Thể tích khối chóp và cách giải bài tập - Toán lớp 12

Ví dụ 1: Cho khối chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. V = 40.               

B. V = 192.             

C. V = 32.               

D. V = 24.

Hướng dẫn giải

Ta có $A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2={10}^2=B{C}^2$  suy ra tam giác ABC vuông tại A (theo định lý Py – ta – go đảo), do đó diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8}=24$

Vì SA vuông góc với đáy nên SA là đường cao của hình chóp.

Do đó h = SA = 4.

Vậy $V_{SABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}\mathrm{.4.24}=32$  (đvtt).

Chọn C.

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Xét hình chóp S. ABCD có mặt bên $\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)$

Đường cao của hình chóp là đường cao của tam giác SAD. Chứng minh:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)\\ \left(SAD\right)\cap \left(ABCD\right)=AD\\ SH\subset \left(SAD\right)\\ SH\perp AD\end{array}\right. \\ \Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right) \end{gathered}$$

Đặc biệt nếu tam giác SAD cân hoặc đều thì đường cao cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SH$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S. ABC là

A. $V=\frac{a^3}{2}$

B.  $V=a^3$

C.  $V=\frac{3a^3}{2}$

D. $V=3a^3$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Dạng 3: Thể tích khối chóp đều.

Xét hình chóp tứ giác đều S. ABCD

+) Các mặt bên là các tam giác cân tại S.

+) Đáy ABCD là hình vuông.

+) Đường cao là SO với O là tâm của đáy.

+) Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng góc SMO (với M là trung điểm của BC).

+) Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau:

$$\begin{gathered} \widehat{SAO}=\widehat{SBO}=\widehat{SCO}=\widehat{SDO} \\ \Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SO \end{gathered}$$

Chú ý:

a)  Với hình chóp tam giác đều ta làm tương tự.

b)  Với tứ diện đều:

Xét tứ diện đều ABCD:

DH là đường cao của tứ diện đều (Với H là trọng tâm tam giác ABC).

Suy ra thể tích của khối tứ diện đều ABCD là $V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.DH$ .

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc ${60}^0$ . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.

A. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$

B.  $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$

C. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra $SO\perp \left(ABCD\right)$ .

Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông nên ta có : $S_{ABCD}=a^2$  và $BD=a\sqrt{2}$ . Suy ra $BO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa cạnh bên SB với đáy là góc SBO bằng ${60}^0$ .

Suy ra chiều cao SO : 

$$\begin{gathered} SO=OB.\tan \widehat{SBO} \\ =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{6}}{2} \end{gathered}$$

Vậy :

$$\begin{gathered} V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO \\ =\frac{1}{3}.a^2.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6} \end{gathered}$$

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=\frac{\sqrt{13}{a}^3}{12}$

B. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{12}$

C. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{6}$

D. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{4}$

Hướng dẫn giải

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SO\perp \left(ABCD\right)$ .

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Ta có: BC = a nên $BI=\frac{a}{2}$ .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABI ta có:

$$\begin{gathered} AI=\sqrt{A{B}^2-B{I}^2} \\ =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Ta có: $AO=\frac{2}{3}AI=\frac{2a\sqrt{3}}{3.2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$  (Do O là trọng tâm tam giác ABC).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O ta có  

$$\begin{gathered} SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2} \\ =\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SO \\ =\frac{1}{3}.\frac{1}{2}a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}} \\ =\frac{\sqrt{11}{a}^3}{12} \end{gathered}$$

Chọn B.

Dạng 4: Cạnh bên hoặc mặt bên tạo với đáy một góc $\alpha$  và một số bài toán khác

 Các giả thiết của bài toán này khá đa dạng, tuy nhiên cách giải của các bài toán này nằm ở 2 bước sau:

+) Bước 1: Xác định được góc trên hình vẽ.

+) Bước 2: Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính các yếu tố cạnh liên quan tới chiều cao và diện tích đáy.

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S. ABC có SA = 2a. SA tạo với mặt phẳng (ABC) góc $30°$. Tam giác ABC vuông cân tại B, G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB), (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a.

A. $\frac{27a^3}{10}$

B. $\frac{9a^3}{10}$

C. $\frac{9a^3}{40}$

D. $\frac{81a^3}{10}$

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABM vuông tại B, có:$A{B}^2+B{M}^2=A{M}^2$ (định lý Py – ta – go)

$$\begin{gathered} \iff A{B}^2+\frac{1}{4}A{B}^2=A{M}^2 \\ \iff \frac{5}{4}A{B}^2=\frac{27a^2}{4} \\ \iff AB=\frac{3a\sqrt{15}}{5} \end{gathered}$$

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên:

$$\begin{gathered} BC=BA=\frac{3a\sqrt{15}}{5} \\ {V}_{SABC}=\frac{1}{3}SG.S_{\Delta ABC} \\ =\frac{1}{3}.SG.\frac{1}{2}.BA.BC \\ =\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{\left(\frac{3a\sqrt{15}}{5}\right)}^2=\frac{9a^3}{10} \end{gathered}$$

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=a^3$

B. $V=\frac{a^3}{2}$

C. $V=\frac{a^3}{3}$

D. $V=\frac{a^3}{4}$

Câu 2: Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=\frac{2a^3}{3}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2}$  . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

C. $a^3\sqrt{2}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Câu 4: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A.  $V=a^3.$

B.  $V=\frac{2a^3}{3}.$

C. $V=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}.$

D. $V=\frac{a^3}{3}.$

Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2a\sqrt{3}$, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S. ABCD là

A. $12a^3$

B. $14a^3$

C. $15a^3$

D. $17a^3$

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc $45°$ . Thể tích khối chóp S. ABCD là

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3}2\sqrt{2}}{3}$

C. $2\sqrt{2}{a}^3$

D. $\frac{2a^3}{3}$

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao của hình chóp là $a\sqrt{2}$ . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABC.

A. $\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a^3}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Câu 8: Tính thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Câu 9: Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của (H) bằng

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Câu 10: Cho hình chóp S. ABC có diện tích đáy là 5, chiều cao có số đo gấp 3 lần diện tích đáy. Thể tích của khối chóp đó là

A. $\frac{125}{3}$

B. 125

C. $\frac{25}{3}$

D. 25.

Câu 11:  Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng 2a, chiều dài 3a. Chiều cao của khối chóp là 4a. Thể tích khối chóp S. ABCD tính theo a là

A. $V=8a^3$

B. $V=24a^3$

C. $V=9a^3$

D. $V=40a^3$ .

BẢNG ĐÁP ÁN