Công thức giải phương trình mũ đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Phương trình mũ cơ bản

- Phương trình mũ cơ bản có dạng:

$a^x=b\left(a>0,a\ne 1\right)$

- Cách giải:                                                          

+ Cách 1: Sử dụng định nghĩa lôgarit:                  

Nếu $b\le 0$ phương trình vô nghiệm

Nếu b >0 phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$

+ Cách 2: Sử dụng đồ thị hàm số mũ

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=a^x$ và đường thẳng $y=b$ là nghiệm của phương trình $a^x=b$

- Nhìn vào đồ thị ta thấy rõ ràng:

Khi $b\le 0$ thì 2 đồ thị không cắt nhau tức phương trình vô nghiệm

Khi $b>0$ hai đồ thị chỉ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất $x={\log }_{a}b$

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a. Đưa về cùng cơ số

VD1. Giải các phương trình sau:

a. $2^{x^2-4x}=\frac{1}{8}$

b.$2,5^{2x-3}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+1}$ 

c. $7^{x-1}=2^x$

Lời giải:

a.

$$\begin{gathered} 2^{x^2-4x}=\frac{1}{8}\iff 2^{x^2-4x}=2^{-3} \\ \iff x^2-4x=-3 \\ \iff x^2-4x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=1;x=3$

b.

$$\begin{gathered} 2,5^{2x-3}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{x+1} \\ \iff {\left(\frac{5}{2}\right)}^{2x-3}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{-x-1} \\ \iff 2x-3=-x-1\iff x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{2}{3}$

c. 

$$\begin{gathered} 7^{x-1}=2^x\iff \frac{7^x}{7}=2^x \\ \iff {\left(\frac{7}{2}\right)}^x=7\iff x={\log }_{\frac{7}{2}}7 \end{gathered}$$

b. Đặt ẩn phụ

VD2. Giải các phương trình sau:

a. $4^x-{3.2}^x+2=0$

b. $9^{x+1}-{6.3}^{x-1}-7=0$

c. ${4.9}^x+{12}^x-{3.16}^x=0$

Lời giải:

a. 

$$\begin{gathered} 4^x-{3.2}^x+2=0 \\ \iff {\left(2^x\right)}^2-{3.2}^x+2=0 \end{gathered}$$

Đặt $t=2^x,\left(t>0\right)$. Phương trình trở thành

$t^2-3t+2=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=2\end{array}\right.$

Với $t=1\Rightarrow 2^x=1\iff x=0$

Với $t=2\Rightarrow 2^x=2\iff x=1$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=0;x=1$

b.

$$\begin{gathered} 9^{x+1}-{6.3}^{x-1}-7=0 \\ \iff {9.9}^x-6.\frac{3^x}{3}-7=0 \\ \iff 9.{\left(3^x\right)}^2-{2.3}^x-7=0 \end{gathered}$$

Đặt $t=3^x,\left(t>0\right)$.

Phương trình trở thành:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

c.

$$\begin{gathered} {4.9}^x+{12}^x-{3.16}^x=0 \\ \iff 4.{\left(\frac{9}{16}\right)}^x+{\left(\frac{12}{16}\right)}^x-3=0 \\ \iff 4.{\left[{\left(\frac{3}{4}\right)}^x\right]}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x-3=0 \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

c. Lôgarit hóa (lôgarit 2 vế)

VD3. Giải các phương trình sau

a. $2^x{.3}^{x^2}=1$

b. $8^{\frac{x}{x+2}}={36.3}^{2-x}$

Lời giải:

a. Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được:

b.

d. Đánh giá hàm số

VD4. Giải các phương trình sau

a. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=x-\frac{1}{2}$

b. $9^x+2\left(x-2\right){.3}^x+2x-5=0$

Lời giải:

a. Xét hàm số: $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x-x+\frac{1}{2}$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.\ln \frac{1}{2}-1<0$.

Suy ra hàm số nghịch biến

Do đó: $x<1\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(1\right)=0$;

$x>1\Rightarrow f\left(x\right)<f\left(1\right)=0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 1

b.  

3. Luyện tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. $0,5^{2x-3}=1$

b. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}=9$

c. $5^{x^2-3x+2}=25$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. $3^{2x-1}+9^x=108$

b. ${25}^x-5^x-56=0$

c. $5^{2x}-7^x+7^x.17-5^{2x}.17=0$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a. $2^{-x}=3x+10$

b. $5^x{.2}^{\frac{2x-1}{x+1}}=50$

c. $x^{2\log x}=10x$

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a. $2^{-x}=3x+10$

b. $3^x=11-x$

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a. ${3.4}^x-{2.6}^x=9^x$

b. $2^x-{3.2}^{-x}=2$

c. $-8^x+{2.4}^x+2^x-2=0$