Nguyên hàm và cách giải bài tập cơ bản - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT.

1. Khái niệm nguyên hàm.

- Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc K.

$\boxed{F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)}$, $\forall$x $\in$ K

Định lí:                                       

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số $G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$ cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng $F\left(x\right)+C$, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C,C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm.

- Nếu F(x) có đạo hàm thì:  $\int d\left(F\left(x\right)\right)=F\left(x\right)+C$

- $\int kf\left(x\right)d\text{x}=k\int f\left(x\right)d\text{x}$ với k là hằng số khác 0.

- $\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]d\text{x}=\int f\left(x\right)d\text{x}\pm \int g\left(x\right)d\text{x}$

3. Sự tồn tại của nguyên hàm.

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN HAY GẶP VÀ VÍ DỤ.

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản đã nêu ở phần lý thuyết để giải các bài toán sau.

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $D\subset ℝ$ .

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+3$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int f\left(x\right)dx=x^2+3x+C$

B. $\int f\left(x\right)dx=\frac{x^3}{3}+3x+C$

C. $\int f\left(x\right)dx=x^3+3x+C$

D. $\int f\left(x\right)dx=2x+C$

Lời giải

$$\begin{gathered} \int f\left(x\right)dx=\int \left(x^2+3\right)dx \\ =\int x^{2}dx+3\int dx=\frac{x^3}{3}+3x+C \end{gathered}$$

Chọn B.

Bài toán 2: Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên $D\subset ℝ$ .

Ví dụ 2. Cho $F\left(x\right)=\frac{1}{6}.\ln \left|\frac{x-3}{x+3}\right|+\frac{1}{12}$. Hỏi F(x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}$

B. $f\left(x\right)=\frac{1}{x-9}$

C. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}+\frac{x}{12}$

D. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+9}+\frac{x}{12}$

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Bài toán 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện cho trước.

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)=3-5\sin x$ và $f\left(0\right)=10$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f\left(x\right)=3x+5\cos x+5$

B.  $f\left(x\right)=3x+5\cos x+2$

C. $f\left(x\right)=3x-5\cos x+2$

D.  $f\left(x\right)=3x-5\cos x+15$

Lời giải

Chọn A.

Bài toán 4: Tìm giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Ví dụ 4. Cho kết quả của $\int \left(x^2+2x^3\right)dx$ có dạng $\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{4}{x}^4+C$, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 2 .

B. 1 .

C. 9 .

D. 32 .

Lời giải

Theo đề, ta cần tìm $\int \left(x^2+2x^3\right)dx$. Sau đó, ta xác định giá trị của a.

Ta có:

$$\begin{gathered} \int \left(x^2+2x^3\right)dx=\int x^{2}dx+2\int x^{3}dx \\ =\frac{1}{3}{x}^3+2.\frac{1}{4}{x}^4+C \end{gathered}$$

Suy ra để $\int \left(x^2+x^3\right)dx$ có dạng $\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{4}{x}^4+C$ thì a = 1, b = 2.

Chọn B.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3+x$ là

A. $x^4+x^2+C.$

B. $3x^2+1+C.$

C. $x^3+x+C.$

D. $\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+C.$

Câu 2. Nguyên hàm của $f\left(x\right)=x^3-x^2+2\sqrt{x}$ là:

A. $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$

B. $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$

C. $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$

D. $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$

Câu 3. Nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}+3$ là:

A. $2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

B. $2\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

C. $\frac{1}{2}\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

D. $\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

Câu 4. Hàm số $f\left(x\right)$ có nguyên hàm trên K nếu:

A. $f\left(x\right)$ xác định trên K.                                       

B. $f\left(x\right)$ có giá trị lớn nhất trên K

C. $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất trên K                        

D. $f\left(x\right)$ liên tục trên K

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\left(a;b\right)$ và C là hằng số thì $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$.

