Tỉ số thể tích khối đa diện và cách giải bài tập - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

Chú thích $V_1=$ Thể tích cũ, $V_2=$ Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).

1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi)

a) Song song với đáy

$V_1=V_2=\frac{1}{3}Bh.$

b) Cắt đáy

$$\begin{gathered} \frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}.d\left(A;\left(P\right)\right).S_{đ}}{\frac{1}{3}.d\left(B;\left(P\right)\right).S_{đ}} \\ =\frac{d\left(A;\left(P\right)\right)}{d\left(B;\left(P\right)\right)}=\frac{IB}{IA}. \end{gathered}$$

2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)

$\boxed{\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1}{S_2}}$ ;với $S_1$  là diện tích đáy cũ; $S_2$  là diện tích đáy mới

Chú ý:

+ Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.

+ Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng (hoặc giảm) k² lần.

3. Một số kết quả quan trọng:

Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A’, trên cạnh OB chọn B’.

Lúc đó:

$\boxed{\frac{S_{OA\text{'}B\text{'}}}{S_{OAB}}=\frac{OA\text{'}}{OA}\cdot \frac{OB\text{'}}{OB}}$

Kết quả 2: Cho hình chóp S. ABC, trên cạnh SA chọn A’, trên cạnh SB chọn B’ trên cạnh SC chọn C’.

Lúc đó:

$\boxed{\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}\cdot \frac{SB\text{'}}{SB}\cdot \frac{SC\text{'}}{SC}}$

Kết quả 3: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M, N, P.

Giả sử:

$\frac{A\text{'}M}{A\text{'}A}=x;\frac{B\text{'}N}{B\text{'}B}=y;\frac{C\text{'}P}{C\text{'}C}=z$

Khi đó: $\frac{V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}.MNP}}{V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}.ABC}}=\frac{x+y+z}{3}$

Kết quả 4: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng.

Giả sử

$$\begin{gathered} \frac{A\text{'}M}{A\text{'}A}=x,\frac{B\text{'}N}{B\text{'}B}=y, \\ \frac{C\text{'}P}{C\text{'}C}=z,\frac{D\text{'}Q}{D\text{'}D}=t \end{gathered}$$

Khi đó:

1. $x+z=y+t$

2. $\frac{V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.MNPQ}}{V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.ABCD}}=\frac{x+y+z+t}{4}$

II. PHƯƠNG PHÁP

Dạng 1. Tỉ số thể tích của hình chóp tam giác.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao)

- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.

- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác:

- Sử dụng công thức tỉ số thể tích để tính.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có $V_{S.ABC}=6a^3$ . Gọi M, N, Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SM = MA, SN = NB, SQ = 2QC. Tính $V_{S.MNQ}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{V_{S.MNQ}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SQ}{SC} \\ =\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V_{S.MNQ}=\frac{1}{6}{V}_{S.ABC} \\ =\frac{1}{6}.6a^3=a^3 \end{gathered}$$

Vậy thể tích khối chóp S. MNQ là $a^3$ .

Ví dụ 2: Hình chóp S. ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Đặt $k=\frac{V_{MNPABC}}{V_{SABC}}$ . Khi đó giá trị của k là

A. $\frac{8}{7}$

B. $\frac{7}{8}$

C. 8

D. $\frac{1}{8}$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Dạng 2. Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác:

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy (hoặc chung chiều cao)

- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.

- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.

+) Tỉ số thể tích của hai khối chóp tứ giác:

- Phân chia khối chóp tứ giác thành nhiều khối chóp tam giác

- Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của hình chóp tam giác, các kĩ thuật chuyển đỉnh, chuyển đáy để tính toán thể tích các khối chóp tam giác.

- Kết luận lại về tỉ số khối chóp tứ giác ban đầu.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD bằng:

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{16}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{3}$

Lời giải

Chọn A.

Dạng 3. Tỉ số thể tích hình lăng trụ tam giác

+) Gọi V là thể tích khối lăng trụ, $V_{\left(4\right)}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ (4 đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện), $V_{\left(5\right)}$  là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:

$V_{\left(4\right)}=\frac{V}{3}$; $V_{\left(5\right)}=\frac{2V}{3}$

+) Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác, ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh ở kết quả 3.

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CC’ và BB’. Tính tỉ số $\frac{V_{ABCMN}}{V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}$

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2}{3}$

Hướng dẫn giải:

Xét hai đa diện là ABCMN và ABC. A’B’C’. Ta đặt:

$$\begin{gathered} x=\frac{AA}{AA\text{'}}=0,y=\frac{BM}{BB\text{'}}=\frac{1}{2}, \\ z=\frac{CN}{CC\text{'}}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{V_{ABCMN}}{V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{x+y+z}{3} \\ =\frac{0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Tức là  $\frac{V_{ABCMN}}{V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{1}{3}$

Chọn B.

Dạng 4. Tỉ số thể tích hình hộp.

Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của khối hộp ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích ở kết quả 4. Ngoài ra cần vận dụng thêm các phép lắp ghép đa diện (cộng – trừ thể tích đa diện) để giải quyết dạng toán này.

