (0; 3; 0).

Hướng dẫn giải

Do $M\in Oz\Rightarrow$M (0; 0; m)

$$\begin{gathered} AM=\sqrt{{\left(0-1\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2+{\left(m-3\right)}^2} \\ =\sqrt{{(m-3)}^2+5} \end{gathered}$$

 Mặt khác $AM=\sqrt{5}$ nên

$$\begin{gathered} \sqrt{{(m-3)}^2+5}=\sqrt{5} \\ \iff {\left(m-3\right)}^2+5=5 \end{gathered}$$

$\iff$m – 3 = 0 $\iff$m = 3

Suy ra M (0; 0; 3).

Chọn A.

Dạng 4: Góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức:

$$\begin{gathered} \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|} \\ =\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} \end{gathered}$$

(với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$)

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

A. ${45}^0$

B. ${60}^0$

C. ${90}^0$

D. ${135}^0$

Hướng dẫn giải

Gọi $\phi$ là góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0\right), \\ \overrightarrow{CD}=\left(-2;1;-2\right) \end{gathered}$$

Khi đó: 

$$\begin{gathered} cos\phi =cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \\ =\frac{-1.\left(-2\right)+1.1+0.\left(-2\right)}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+0^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \phi ={45}^0 \end{gathered}$$

Chọn A.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Phương pháp giải: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0 \\ \iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0 \end{gathered}$$

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ$\overrightarrow{a}=\left(-1;1;0\right)$,$\overrightarrow{b}=\left(1;1;0\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(1;1;1\right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{b}$

B. $\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}$

C. $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

D. $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

2. Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Phương pháp giải: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$, khi đó:

$$\begin{gathered} \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right) \\ =\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1\right) \end{gathered}$$

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(3;2;1\right),$$\overrightarrow{b}=\left(3;2;5\right)$. Khi đó $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$  có tọa độ bằng

A. $\left(8;-12;5\right)$

B. $\left(8;-12;0\right)$

C. $\left(0;8;12\right)$

D. $\left(0;8;-12\right)$

Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\left(3;2;1\right)\\ \overrightarrow{b}=\left(3;2;5\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right] \\ =\left(2.5-2.1;1.3-3.5;3.2-3.2\right) \\ =\left(8;-12;0\right) \end{gathered}$$

Chọn B.

Đạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Phương pháp giải: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=0$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;m;2\right);$$\hspace{0.17em}\overrightarrow{b}=\left(m+1;2;1\right);$$\overrightarrow{c}=\left(0;m-2;2\right)$. Giá trị của m để $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng là

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{-2}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:               

+) Diện tích hình bình hành ABCD: 

$S_{ABCD}=\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]\right|$

+) Diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|$

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3) và C (3; 2; 2). Diện tích tam giác ABC bằng

A. $\frac{\sqrt{11}}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{13}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’:

$V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right|$

+) Thể tích tứ diện ABCD:

$V_{ABCD}=\frac{1}{6}\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}\right|$

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

A. 1

B. 2

C. $\frac{1}{2}$

D. 3.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; -1). Độ dài của đoạn thẳng AB là

A.  $\sqrt{2}$

B.  $\sqrt{18}$

C. $2\sqrt{7}$

D. $\sqrt{3}$

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;0\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-2;3;1\right)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-8$

B. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-1;1;-1\right)$

C. $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{14}$

D. $2\overrightarrow{a}=\left(2;-4;0\right)$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;4;-2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(3;-1;6\right)$. Tính$P=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$.

A. P = -10

B. P = -40

C. P = 16 

D. P = -34

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;1;0\right)$ và$\overrightarrow{b}=\left(-1;0;-2\right)$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

A. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\frac{2}{25}$

B. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\frac{2}{5}$

C. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{25}$

D. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{5}$

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;1\right),$$\overrightarrow{b}=\left(2;-4;2\right)$. Khi đó $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$ có tọa độ bằng

A. (0 ; 0 ; 0). 

B. (1 ; 1 ; 1)

C. (2 ; 8 ; 2)

D. (1 ; -2 ; 1).

Câu 6: Cho bốn véc tơ $\overrightarrow{a}=\left(-1;1;0\right)$,$\overrightarrow{b}=\left(1;1;0\right)$ ,$\overrightarrow{c}=\left(1;1;1\right)$, $\overrightarrow{d}=\left(2;0;1\right)$. Chọn mệnh đề đúng.

A.$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. 

B. $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}$ đồng phẳng.

C. $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ đồng phẳng.

D. $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1). Diện tích tam giác ABC là

A. $\frac{\sqrt{42}}{4}$

B. $\sqrt{42}$

C. $2\sqrt{42}$

D. $\frac{\sqrt{42}}{2}$

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1). Thể tích khối tứ diện ABCD là

A.$V=\frac{2}{3}$

B. $V=\frac{4}{3}$

C. V = 4

D. V = 2.

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0). Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là

A. V = 1.                              

B. V = 4.                              

C. V = 5.                              

D. V = 6.

Câu 10: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(4;2;5\right),\overrightarrow{b}=\left(3;1;3\right),\overrightarrow{c}=\left(2;0;1\right)$. Chọn mệnh đề đúng:

A. Ba vectơ đồng phẳng

B. Ba vectơ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ cùng phương

D. $\overrightarrow{c}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$

ĐÁP ÁN