a)

b) Do AH $\mathbf{\perp }$ d nên $\widehat{AHM}$ = 90^o.

Nên tam giác AHM là tam giác vuông và AM là cạnh huyền.

Mà trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh dài nhất nên AM > AH.

a) Đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC là AB.

Đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng BC là AM.

b) Do AM là đường xiên kẻ từ A đến BC và AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC nên AM > AB.

c) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn BC.

Do ABCD là hình vuông nên BC vuông góc với AB tại B. Do đó, BC = AD = 2 cm.

Vậy khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 2 cm.

Ta có OA là đường vuông góc kẻ từ O đến AC.

OB và OC là các đường xiên kẻ từ O đến AC nên OB > OA và OC > OA.

Do đó để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì Nam nên chọn đường bơi OA.

a) Với HM < HN ta có $\widehat{AMN}$ là góc ngoài tại đỉnh M của $\Delta AHM$ do đó

$\widehat{AMN}=\widehat{AHM}+\widehat{HAM}>\widehat{AHM}$.

Do đó $\widehat{AMN}$ là góc tù.

$\Delta AMN$ có $\widehat{AMN}$ là góc tù nên $\widehat{AMN}$ là góc lớn nhất trong $\Delta AMN$.

Do đó AN là cạnh lớn nhất trong  hay AM < AN.

Giả sử tam giác ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC.

Khi đó AH là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Vậy chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

b) CB là khoảng cách từ C đến AB, CD là khoảng cách từ C đến AD.

BC = CD nên khoảng cách từ C đến AB bằng khoảng cách từ C đến AD.

Do đó C là điểm cách đều hai đường thẳng AB và AD.

a)

Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

Khi M di chuyển trên BC thì tạo ra các đường xiên kẻ từ A xuống BC. Trường hợp đặt biệt khi M trùng với H thì AM là đường vuông góc.

Mà trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC thì giá trị của AM nhỏ nhất.

b) Ta có: $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$.

$\widehat{AMB}$ là góc ngoài tại đỉnh M của $\Delta AMC$ nên $\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{ACM}>\widehat{ACM}$

Do đó $\widehat{AMB}>\widehat{ABM}$.

Xét $\Delta AMB$ có $\widehat{AMB}>\widehat{ABM}$ nên AB > AM (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

Vậy AM < AB.

Ta có $\widehat{NMB}$ là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AMN nên $\widehat{NMB}=\widehat{ANM}+\widehat{NAM}>\widehat{NAM}$ (do $\widehat{NAM}=90°$)

Do đó $\widehat{NMB}$ là góc tù.

$\Delta NMB$ có $\widehat{NMB}$ là góc tù nên $\widehat{NMB}$ là góc lớn nhất trong $\Delta NMB$.

Do đó cạnh NB là cạnh lớn nhất trong $\Delta NMB$.

Khi đó MN < NB (1).

$\widehat{CNB}$ là góc ngoài tại đỉnh N của $\Delta ANB$ nên $\widehat{CNB}=\widehat{NBA}+\widehat{BAN}>\widehat{BAN}$.

Do đó $\widehat{CNB}$ là góc tù.

$\Delta CNB$ có $\widehat{CNB}$ là góc tù nên $\widehat{CNB}$ là góc lớn nhất trong $\Delta CNB$.

Do đó cạnh BC là cạnh lớn nhất trong $\Delta CNB$.

Khi đó NB < BC (2).

Từ (1) và (2) ta có MN < NB < BC.

Vậy MN < BC.