Ví dụ 5: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có thể tích bằng 2110 (đvtt). Biết A’M = MA, DN = 3ND’, CP = 2PC’. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A. $\frac{7385}{18}$

B. $\frac{5275}{12}$

C.  $\frac{8440}{9}$

D.  $\frac{5275}{6}$

Hướng dẫn giải:

Giả sử (MNP) cắt BB’ tại Q. Đặt:

$$\begin{gathered} x=\frac{AM}{AA\text{'}}=\frac{1}{2},y=\frac{DN}{DD\text{'}}=\frac{3}{4}, \\ z=\frac{CP}{CC\text{'}}=\frac{2}{3},t=\frac{BQ}{BB\text{'}} \end{gathered}$$

Vì :

$$\begin{gathered} x+z=y+t\iff t=x+z-y \\ =\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=\frac{5}{12} \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{V_{ABCD.MNPQ}}{V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}}=\frac{x+y+z+t}{4} \\ =\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{2}{3}+\frac{5}{12}}{4}=\frac{7}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V_{ABCD.MNPQ}=\frac{7}{12}{V}_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}} \\ =\frac{7}{12}.2110=\frac{7385}{6} \end{gathered}$$

Mặt khác

$V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.MNPQ}+V_{ABCD.MNPQ}=V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.MNPQ} \\ =V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}-V_{ABCD.MNPQ} \\ =2110-\frac{7385}{6}=\frac{5275}{6} \end{gathered}$$

Vậy thể tích khối đa diện nhỏ hơn là $\frac{5275}{6}$ (đvtt).

Chọn D.

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích $\frac{V_{MIJK}}{V_{MNPQ}}$  là

A.  $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{8}$

Câu 2. Cho hình chóp S. ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ sao cho $S{A}^{\text{'}}=\frac{1}{2}SA$ ; $S{B}^{\text{'}}=\frac{1}{2}SB$ , $S{C}^{\text{'}}=\frac{1}{2}SC$ . Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S. ABC và S. A’B’C’. Khi đó tỷ số $\frac{V^{\text{'}}}{V}$  là

A. $\frac{1}{8}$

B.  $\frac{1}{12}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{16}$

Câu 3. Cho tứ diện ABCD, hai điểm M và N lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao cho

$\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3};\frac{AN}{AD}=\frac{1}{4}$ , khi đó tỉ số $\frac{V_{ACMN}}{V_{ABCD}}$  bằng

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{1}{12}$

D. $\frac{1}{16}$

Câu 4. Cho hình chóp S. ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính tỉ số $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.MNC}}$

A. 4

B. $\frac{1}{2}\cdot$

C. 2

D. $\frac{1}{4}\cdot$

Câu 5. Cho khối chóp O. ABC. Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ sao cho 2OA’ = OA, 4OB’ = OB, 3OC’ =OC. Tính tỉ số $\frac{V_{O.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{O.ABC}}$

A. $\frac{1}{12}$

B.  $\frac{1}{24}$

C. $\frac{1}{16}$

D. $\frac{1}{32}$

Câu 6. Cho tứ diện ABCD có B’ là trung điểm AB, C’ thuộc đoạn AC và thỏa mãn 2AC’ = C’C. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị tỉ số thể tích giữa khối tứ diện AB’C’D và phần còn lại của khối tứ diện ABCD?

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{5}$

Câu 7. Cho khối chóp S. ABC. Gọi G là trọng tâm giác SBC. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Gọi $V_{S.AIJ},V_{S.ABC}$  lần lượt là thế tích của các khối tứ diện S. AIJ và S. ABC. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{V_{S.AIJ}}{V_{S.ABC}}=1$

B.  $\frac{V_{S.AIJ}}{V_{S.ABC}}=\frac{2}{3}$

C. $\frac{V_{S.AIJ}}{V_{S.ABC}}=\frac{4}{9}$

D. $\frac{V_{S.AIJ}}{V_{S.ABC}}=\frac{8}{27}$

Câu 8. Cho khối chóp S. ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó tỉ số thế tích của khối chóp S. A’B’C’D’ và S. ABCD bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C.  $\frac{1}{8}$

D. $\frac{1}{16}$

Câu 9. Cho khối chóp tứ giác đều S. ABCD. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  đi qua A, B và trung điểm M của SC. Tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó là

A. $\frac{1}{4}$

B.  $\frac{3}{8}$

C. $\frac{5}{8}$

D. $\frac{3}{5}$

Câu 10. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi V’ là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số $\frac{V\text{'}}{V}.$

A. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{8}{27}.$

B. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{23}{27}.$

C. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{1}{27}.$

D. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{4}{27}.$

Câu 11. Cho tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số $\frac{V^{\text{'}}}{V}.$

A. $\frac{V^{\text{'}}}{V}=\frac{1}{2}.$

B. $\frac{V^{\text{'}}}{V}=\frac{1}{4}.$

C. $\frac{V^{\text{'}}}{V}=\frac{2}{3}.$

D. $\frac{V^{\text{'}}}{V}=\frac{5}{8}.$

Câu 12. Cho hình chóp tam giác S. ABC có M là trung điểm của SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho NS = 2NC. Kí hiệu $V_1,V_2$  lần lượt là thể tích của các khối chóp A. BMNC và S. AMN. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ .

A.  $\frac{V_1}{V_2}=\frac{2}{3}$

B. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}$

C. $\frac{V_1}{V_2}=2.$

D. $\frac{V_1}{V_2}=3$

Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’, M là trung điểm của CC’. Mặt phẳng (ABM) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$  là thể tích khối đa diện chứa đỉnh C và $V_2$  là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2}{5}$

Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Gọi $V_1$  là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A và $V_2$  là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

A. 2

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

BẢNG ĐÁP ÁN