Nhận dạng khối đa diện và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.

2. Một số kết quả quan trọng

a) Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.

b) Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.

c) Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.

d) Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.

e) Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.

f) Cho (H) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của (H) là lẻ thì (p) phải là số chẵn.

g) Cho (H) là đa diện có m mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của (H) là : $C=\frac{pM}{2}$

h) Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.

i) Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện.

k) Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.

(Tổng quát : Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn).

l) Không tồn tại một hình đa diện có:

+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh;

+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Nhận diện khối đa diện

Phương pháp: Ta dựa vào định nghĩa và các kết quả quan trọng ở phần lý thuyết.

Ví dụ 1: Trong các hình dưới đây, hình nào là hình đa diện?

Hướng dẫn giải:

Hình 1 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 4 đa giác.

Hình 2 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 3 đa giác.

Hình 4 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 4 đa giác.

Hình 3 là hình đa diện vì nó thỏa mãn khái niệm hình đa diện.

Dạng 2: Xác định số đỉnh, cạnh, mặt bên của một khối đa diện

Phương pháp: Ta sử dụng các kết quả thừa nhận trên phần lý thuyết.

Ví dụ 2: Hình chóp có 50 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

A. 26

B. 21

C. 25

D. 49

Hướng dẫn giải:

Gọi n là số cạnh đa giác đáy của hình chóp đã cho. Ta có:

Số cạnh đáy bằng số cạnh bên nên tổng số cạnh của hình chóp là 2n.

Từ giả thiết suy ra 2n = 50, khi đó n = 25.

Vậy đa giác đáy có 25 cạnh. Suy ra số mặt bên của hình chóp là 25. Mặt khác hình chóp có 1 mặt đáy. Nên tổng số mặt của hình chóp đã cho là: 26.

Chọn A.

Dạng 3: Xác định mặt phẳng đối xứng

Phương pháp: Do tính chất đối xứng nhau, nên ta sẽ đi từ trung điểm của các cạnh để tìm. Đảm bảo rằng, nếu chọn 1 mặt phẳng đối xứng nào thì các điểm còn lại phải chia đều về hai phía.

Ví dụ 3: Số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều là

A. 4 mặt phẳng.

B. 6 mặt phẳng.

C. 8 mặt phẳng.

D.  10 mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Các mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

Chọn B.

Dạng 4: Phân chia lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện là (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện H.

Ví dụ 4: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (ACC’) chia khối lập phương trên thành những khối đa diện nào?

A. Hai khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ và BCD.B’C’D’.

B. Hai khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ và ACD.A’C’D’.

C. Hai khối chóp tam giác C’.ABC và C’.ACD.

D. Hai khối chóp tứ giác C’.ABCD và C’.ABB’A’.

Hướng dẫn giải:

Ta có mặt phẳng $(ACC\text{'})\equiv (ACC\text{'}A\text{'})$ .

Nên mặt phẳng (ACC’A’) phân chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D thành hai khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ và ACD.A’C’D’.

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện?

A. Hình chóp.

B. Hình vuông. 

C. Hình lập phương.

D. Hình lăng trụ.

Câu 2: Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Câu 3: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A. 8

B. 10

C. 11

D. 12

Câu 4: Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là

A. 4

B. 6

C. 12

D. 9

Câu 5: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

A. Tứ diện đều.

B. Bát diện đều.

C.Hình lập phương.

D. Lăng trụ lục giác đều.

Câu 6: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4 mặt phẳng.

B. 1 mặt phẳng.

C. 2 mặt phẳng

D. 3 mặt phẳng.

Câu 7: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4 mặt phẳng.

B. 6 mặt phẳng.

C. 9 mặt phẳng.

D. 3 mặt phẳng.

Câu 8: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4 mặt phẳng.

B. 1 mặt phẳng.

C. 2 mặt phẳng.

D. 3 mặt phẳng.

Câu 9: Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 8 mặt phẳng.

B. 9 mặt phẳng.

C. 10 mặt phẳng.

D. 12 mặt phẳng.

Câu 10: Cho khối chóp có đáy là đa giác lồi có 7 cạnh. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:

A. Số đỉnh của khối chóp bằng 15.

B. Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.

C. Số mặt của khối chóp bằng 14.

D. Số cạnh của khối chóp bằng.

Câu 11: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau.

B. Trong một hình chóp đều các góc giữa một cạnh bên và mặt đáy thì bằng nhau.

C. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.

D. Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều.

Câu 12: Khối đa diện có các mặt đều là tam giác. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Số mặt và số đỉnh của nó bằng nhau.

B. Số mặt và số cạnh của nó bằng nhau.

C. Số mặt của nó là số chẵn.

D. Số mặt của nó là số lẻ.

Câu 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng (MCB’) chia khối lăng trụ đã cho thành các khối đa diện nào?

A. Hai khối chóp tam giác.                     

B. Hai khối lăng trụ tam giác.

C. Hai khối chóp tứ giác.

D. Một khối chóp tam giác và một khối lăng trụ tam giác.

Câu 14: Mặt phẳng (AB’C’) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’  thành các khối đa diện nào?

A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.

B. Hai khối chóp tam giác.

C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.

D. Hai khối chóp tứ giác.

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM