50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 8

có bảng biến thiên như sau:

y = f (x)

Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau đây?

A. $x = 2$

B. $x = - 2$

C. $x = 4$

D. $x = 3$

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$ vì y' đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x = 2$ .

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16$ . Tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S) là:

A. $I (1; 0; - 2), r = 16$

B. $I (1; 0; - 2), r = 4$

C. $I (- 1; 0; 2), r = 16$

D. $I (- 1; 0; 2), r = 4$

Xem đáp án

Tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S) có phương trình là: ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16$ là $I (1; 0; - 2), r = 4$

Chọn đáp án B

Câu 4:

Ta có

C_{n}^{k}

là số các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử

(1 \leq k \leq n)

. Chọn mệnh đề đúng.

A. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{(n - k)!}$

B. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

C. $C_{n}^{k} = \frac{k! (n - k)!}{n!}$

D. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 5:

Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng B , chiều cao bằng h là

f (x)

liên tục trên

[0; 3]

và

\int_{0}^{2} f (x) d x = 1, \int_{2}^{3} f (x) d x = 4.

Tính

\int_{0}^{3} f (x) d x .

A. 5

B. -3

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x = 1 + 4 = 5.$

Chọn đáp án A

Câu 6:

A. $V = \frac{1}{3} B h$

B. $V = \frac{1}{6} B h$

C. $V = B h$

D. $V = \frac{1}{2} B h$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 7:

Trong không gian Oxyz cho các vectơ

\vec{a} = (1; 2; 3)

,

\vec{b} = (- 2; 4; 1)

,

\vec{c} = (- 1; 3; 4)

. Vectơ

\vec{v} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 5 \vec{c}

có tọa độ là

A. $\vec{v} = (23; 7; 3)$

B. $\vec{v} = (7; 3; 23)$

C. $\vec{v} = (3; 7; 23)$

D. $\vec{v} = (7; 23; 3)$

Xem đáp án

Ta có: $2 \vec{a} = (2; 4; 6)$ ; $3 \vec{b} = (- 6; 12; 3)$ ; $5 \vec{c} = (- 5; 15; 20)$

Suy ra: $\vec{v} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 5 \vec{c} = (3; 7; 23)$ .

Chọn đáp án C

Câu 8:

Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và chiều cao $h = 4$ . Tính thể tích V của khối nón đã cho.

A. 4

B. 12

C. $12 π$

D. $4 π$

Xem đáp án

Ta có $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(\sqrt{3})}^{2} 4 = 4 π$ .

Chọn đáp án D

Câu 9:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{2 - x}{x + 3}

Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $x = 2$

B. $x = - 3$

C. $y = - 1$

D. $y = - 3$

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số $D = ℝ \ \{- 3\}$ .

Ta có $\lim_{x \to {(- 3)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{2 - x}{x + 3} = + \infty$ .

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 3$

Chọn đáp án B

Câu 10:

A. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy nên chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Chọn đáp án B

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, Điểm $M (3; - 1)$ biểu diễn số phức

A. $z = 3 - i$

B. $z = - 3 + i$

C. $z = 1 - 3 i$

D. $z = - 1 + 3 i$

Xem đáp án

Số phức $z = a + b i$ $(a, b \in ℝ)$ . Điểm biểu diến số phức là $M (a; b)$ .

Từ đó suy ra điểm $M (3; - 1)$ biểu diễn số phức: $z = 3 - i$ .

Chọn đáp án A

Câu 12:

Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng 2, độ dài đường sinh bằng 3. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.

A. $18 π$

B. $3 π$

C. $12 π$

D. $6 π$

Xem đáp án

Hình trụ có

r = 2,

đường sinh

l = 3

.
Diện tích xung quanh

S_{x q} = 2 π r l = 2 π .2.3 = 12 π

.

Chọn đáp án C

Câu 13:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x} + x^{2}$ là

A. $F (x) = e^{2 x} + x^{3} + C$

B. $F (x) = e^{2 x} + \frac{x^{3}}{3} + C$

C. $F (x) = 2 e^{2 x} + 2 x + C$

D. $F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int (e^{2 x} + x^{2}) d x = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$

Chọn đáp án D

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α)$ : $x - 2 y + 2 z - 3 = 0.$ Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng $(α)$ ?

