Công thức tính diện tích hình nón cụt đầy đủ nhất ( diện tích xung quanh, toàn phần, đáy) - Toán lớp 12

1. Định nghĩa hình nón cụt

- Hình nón cụt được tạo thành khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng (P) chia hình nón lớn ban đầu thành 2 phần:

+ Phần 1 là hình nón nhỏ hơn

+ Phần 2 là hình nón cụt

- Đoạn II’ là đường cao của hình chóp cụt

- AA’ là độ dài đường sinh (l)

- IA là bán kính đường tròn đáy lớn ($r_1$)

- I’A’ là bán kính đường tròn đáy bé. ($r_2$)

2. Diện tích đáy của hình nón cụt

Hình nón cụt có 2 đáy:

- Đáy lớn bán kính $r_1$ có diện tích $S_1=\pi {r_1}^2$

- Đáy bé bán kính $r_2$ có diện tích $S_2=\pi {r_2}^2$

3. Diện tích xung quanh hình nón cụt

Cho hình nón cụt có độ dài đường sinh là l

Bán kính đáy lớn là $r_1$

Bán kính đáy nhỏ là $r_2$

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt bằng diện tích xung quanh hình nón lớn trừ diện tích xung quanh hình nón bé.

$S_{xq}=\pi \left(r_1+r_2\right).l$

4. Diện tích toàn phần hình nón cụt

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{xq}+{\mathrm{S}}_{\text{đáy lớn }}+{\mathrm{S}}_{\text{đáy bé }} \\ =\pi \left(r_1+r_2\right).l+\pi .{r_1}^2+\pi {r_2}^2 \end{gathered}$$

5. Ví dụ vận dụng

VD1. Một chiếc đèn ngủ có dạng hình nón cụt. Biết 2 đáy có bán kính lần lượt là 15 cm và 10 cm. Độ dài đường sinh là 20 cm.

a. Tính diện tích xung quanh của đèn

b. Biết chi phí làm đèn là 500.000  trên 1 $m^2$. Tính giá của chiếc đèn

Lời giải:

a. Diện tích xung quanh của đèn là:

$S_{xq}=\pi \left(10+15\right).20=500\pi \left(c{m}^2\right)$

b. Đổi $500\pi c{m}^2=0,05\pi m^2$

Suy ra chi phí đèn là $25000\pi \approx 80000$

VD2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón cụt có bán kính 2 đáy là 10 và 16. Biết thiết diện qua trục có diện tích là 468.

Lời giải:

Thiết diện qua trục là hình thang cân ABCD như hình vẽ

Ta có: $AB=20$; $CD=32$

Suy ra diện tích thiết diện 

$$\begin{gathered} S_{ABCD}=\frac{\left(20+32\right)h}{2}=468 \\ \Rightarrow h=18 \end{gathered}$$

Hạ 2 đường cao AH và BK :

$$\begin{gathered} \Rightarrow HK=AB=20 \\ \Rightarrow DH=KC=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow AD=\sqrt{A{H}^2+D{H}^2} \\ =\sqrt{{18}^2+6^2}=6\sqrt{10} \end{gathered}$$

Diện tích xung quanh hình chóp cụt là :

$$\begin{gathered} S_{xq}=\pi \left(10+16\right).6\sqrt{10} \\ =156\pi \sqrt{10} \end{gathered}$$

Diện tích đáy lớn là: $S_1=\pi {.16}^2=256\pi$

Diện tích đáy bé là: $S_2=\pi {.10}^2=100\pi$

$$\begin{gathered} \Rightarrow S_{tp}=S_{xq}+S_1+S_2 \\ =\left(356+156\sqrt{10}\right)\pi \end{gathered}$$