Bài toán về cực trị tọa độ không gian và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

Với bài toán cực trị trong không gian Oxyz chúng ta thường xử lí theo một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Đại số: Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng các bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm min, max.

Hướng 2: Hình học: Với hướng này ta sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho các điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right),B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0. Tìm điểm $M\in \left(P\right)$ sao cho

1. MA + MB nhỏ nhất.

2. |MA – MB| lớn nhất với $d\left(A,\left(P\right)\right)\ne d\left(B,\left(P\right)\right)$.

Phương pháp:

+) Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P).

+) Nếu:

$\left(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d\right)\left(a{x}_B+b{y}_B+c{z}_B+d\right)>0$ 

thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P).

+) Nếu:

$\left(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d\right)\left(a{x}_B+b{y}_B+c{z}_B+d\right)<0$

thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P).

1. MA + MB nhỏ nhất.

+) Trường hợp 1:  Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P)

Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA + MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi $M=\left(P\right)\cap AB$.

+) Trường hợp 2:  Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) khi đó A’ và B ở khác phía (P) và MA MA’ nên $MA+MB=MA\text{'}+MB\ge A\text{'}B$

Vậy MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi $M=A\text{'}B\cap \left(P\right)$

2. |MA – MB| lớn nhất.

+) Trường hợp 1:  Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).

Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên |MA – MB| lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi $M=\left(P\right)\cap AB$.

+) Trường hợp 2:  Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A’ và B ở cùng phía (P) và

MA = MA’ nên $|MA-MB|=|MA\text{'}-MB|\le A\text{'}B$

Vậy |MA – MB| lớn nhất bằng A’B khi $M=A\text{'}B\cap \left(P\right)$.

Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết

1. (P) đi qua đường thẳng $\Delta$ và khoảng cách từ $A\notin \Delta$ đến (P) lớn nhất.

2. (P) đi qua $\Delta$ và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.

3. (P) đi qua $\Delta$ và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.

Phương pháp:

Cách 1: Dùng phương pháp đại số

1. Giả sử đường thẳng  

Thay (1) vào (2) và đặt $t=\frac{B}{C}$, ta đươc $d\left(A,\left(P\right)\right)=\sqrt{f\left(t\right)}$.

Trong đó $f\left(t\right)=\frac{m{t}^2+nt+p}{m\text{'}{t}^2+n\text{'}t+p\text{'}}$ , khảo sát hàm $f\left(t\right)$ ta tìm được max f(t). Từ đó suy ra được sự biểu diễn của A, B qua C rồi cho C giá trị bất kì ta tìm được A, B.

2. và 3. làm tương tự

Cách 2: Dùng hình học

1. Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên $\Delta$ và (P), khi đó ta có:

$d\left(A,\left(P\right)\right)=AH\le AK$, mà AK không đổi. Do đó d (A, (P)) lớn nhất $\iff H\equiv K$.

Hay (P) là mặt phẳng đi qua K, nhận $\overrightarrow{AK}$ làm vectơ pháp tuyến.

2. Nếu:

$\Delta \perp \left(Q\right)\Rightarrow \left(\widehat{\left(P\right),\left(Q\right)}\right)={90}^0$ nên ta xét $\Delta$ và (Q) không vuông góc với nhau.

+) Gọi (B) là một điểm nào đó thuộc $\Delta$, dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q). Lấy điểm C cố định trên đường thẳng đó. Hạ $CH\perp \left(P\right),CK\perp d$. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là $\widehat{BCH}$ .Ta có $\sin \widehat{BCH}=\frac{BH}{BC}\ge \frac{BK}{BC}$

Mà $\frac{BK}{BC}$ không đổi, nên $\widehat{BCH}$ nhỏ nhất khi $H\equiv K$.

+) Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng (BCK). Suy ra $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{u_{\Delta }},\left[\overrightarrow{u_{\Delta }},\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]\right]$ là VTPT của (P).

3. Gọi M là một điểm nào đó thuộc $\Delta$, dựng đường thẳng d’ qua M và song song với d. Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ $AH\perp \left(P\right),AK\perp d$. Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là $\widehat{AMH}$. Ta có $\cos \widehat{AMH}=\frac{HM}{AM}\ge \frac{KM}{AM}$

Mà $\frac{KM}{AM}$ không đổi, nên $\widehat{AMH}$ lớn nhất khi $H\equiv K$

+) Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(d\text{'},\Delta \right)$. Suy ra $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{u_{\Delta }},\left[\overrightarrow{u_{\Delta }},\overrightarrow{u_{d\text{'}}}\right]\right]$ là VTPT của (P).

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất?

A. M (2; 2; 9)

B. $M\left(\frac{-6}{11};-\frac{18}{11};\frac{25}{11}\right)$

C.  $M\left(\frac{7}{6};\frac{7}{6};\frac{31}{4}\right)$

D. $M\left(-\frac{2}{5};-\frac{11}{5};\frac{18}{5}\right)$

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) vào phương trình mặt phẳng (P), ta được P(A).P(B) > 0 $\Rightarrow$ hai điểm A, B cùng phía với đối với mặt phẳng (P).