A. $P (2; - 1; 1) .$

B. $N (1; 0; 1) .$

C. $M (2; 0; 1) .$

D. $Q (2; 1; 1) .$

Xem đáp án

Ta có: $1.1 - 2.0 + 2.1 - 3 = 0.$ Tọa độ điểm $N (1; 0; 1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(α)$ nên N nằm trên mặt phẳng $(α)$ .

Chọn đáp án B

Câu 15:

Tính đạo hàm của hàm số

y = \ln (\sin x)

.

A. $y' = \frac{- 1}{\sin^{2} x}$

B. $y' = \tan x$

C. $y' = \cot x$

D. $y' = \frac{1}{\sin x}$

Xem đáp án

Ta có:

y' = [\ln (\sin x)]' = \frac{1}{\sin x} . (\sin x)' = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x

Chọn đáp án C

Câu 16:

Với các số thực a,b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $2^{a} {.2}^{b} = 4^{a b} .$

B. $2^{a} {.2}^{b} = 2^{a b} .$

C. $2^{a} {.2}^{b} = 2^{a - b} .$

D. $2^{a} {.2}^{b} = 2^{a + b} .$

Xem đáp án

Ta có

2^{a} {.2}^{b} = 2^{a + b} .

Chọn đáp án D

Câu 17:

có bảng biến thiên như sau

y = f (x)

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 3)$ .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1;3).

Chọn đáp án C

Câu 18:

Nghiệm của phương trình

3^{2 x - 1} = 27

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

A. $x = - 2$

B. $x = 2$

C. $x = 3$

D. $x = 0$

Xem đáp án

Ta có: $3^{2 x - 1} = 27 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy nghiệm của phương trình $3^{2 x - 1} = 27$ là $x = 2$ .

Chọn đáp án B

Câu 19:

Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 3}{- 1}

. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của

Δ

?

A. $\vec{u_{4}} = (1; - 2; - 3)$

B. $\vec{u_{2}} = (- 1; 2; 3)$

C. $\vec{u_{3}} = (2; - 1; - 1)$

D. $\vec{u_{1}} = (2; 1; 1)$

Xem đáp án

Đường thẳng

Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 3}{- 1}

có một vectơ chỉ phương là

\vec{u_{3}} = (2; - 1; - 1)

.

Chọn đáp án C

Câu 20:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $i^{3} = i$

B. $i^{4} = - 1$

C. ${(1 + i)}^{2}$ là số thực

D. ${(1 + i)}^{2} = 2 i$

Xem đáp án

Ta có

{(1 + i)}^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i

Chọn đáp án D

Câu 21:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ có $B C = a, B B' = a \sqrt{3}$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A' B' C)$ và $(A B C' D')$ bằng

A. $60^{o}$

B. $45^{o}$

C. $30^{o}$

D. $90^{o}$

Xem đáp án

Ta có:

((A' B' C); (A B C' D')) = (B C'; B' C)

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo

B C'

và

B' C

.
+)

\tan \hat{C B' B} = \frac{C B}{B B'} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \hat{C B' B} = 30^{o}

.
Tam giác

I B B'

cân tại I, suy ra:

\hat{B I B'} = 120^{o} \Rightarrow \hat{C I B} = 60^{o}

.
Vậy

((A' B' C); (A B C' D')) = 60^{o}

.

Chọn đáp án A

Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z - 2 = 0$ và điểm $I (- 1; 2; - 1)$ . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5 .

A. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 34.$

B. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 25.$

C. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 34.$

D. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 16.$

Xem đáp án

Ta có: $d (I, (P)) = 3;$ bán kính đường tròn giao tuyến $r = 5$ suy ra bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{34}$ do đó phương trình mặt cầu là: ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 34.$

Chọn đáp án C

Câu 23:

Với

0 < a \neq 1, 0 < b \neq 1

, giá trị của

\log_{a^{2}} (a^{10} b^{2}) + \log_{\sqrt{a}} (\frac{a}{\sqrt{b}}) + \log_{\sqrt[3]{b}} (b^{- 2})

A. 2

B. 1

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Cách 1: Bấm máy tính chọn

\{\begin{cases} a = 5 \\ b = 6 \end{cases}

(có thể chọn số khác miễn sao thỏa mãn điều kiện

0 < a \neq 1, 0 < b \neq 1

)
Ta bấm máy như sau:

\log_{5^{2}} (5^{10} 6^{2}) + \log_{\sqrt{5}} (\frac{5}{\sqrt{6}}) + \log_{\sqrt[3]{6}} (6^{- 2})

đuợc kết quả: 1.
Cách 2:

\begin{array}{l} \log_{a^{2}} (a^{10} b^{2}) + \log_{\sqrt{a}} (\frac{a}{\sqrt{b}}) + \log_{\sqrt[3]{b}} (b^{- 2}) \\ = \log_{a^{2}} a^{10} + \log_{a^{2}} b^{2} + \log_{\sqrt{a}} a - \log_{\sqrt{a}} \sqrt{b} + \log_{b^{\frac{1}{3}}} (b^{- 2}) \\ = \frac{10}{2} \log_{a} a + \frac{2}{2} \log_{a} b + \log_{a^{\frac{1}{2}}} a - \log_{a^{\frac{1}{2}}} b^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{\frac{1}{3}} \log_{b} b \\ = 5 + \log_{a} b + 2 - \log_{a} b - 6 \end{array}

= 1

Câu 24:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int \sin x d x = \cos x + C$

B. $\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C, x \neq 0$

C. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

D. $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, (0 < a \neq 1)$

Xem đáp án

Theo bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp ta có: Phương án A, B, C đúng.

Phương án D sai vì

\int \sin x d x = - \cos x + C

.

Chọn đáp án A

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 3 + 5 t \end{cases}; t \in ℝ$ . Khi đó, phương trình chính tắc của d là

A. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 3}{5}$

B. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 3}{5}$

C. $x - 2 = y = z + 3$

D. $x + 2 = y = z - 3$

Xem đáp án

Ta có phương trình đường thẳng d:

\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 3 + 5 t \end{cases}

đi qua điểm

A (2; 0; - 3)

và có vectơ chỉ phương

\vec{u} = (2; - 3; 5)

nên có phương trình chính tắc là

\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 3}{5}

.

Chọn đáp án A

Câu 26:

có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số

y = f (x)

. Hàm số

y = f^{'} (x)

y = f (x)

có cạnh bằng 1 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng

Cho hàm số y=f(x) . Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 1)

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đồ thị hàm số

y = f^{'} (x)

cắt trục hoành tại ba điểm lần lượt là

x_{1}, x_{2}, x_{3}

(với

x_{1} < x_{2} < x_{3}

).
Từ đồ thị của hàm số

y = f^{'} (x)

ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x) . Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 2)

Ta thấy

f^{'} (x)

đổi dấu từ âm qua dương khi qua điểm

x_{1}

này nên số điểm cực trị của hàm số

y = f (x)

bằng 1.

Chọn đáp án A

Câu 27:

Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

(B D A^{'})

.

A. $d = \frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $d = \sqrt{3}$

C. $d = \frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $d = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Xem đáp án

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có

\{\begin{cases} B D ⊥ A O \\ B D ⊥ A A^{'} \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (A A^{'} O)

Suy ra

(B D A^{'}) ⊥ (A A^{'} O)

.
Kẻ

A H ⊥ A^{'} O \Rightarrow A H ⊥ (B D A^{'})

.
Suy ra

A H = d (A, (B D A^{'}))

.
Xét tam giác

A A^{'} O

vuông tại A có

A A^{'} = 1

,

A O = \frac{1}{2} A C = \frac{\sqrt{2}}{2}

:

A H = \frac{A A^{'} . A O}{\sqrt{A {A^{'}}^{2} + A O^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

.
Vậy

d (A, (B D A^{'})) = \frac{\sqrt{3}}{3}

.

Chọn đáp án C

Câu 28:

Đồ thị hàm số

y = 2 x^{3} - x^{2} + x + 2

cắt parabol

y = - 6 x^{2} - 4 x - 4

tại một điểm duy nhất. Kí hiệu

(x_{0}; y_{0})

là tọa độ điểm đó. Tính giá trị của biểu thức

x_{0} + y_{0}

A. 1

B. -1

C. -22

D. 4

Xem đáp án

Ta có

x_{0}

là nghiệm của phương trình.

\begin{array}{l} 2 x^{3} - x^{2} + x + 2 = - 6 x^{2} - 4 x - 4 \\ \Leftrightarrow 2 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 2) (2 x^{2} + x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow x_{0} = - 2 \end{array}

Với

x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = - 20

. Vậy

x_{0} + y_{0} = - 22

.