B. Mọi hàm số liên tục trên $\left(a;b\right)$ đều có nguyên hàm trên $\left(a;b\right)$.

C. $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của  trên $\left(a;b\right)$ $\iff F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in \left(a;b\right)$

D. ${\left(\int f\left(x\right)\text{d}x\right)}^{\text{'}}=f\left(x\right)$

Câu 6. Gọi $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=4x^3+2\left(m-1\right)x+m+5$, với m là tham số thực. Tìm một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ biết rằng $F\left(1\right)=8$ và $F\left(0\right)=1$.

A. $F\left(x\right)=x^4+2x^2+6x+1$

B. $F\left(x\right)=x^4+6x+1$ .

C. $F\left(x\right)=x^4+2x^2+1$ .

D. Đáp án A và B.

Câu 7. Họ nguyên hàm của $I=\int e^{x}dx$ là:

A. $2e^x+C$ .

B. $e^x$ .

C. $e^{2x}+C$ .

D. $e^x+C$ .

Câu 8. Cho $\int \left(\left(2a+1\right)x^3+b{x}^2\right)dx$, trong đó a,b là hai số hữu tỉ. Biết rằng $\int \left(\left(2a+1\right)x^3+b{x}^2\right)dx=\frac{3}{4}{x}^4+x^3+C$. Giá trị  a,b lần lượt bằng:

A. $1;3$ .

B. $3;1$

C. $-\frac{1}{8};1$

D. 2; 4.

Câu 9. Tính $\int {(2+e^{3x})}^{2}dx$

A. $3x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

B. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{5}{6}{e}^{6x}+C$

C. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}-\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

D. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2–3x+ \frac{1}{x}$ là

A. $\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-\ln \left|x\right|+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln x+C$

C.  $\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$

D. $\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+\ln x+C$

Câu 11. Nguyên hàm của hàm số $y=\sqrt{3x-1}$ trên $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ là:

A. $\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-x+C}$

B.  $\frac{2}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

C. $\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-x}+C$

D. $\frac{1}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

Câu 12. Hàm số $F\left(x\right)=e^x+e^{-x}+x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?

A. $f\left(x\right)=e^{-x}+e^x+1$

B. $$$f\left(x\right)=e^x-e^{-x}+\frac{1}{2}{x}^2$

C. $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}+1$

D. $f\left(x\right)=e^x+e^{-x}+\frac{1}{2}{x}^2$

Câu 13. Tính $\int 2^{2x}{.3}^x{.7}^{x}dx$

A. $\frac{{84}^x}{\ln 84}+C$

B. $\frac{2^{2x}{.3}^x{.7}^x}{\ln 4.\ln 3.\ln 7}+C$

C. ${84}^x+C$

D. ${84}^x\ln 84+C$

Câu 14. Tính $\int (x^2-3x+\frac{1}{x})dx$

A. $x^3-3x^2+\ln x+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C$

C. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{x^2}+C$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C$

Câu 15. Tính $\int 2^{x+1}dx$.

A. $\frac{2^{x+1}}{\ln 2}+C$

B. $2^{x+1}+C$

C. $\frac{{3.2}^{x+1}}{\ln 2}+C$

D. $2^{x+1}.\ln 2+C$

Câu 16. Tìm một nguyên hàm F(x) của $f\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x^2}$ biết F(1) = 0.

A. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}$

B. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}+\frac{3}{2}$

C. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$

D. $F\left(\text{x}\right)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}-\frac{3}{2}$

Câu 17. Tìm hàm số F(x) biết rằng  F’(x) = 4x³ – 3x² + 2  và F(-1) = 3.