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có

$MA+MB=MA\text{'}+MB\ge A\text{'}B$

Nên min(MA + MB) = A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B với (P).

Phương trình $AA\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=2-2t\end{array}\right.$ (AA’ đi qua A (1; 0; 2) và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;2;-1\right)$).

Gọi H là giao điểm của AA’ trêN (P), suy ra tọa độ của H là H (0; -2; 4), suy ra A’ (-1; -4; 6), nên phương trình $A^{\text{'}}B:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+3t\\ z=2-4t\end{array}\right.$.

 Vì M là giao điểm của A’B với (P) nên ta tính được tọa độ $M\left(-\frac{2}{5};-\frac{11}{5};\frac{18}{5}\right)$ 

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E (8; 1; 1).Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua E và cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz  lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC.

A. x + y + 2z – 11 = 0. 

B.  8x + y + z – 66 = 0

C. 2x + y + z – 18 = 0.

D. x + 2y + 2z – 12 = 0.

Hướng dẫn giải

Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0.

Theo đề bài ta có: $\frac{8}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Cần tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2+c^2$.

Vậy $a^2+b^2+c^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a = 12, b = c = 6.

Vậy phương trình mặt phẳng là : $\frac{x}{12}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1$ hay x + 2y + 2z – 12 = 0.

Chọn D.

Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC.

A. 54

B. 6

C. 9

D. 18

Hướng dẫn giải

Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng 

Chọn C.

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=8$. Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB.

A. $S=\sqrt{7}.$

B. S = 4.       

C. $S=2\sqrt{7}.$

D. $S=2\sqrt{2}.$

Câu 2: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M (1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

A. 6x + 3y + 2z + 18 = 0

B. 6x + 3y + 3z – 21 = 0

C. 6x + 3y + 3z + 21 = 0

D. 6x + 3y + 2z – 18 = 0

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x + y – z + 5 = 0  và hai điểm A (1; 0; 2), B (2; -1; 4). Tìm tập hợp các điểm M (x; y; z) nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

A. $\left\{\begin{array}{l}x-7y-4z+7=0\\ 3x-y+z-5=0\end{array}\right..$

B. $\left\{\begin{array}{l}x-7y-4z+14=0\\ 3x+y-z+5=0\end{array}\right..$

C. $\left\{\begin{array}{l}x-7y-4z+7=0\\ 3x+y-z+5=0\end{array}\right..$

D. $\left\{\begin{array}{l}3x-7y-4z+5=0\\ 3x+y-z+5=0\end{array}\right..$

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (-2; -2; 1), A (1; 2; -3) và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$. Tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\Delta$ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;6\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(1;0;2\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(3;4;-4\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(2;2;-1\right)$

Câu 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A (2; 4 ; -1), B (1; 4; -1), C (2; 4; 3), D (2; 2; -1). Biết M (x; y; z), để $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng

A. 7

B. 8

C. 9

D. 6

Câu 6 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A (1 ; 1 ; 1), B (2 ; 0 ; 2), C (-1 ; -1 ; 0), D (0 ; 3 ; 4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B’, C’, D’ thỏa mãn : $\frac{AB}{AB\text{'}}+\frac{AC}{AC\text{'}}+\frac{AD}{AD\text{'}}=4$. Viết phương trình mặt phẳng (B’C’D’) biết tứ diện AB’C’D’ có thể tích nhỏ nhất ?

A. 16x + 40y – 44z + 39 = 0

B. 16x + 40y + 44z – 39 = 0

C. 16x – 40y – 44z + 39 = 0

D. 16x – 40y – 44z – 39 = 0

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua điểm A (1; -1; 2), song song với (P): 2x – y – z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$ một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-2}{7}.$

B. $\frac{x-1}{4}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z+2}{7}.$

C. $\frac{x-1}{4}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-2}{7}.$

D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-2}{-7}.$

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A (-1; 0; -1), cắt ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$, sao cho góc giữa d và ${\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{2}$ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}.$

B. $\frac{x+1}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z+1}{-2}.$

C. $\frac{x+1}{4}=\frac{y}{-5}=\frac{z+1}{-2}.$

D. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; -2; -1), B (-2; -4; 3), C (1; 3; -1) và mặt phẳng (P): x + y – 2z – 3 = 0. Biết điểm $T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$ thỏa mãn $M\left(a;b;c\right)\in \left(P\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = a + b + c.

A. S = -2 

B. S = 0 

C. S = 1

D. $S=-\frac{1}{2}$

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; -2), B (-1; 0; 3), (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P) bằng

A. $\frac{17}{\sqrt{35}}$

B. 3

C. 1

D. $\frac{7}{\sqrt{35}}$

ĐÁP ÁN