Chọn đáp án C

Câu 29:

Biết

\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{2 - x} d x = a \ln 2 + b

với

a, b \in Q

. Hãy tính

a + 2 b

A. $a + 2 b = 3$

B. $a + 2 b = 0$

C. $a + 2 b = - 10$

D. $a + 2 b = 10$

Xem đáp án

$\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{2 - x} d x = \int_{0}^{1} (- 2 + \frac{7}{- x + 2}) d x = (- 2 x - 7 \ln |2 - x|) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = 7 \ln 2 - 2$

Ta có $a = 7, b = - 2 \Rightarrow a + 2 b = 3$

Chọn đáp án A

Câu 30:

có bảng biến thiên như hình vẽ sau

y = f (x)

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 2; 1)$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$ .

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2).

Câu 31:

Tung đồng thời hai con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác xuất để số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc đều là số chẵn.

A. $\frac{1}{2} .$

B. $\frac{1}{3} .$

C. $\frac{1}{4} .$

D. $\frac{1}{6} .$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = 36$ .

Gọi A là biến cố để số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc đều là số chẵn.

$\Rightarrow A = \{(2; 2); (2; 4); (2; 6); (4; 2); (4; 4); (4; 6); (6; 2); (6; 4); (6; 6)\} \Rightarrow n (A) = 9.$

Xác xuất của biến cố A là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} .$

Chọn đáp án C

Câu 32:

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a .

A. $V = 6 a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = 24 a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = 12 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Hình lục giác đều cạnh a được tạo bởi 6 tam giác đều cạnh a.
Mỗi tam giác đều cạnh a có diện tích:

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

.
Diện tích của hình lục giác đều là:

S = 6. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3}{2} a^{2} \sqrt{3} .

Thể tích của khối lăng trụ là:

V = S . h = \frac{3}{2} a^{2} \sqrt{3} .4 a = 6 \sqrt{3} a^{3}

Chọn đáp án A

Câu 33:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

z^{3} = 1

?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Ta có $z^{3} = 1 \Leftrightarrow z^{3} - 1 = 0 \Leftrightarrow (z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 \\ z = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array}$

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ .

Chọn đáp án B

Câu 34:

Cho cặp số

(x; y)

thỏa mãn:

(2 + 3 i) x + y (1 - 2 i) = 5 + 4 i

. Khi đó biểu thức

P = x^{2} - 2 y

nhận giá trị nào sau đây:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có:

(2 + 3 i) x + y (1 - 2 i) = 5 + 4 i

\Leftrightarrow 2 x + 3 x i + y - 2 y i = 5 + 4 i

\Leftrightarrow (2 x + y) + (3 x - 2 y) i = 5 + 4 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ 3 x - 2 y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}

Nên

P = x^{2} - 2 y = 4 - 2 = 2

Chọn đáp án B

Câu 35:

Phương trình

\log_{3} (3 x - 2) = 3

có nghiệm là

A. $\frac{29}{3}$

B. $\frac{11}{3}$

C. 87

D. $\frac{25}{3}$

Xem đáp án

Ta có:

\log_{3} (3 x - 2) = 3 \Leftrightarrow 3 x - 2 = 3^{3} \Leftrightarrow x = \frac{29}{3}

.
Vậy phương trình

\log_{3} (3 x - 2) = 3

có nghiệm là

x = \frac{29}{3}

.

Chọn đáp án A

Câu 36:

Tìm giá trị của tham số m thực để giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{2 x + m}{x + 1}

trên đoạn

[0; 4]

bằng 3.

A. $m = 5$

B. $m = 3$

C. $m = 1$

D. $m = 7$

Xem đáp án

Ta có :

y' = \frac{2 - m}{{(x + 1)}^{2}}

+ Xét

m = 2

Hàm số trở thành

y = 2

: là hàm số hằng nên không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3

\Rightarrow m = 2

(loại)
+ Xét

m > 2

.

\Rightarrow y' = \frac{2 - m}{{(x + 1)}^{2}} < 0 (\forall x \neq - 1)

\Rightarrow \underset{[0; 4]}{\min y} = y (4) = \frac{8 + m}{5}

.

\Rightarrow \frac{8 + m}{5} = 3 \Leftrightarrow m = 7

(thoả mãn).
+ Xét

m < 2

.

\Rightarrow y' = \frac{2 - m}{{(x + 1)}^{2}} > 0 (\forall x \neq - 1)

\Rightarrow \underset{[0; 4]}{\min y} = y (0) = m

.

\Rightarrow m = 3

(loại).
Vậy

m = 7

.

