Công thức giải bất phương trình mũ chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Bất phương trình mũ cơ bản

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x>b$ (hoặc $a^x\ge b$, $a^x<b$, $a^x\le b$)

 với $a>0,a\ne 1$.

2. Tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản

a. Tập nghiệm của bất phương trình $a^x>b\left(a>0,a\ne 1\right)$

b. Tập nghiệm của bất phương trình $a^x\ge b\left(a>0,a\ne 1\right)$

c. Tập nghiệm của bất phương trình $a^x<b\left(a>0,a\ne 1\right)$

d. Tập nghiệm của bất phương trình $a^x\le b\left(a>0,a\ne 1\right)$

3. Một số bất phương trình mũ đơn giản

VD1. Giải bất phương trình sau:

a. $3^{x^2-x}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}$

b. ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\sqrt{2-x}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^x$

Lời giải:

a. 

$$\begin{gathered} 3^{x^2-x}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}{3}^{x^2-x}<3^{-x+1} \\ \iff x^2-x<-x+1 \\ \iff x^2<1\iff -1<x<1 \end{gathered}$$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-1;1\right)$

b. ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\sqrt{2-x}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^x$. Điều kiện: $2-x\ge 0\iff x\le 2$

Bất phương trình $\iff \sqrt{2-x}<x$ (vì cơ số $\frac{2}{5}<1$)

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}0<x\le 2\\ 2-x<x^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0<x\le 2\\ \left[\begin{array}{l}x>1\\ x<-2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff 1<x\le 2 \end{gathered}$$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left(1;2\right]$

VD2. Giải các bất phương trình sau:

a. $4^x-2^x-2\ge 0$

b. $4^{x+1}+6^x-{3.9}^x<0$

c. $0,4^x-2,5^{x+1}>1,5$

Lời giải:

a.

b.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left({\log }_{\frac{2}{3}}\frac{3}{4};+\infty \right)$

c.

VD3. Giải bất phương trình: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\le x+4$

Lời giải:

Xét hàm số $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x-x-4$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x.\ln \frac{1}{3}-1<0$. Do đó f(x) nghịch biến

Với $x<-1\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(-1\right)=0$ nên $f\left(x\right)\le 0$ vô nghiệm

Với $x\ge -1\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(-1\right)=0$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[-1;+\infty \right)$

VD4. Tìm tập nghiệm của bất phương trình: $5^{x^2-5x+6}>2^{x-3}$

Lời giải:

Lôgarit cơ số 5 hai vế ta được: ${\log }_5{5}^{x^2-5x+6}>{\log }_5{2}^{x-3}$

4. Luyện tập

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a.  $2^{-x^2+5x+3}<8$

b. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x^2-3x}\ge 1,5$

c. ${11}^{\sqrt{x+6}}\ge {11}^x$

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a. $2^{2x-1}+2^{2x-2}\ge 48$

b. ${16}^x-4^x-6\le 0$

c. $\frac{3^x}{3^x-2}<3$

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a. $4^x-{3.2}^x+2>0$

b. $4^x-{2.5}^{2x}<{10}^x$

c. $5^{x^2-5x+6}\le 2^{x-3}$

Bài 4. Giải các bất phương trình sau

a.  ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<x-\frac{1}{2}$

b. $3^x>5-2x$