Công thức tính diện tích hình trụ đầy đủ nhất ( diện tích xung quanh, toàn phần) - Toán lớp 12

1. Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

- Công thức tính: $S_{xq}=2\pi rh=2\pi rl$

Trong đó: r là bán kính của đường tròn đáy

h là chiều cao của khối trụ.

l là độ dài đường sinh.

- Minh họa bằng lát cắt hình vẽ

Nêu ta cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một đoạn bằng đường sinh và một cạnh bằng chu vi của đường tròn đáy. Khi đó diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

VD1. Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4.

Lời giải:

Diện tích xung quanh hình trụ là :

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi \mathrm{.3.4}=24\pi$

VD2. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục OO’ ta được một hình trụ tròn xoay. Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay đó.

Lời giải:

Bán kính đường tròn đáy là $r=\frac{1}{2}CD=a$

Chiều cao hình trụ là $h=OO\text{'}=AD=2a$

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là :

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi .a.2a=4a^2\pi$

VD3. Cho hình chữ nhật ABCD có $AB=3;AD=4$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành khi quay ABCD quanh AB.

Lời giải:

Khi quay ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ tròn xoay có chiều cao là $h=AB=3$ và bán kính đáy $r=AD=4$

Do vậy diện tích xung quanh là $S_{xq}=2\pi r.h=24\pi$

VD4. Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ là 314. Hãy tính bán kính đáy của hình trụ

Lời giải:

Diện tích xung quanh :

$$\begin{gathered} S_{xq}=2\pi rh=2\pi r^2 \\ \Rightarrow 314=2\pi r^2\Rightarrow r\approx 7,07 \end{gathered}$$

2. Công thức tính diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng diện tích 2 đáy.

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{xq}+2S_d \\ =2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r\left(r+h\right) \end{gathered}$$

VD1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5.

Lời giải:

Diện tích toàn phần là :

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{xq}+2S_d \\ =2\pi r\left(r+h\right) \\ =2\pi .3\left(3+5\right)=48\pi \end{gathered}$$

VD2. Tính diện tích toàn phần của hình trụ biết chu vi đáy là 30 và diện tích xung quanh bằng 200.

Lời giải:

Chu vi đáy là :

$C=2\pi r\Rightarrow r=\frac{C}{2\pi }=\frac{15}{\pi }$

Suy ra :

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{xq}+2S_d \\ =200+2\pi r^2 \\ =200+2\pi \frac{225}{{\pi }^2} \\ =200+\frac{500}{\pi } \end{gathered}$$

VD3. Diện tích và chu vi của một hình chữ nhật ABCD (AB > AD) theo thứ tự là $3a^2$ và 8a. Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ này.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: $AB+BC=4a$

Diện tích hình chữ nhật là: $AB.CD=3a^2$

Dễ dàng suy ra $\left\{\begin{array}{l}AB=3a\\ BC=a\end{array}\right.$

Khi quay HCN quanh cạnh AB ta được hình trụ tròn xoay có bán kính $r=BC=a$ và chiều cao $h=AB=3a$

$\Rightarrow S_{xq}=2\pi rh=6\pi a^2$; 

$$\begin{gathered} S_{tp}=2\pi r\left(r+h\right) \\ =2\pi .a.4a=8\pi a^2 \end{gathered}$$

VD4. Một hình trụ bán kính đáy là 4 cm. Biết diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Tính chiều cao của hình trụ.

Lời giải:

Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{xq}=2\pi rh=8\pi h$

Diện tích toàn phần hình trụ là: 

$$\begin{gathered} S_{tp}=2\pi r\left(r+h\right) \\ =2\pi .4\left(h+4\right)=8\pi \left(h+4\right) \end{gathered}$$

Theo bài ta có: 

$$\begin{gathered} S_{tp}=2S_{xq} \\ \iff 8\pi \left(h+4\right)=2.8\pi h \\ \iff h+4=2h\iff h=4 \end{gathered}$$

Vậy hình trụ có chiều cao bằng 4.