Thể tích khối đa diện và cách giải bài tập - Toán lớp 12

Ví dụ 4 : Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 là: V = 2³ = 8 (đvtt).

2) Phương pháp tính thể tích gián tiếp bằng cách phân chia các khối đa diện.

Trong nhiều trường hợp, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện bằng phương pháp trực tiếp gặp khó khăn vì hai lí do: khó xác định và tính được chiều cao hoặc khó tính được diện tích đáy. Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp tính thể tích gián tiếp.

Bước 1: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể tính thể tích của chúng.

Bước 2: Sau đó, ta cộng các kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.

Ví dụ minh họa: Một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước là 2cm, 3cm, 6cm. Thể tích của khối tứ diện ACB’D’ bằng

A. $8c{m}^3.$

B. $12c{m}^3.$

C. $6c{m}^3.$

D. $4c{m}^3.$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=V_{B\text{'}.ABC}+V_{D\text{'}.ACD} \\ +V_{A.B\text{'}A\text{'}D\text{'}}+V_{C.B\text{'}C\text{'}D\text{'}}+V_{A.CB\text{'}D\text{'}} \end{gathered}$$

Mà:

$$\begin{gathered} V_{B\text{'}.ABC}=V_{D\text{'}.ACD}=V_{A.B\text{'}A\text{'}D\text{'}} \\ =V_{C.B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\mathrm{.2.3.6}=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=\mathrm{2.3.6}=36 \\ \Rightarrow V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=4.6+V_{ACB\text{'}D\text{'}} \\ \iff 36=24+V_{ACB\text{'}D\text{'}} \\ \iff V_{ACB\text{'}D\text{'}}=36-24=12 \end{gathered}$$

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 3a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

A. $a^3$

B. $\frac{a^3}{9}$

C. $\frac{a^3}{3}$

D.  $3a^3$

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{a^3}{3}$

B. $\frac{3a^3}{2}$

C. $\frac{a^3}{2}$

D. $\frac{a^3}{6}$

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao hình chóp là $a\sqrt{2}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A.  $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

B.  $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$

C.  $V=\frac{a^3}{6}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Câu 4: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Thể tích của khối tứ diện OABC bằng

A.  $V=\frac{2a^3}{3}$

B. $V=\frac{a^3}{3}$

C. $V=2a^3$

D. $V=a^3$ .

Câu 5: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $3a^2$ và khoảng cách giữa hai đáy bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V=a^3$

B. $V=\frac{3}{2}{a}^3$

C. $V=3a^3$

D. $V=9a^3$

Câu 6: Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a, đường cao bằng $a\sqrt{3}$  có thể tích bằng

A.  $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

B. $a^3\sqrt{3}$

C. $2a^3\sqrt{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

Câu 7: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BB’ = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $AC=a\sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V=\frac{a^3}{2}$

B. $V=\frac{a^3}{6}$

C. $V=\frac{a^3}{3}$

D. $V=a^3$

Câu 8: Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = 3, AD = 4, AA’ = 5 là

A. V = 30.

B. V = 60

C. V = 10

D. V = 20

Câu 9: Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bên AA’ = h và diện tích tam giác ABC bằng S. Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’ bằng:

A. $V=\frac{1}{3}Sh$

B. $V=\frac{2}{3}Sh$

C. V = Sh

D. V = 2Sh.

Câu 10: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 10cm là

A. $V=1000{\text{\hspace{0.33em}cm}}^3$

B. $V=500{\text{\hspace{0.33em}cm}}^3$

C. $V=\frac{1000}{3}{\text{\hspace{0.33em}cm}}^3$

D. $V=100{\text{\hspace{0.33em}cm}}^3$

Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’. DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{1}{8}$

D.  $\frac{1}{4}$

BẢNG ĐÁP ÁN