A. $F\left(x\right)=x^4–x^3-2x-3$

B. $F\left(x\right)=x^4–x^3\text{+2}x+3$

C. $F\left(x\right)=x^4–x^3-2x+3$

D. $F\left(x\right)=x^4+x^3+2x+3$

Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x}$ là :

A. $4\sqrt{x}+3\ln \left|x\right|+C$

B. $2\sqrt{x}+3\ln \left|x\right|+C$

C. ${\left(4\sqrt{x}\right)}^{-1}+3\ln \left|x\right|+C$

D. $16\sqrt{x}-3\ln \left|x\right|+C$

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{4}{3x-2}$ là :

A. $\frac{1}{6}\ln \left|3x-2\right|+C$

B. $\frac{-1}{3}\ln \left|3x-2\right|+C$

C. $\frac{-1}{6}\ln \left|3x-2\right|+C$

D. $\frac{4}{3}\ln \left|3x-2\right|+C$

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}$ là :

A. $e^x+e^{-x}+C$

B. $e^x-e^{-x}+C$

C. $-e^x+e^{-x}+C$

D. $e^x+e^x+C$

Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3^{2x}-2^{-3x}$ là :

A. $\frac{3^{2x}}{2.\ln 3}+\frac{2^{-3x}}{3.\ln 2}+C$

B. $\frac{3^{2x}}{2.\ln 3}-\frac{2^{-3x}}{3.\ln 2}+C$

C. $\frac{3^{-2x}}{2.\ln 3}+\frac{2^{3x}}{3.\ln 2}+C$

D. $\frac{3^{-2x}}{2.\ln 3}-\frac{2^{3x}}{3.\ln 2}+C$

Câu 22. Nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)={\left(\frac{x^2+1}{x}\right)}^2$ là hàm số

nào trong các hàm số sau?

A. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x}+2x+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{x}+2x+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{\frac{x^3}{3}+x}{\frac{x^2}{2}}+C$

D. $F\left(x\right)={\left(\frac{\frac{x^3}{3}+x}{\frac{x^2}{2}}\right)}^3+C$

Câu 23. Nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)=2x^2+x^3-4$ thỏa mãn điều kiện $F\left(0\right)=0$ là:

A. $2x^3-4x^4$

B. $\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^4}{4}-4x$

C. $x^3-x^4+2x$

D. Đáp án khác.

Câu 24. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{x-1}$ và F(2) = 1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:

A.  $e+\ln 2$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\ln \frac{3}{2}$

D. $\ln 2e$

Câu 25. Hàm số $f\left(x\right)$ có nguyên hàm trên K nếu

A. $f\left(x\right)$  xác định trên K

B. $f\left(x\right)$  có giá trị lớn nhất trên K

C. $f\left(x\right)$  có giá trị nhỏ nhất trên K

D. $f\left(x\right)$  liên tục trên K

Câu 26. Cho hai hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ là hàm số liên tục, có $F\left(x\right),G\left(x\right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I): $F\left(x\right)+G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$

(II): $k.F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của  $kf\left(x\right)$  $\left(k\in R\right)$

(III): $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của  $f\left(x\right).g\left(x\right)$

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?

A. I

B. I và II

C. I, II, III

D. II

Câu 27. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A. $\int 0dx=C$ ( là hằng số)

B. $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ ( là hằng số)

C. $\int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C$ ( là hằng số)

D. $\int dx=x+C$ ( là hằng số)

Câu 28. $\int {\left(3^x-\frac{1}{3^x}\right)}^{2}dx$ bằng:

A. ${\left(\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{\ln 3}{3^x}\right)}^2+C$

B. $\frac{1}{3}{\left(\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{1}{3^x\ln 3}\right)}^3+C$

C.  $\frac{9^x}{2\ln 3}-\frac{1}{{2.9}^x\ln 3}-2x+C$

D. $\frac{1}{2\ln 3}\left(9^x+\frac{1}{9^x}\right)-2x+C$

Câu 29. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $F\left(x\right)=x^2$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=2x$.

B. $F\left(x\right)=x$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=2\sqrt{x}$.

C. Nếu $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ thì $F\left(x\right)-G\left(x\right)=C$ (hằng số).

D. $\int \left[f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x=\int f_1\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+\int f_2\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$

Đáp án