Công thức logarit đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lí thuyết

a. Định nghĩa: Cho 2 số dương a, b với $a\ne 1$. Số x thỏa mãn đẳng thức $a^x=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log }_{a}b$

b. Các tính chất: Với $a,b>0;a\ne 1$ ta có

$$\begin{gathered} {\log }_{a}1=0 \\ {\log }_{a}a=1 \\ {a}^{{\log }_{a}b}=b \\ {\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha .{\log }_{a}a=\alpha \end{gathered}$$

2. Các quy tắc tính

a. Lôgarit của một tích

- Định lí 1: Với các số dương a, x, y và $a\ne 1$ ta có:

${\log }_a\left(x.y\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

- Chú ý: Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của n số dương:

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(x_1.x_2\mathrm{...}{x}_n\right) \\ ={\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2+\mathrm{...}+{\log }_a{x}_n \\ \left(a,x_i,i=\overline{1,n}>0;a\ne 1\right) \end{gathered}$$

b. Lôgarit của một thương

- Định lí 2: Với các số dương a, x, y và $a\ne 1$ ta có:

${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$

c. Lôgarit của một lũy thừa

- Định lí 3: Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

$$\begin{gathered} {\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha .{\log }_{a}b \\ \left(a,b>0;a\ne 1,\alpha \in ℝ\right) \end{gathered}$$

- Đặc biệt:

${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

3. Công thức đổi cơ số, lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.

- Định lí 4: Cho 3 số dương a, b, c với $a\ne 1,c\ne 1$, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

- Đặc biệt:

$\left\{\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}\left(b\ne 1\right)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b\left(\alpha \ne 0\right)\end{array}\right.$

- Lôgarit thập phân: Là lôgarit cơ số 10. Kí hiệu: ${\log }_{10}x=\log x$

- Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit cơ số e. Kí hiệu: ${\log }_{e}x=\ln x$

- Chú ý: Tìm số các chữ số của một lũy thừa:

Bài toán: Số $a^{\alpha }$ có bao nhiêu chữ số?

Số các chữ số của $a^{\alpha }$ chính là $\left[\log a^{\alpha }\right]+1$ (phần nguyên $a^{\alpha }$ cộng 1)

- VD: Số $3^{20}$ có $\left[\log 3^{20}\right]+1=10$ chữ số.

4. Các ví dụ

VD1. Tìm x biết

a. ${\log }_{2}x=3$

b. $3^x=4$

c.  ${\log }_{3}x=4{\log }_{3}a+7{\log }_{3}b$

Lời giải:

VD2. Cho ${\log }_{2}5=a$. Tính ${\log }_{4}1250$ theo a.

Lời giải:

VD3. Cho ${\log }_{3}15=a$ và ${\log }_{3}10=b$. Tính ${\log }_{\sqrt{3}}50$ theo a và b.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{3}}50={\log }_{3^{\frac{1}{2}}}50 \\ =2{\log }_3\left(5.10\right)=2{\log }_{3}5+2{\log }_{3}10 \end{gathered}$$

Ta thấy:

$$\begin{gathered} {\log }_{3}15=a\iff 1+{\log }_{3}5=a \\ \Rightarrow {\log }_{3}5=a-1 \end{gathered}$$

Thay lại ta được:

$$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{3}}50=2\left(a-1\right)+2b \\ \iff {\log }_{\sqrt{3}}50=2a+2b-2 \end{gathered}$$

VD4. Cho $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{3}5$, $c={\log }_{7}2$. Tính ${\log }_{140}63$ theo a, b, c

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} {\log }_{140}63=\frac{{\log }_{7}63}{{\log }_{7}140} \\ =\frac{{\log }_7{3}^2.7}{{\log }_7{2}^2\mathrm{.5.7}}=\frac{1+2{\log }_{7}3}{1+2{\log }_{7}2+{\log }_{7}5} \end{gathered}$$

+) ${\log }_{7}3={\log }_{2}3.{\log }_{7}2=a.c$

+) ${\log }_{7}5={\log }_{3}5.{\log }_{7}3=b.a.c$

Thay vào ta được: 

${\log }_{140}63=\frac{1+2ac}{1+2c+abc}$

5. Luyện tập

Bài 1. Tính

a. ${\log }_2\frac{1}{8}$

b. ${\log }_{\frac{1}{4}}2$

c. ${\log }_3\sqrt[4]{3}$

Bài 2. Tính

a. $4^{{\log }_{2}5}$

b. ${27}^{-{\log }_{9}2}$

c. $9^{{\log }_{\sqrt{3}}2}$

Bài 3. Tính

a.  $A=\frac{1}{2}{\log }_{7}36-{\log }_{7}14-3{\log }_7\sqrt[3]{21}$

b. $B=\frac{{\log }_{2}24-\frac{1}{2}{\log }_{2}72}{{\log }_{3}18-\frac{1}{3}{\log }_{3}72}$

Bài 4. Tìm x biết

a. ${\log }_{5}x=2{\log }_{5}a-3{\log }_{5}b$$\left(a,b>0\right)$

b. ${\log }_{\frac{1}{2}}x=\frac{2}{3}{\log }_{\frac{1}{2}}a-\frac{1}{5}{\log }_{\frac{1}{2}}b$$\left(a,b>0\right)$

Bài 5. So sánh các cặp số sau

a.  ${\log }_{3}5$ và ${\log }_{7}4$

b. ${\log }_{2}10$ và ${\log }_{5}30$

Bài 6.

a. ${\log }_{2}5=a$ và ${\log }_{3}5=b$. Tính ${\log }_{6}5$ theo a và b

b. Cho ${\log }_{2}3=a$; ${\log }_{5}3=b$. Hãy biểu diễn ${\log }_{6}45$ theo a và b.