Chọn đáp án D

Câu 37:

Cho bất phương trình

{(\frac{2}{3})}^{x^{2} - x + 1} > {(\frac{2}{3})}^{2 x + 1}

có tập nghiệm

S = (a; b)

. Giá trị của

b - a

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Ta có:

{(\frac{2}{3})}^{x^{2} - x + 1} > {(\frac{2}{3})}^{2 x + 1} \Leftrightarrow x^{2} - x + 1 < 2 x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3.

Vậy tập nghiệm

S = (0; 3)

, suy ra

b - a = 3 - 0 = 3

.

Chọn đáp án B

Câu 38:

Phần ảo của số phức

z = 2019 + i^{2019}

với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng

A. 1

B. 2019

C. -1

D. -2019

Xem đáp án

Ta có

z = 2019 + i^{2019} = 2019 + i^{2016} . i^{3} = 2019 + i^{3} = 2019 - i

Do đó phần ảo của

z = 2019 + i^{2019}

bằng -1.

Chọn đáp án C

Câu 39:

Cho bất phương trình

m {.9}^{x} + (m - 1) {.16}^{x} + 4 (m - 1) {.12}^{x} > 0

(0; 10)

để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là

ℝ

.

A. 0

B. 8

C. 1

D. 9

Xem đáp án

m {.9}^{x} + (m - 1) {.16}^{x} + 4 (m - 1) {.12}^{x} > 0 \Leftrightarrow (m - 1) {(\frac{4}{3})}^{2 x} + 4 (m - 1) {(\frac{4}{3})}^{x} + m > 0 (1)

Đặt

t = {(\frac{4}{3})}^{x}, t > 0 \forall x

. Bất phương trình (1) trở thành

(m - 1) t^{2} + 4 (m - 1) t + m > 0

Bất phương trình (1) có tập nghiệm là R khi và chỉ khi

(m - 1) t^{2} + 4 (m - 1) t + m > 0, \forall t > 0

\Leftrightarrow m > \frac{t^{2} + 4 t}{t^{2} + 4 t + 1}, \forall t > 0 (2)

Xét hàm số

y = f (t) = \frac{t^{2} + 4 t}{t^{2} + 4 t + 1}

với

t > 0

, ta có

y^{'} = \frac{2 t + 4}{{(t^{2} + 4 t + 1)}^{2}} > 0, \forall t > 0

Bảng biến thiên

Cho bất phương trình m.9^x+(m-1).16^x+4(m-1).12^x lớn hơn 0 (ảnh 1)

Bất phương trình (2) được thỏa mãn khi và chỉ khi đường thẳng

y = m

luôn nằm trên mọi điểm của đồ thị hàm số

y = f (t)

. Từ BBT suy ra

m \geq 1

Mà m là số nguyên thuộc khoảng

(0; 10)

nên

m \in \{1; 2 ; 3 ;. . . ; 9\}

Chọn đáp án D

Câu 40:

có đạo hàm trên R và không có cực trị, đồ thị của hàm số

y = f (x)

y = f (x)

là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số

h (x) = \frac{1}{2} {[f (x)]}^{2} - 2 x . f (x) + 2 x^{2}

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là $M (1; 0)$

B. Hàm số $y = h (x)$ không có cực trị

C. Đồ thị hàm số $y = h (x)$ có điểm cực đại là $N (1; 2)$

D. Đồ thị của hàm $y = h (x)$ số có điểm cực tiểu là $M (1; 0)$ .

Xem đáp án

Theo bài ra ta có

h^{'} (x) = f' (x) . f (x) - 2 f (x) + 2 x . f^{'} (x) + 4 x = f^{'} (x) (f (x) - 2 x) - 2 (f (x) - 2 x)

= (f^{'} (x) - 2) (f (x) - 2 x)

Từ đồ thị ta thấy

y = f (x)

nghịch biến nên

f' (x) < 0

suy ra

f^{'} (x) - 2 < 0

.
Suy ra

h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) - 2 x = 0

.
Từ đồ thị dưới ta thấy

f (x) - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 1

.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và không có cực trị (ảnh 2)

Ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và không có cực trị (ảnh 3)

Suy ra đồ thị của hàm số

y = h (x)

có điểm cực tiểu là

M (1; 0)

.

Chọn đáp án D

Câu 41:

Cho đường thẳng d:

\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 1}{2}

và mặt phẳng (P):

x - y - z - 2 = 0

. Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P) là

A. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 2 - 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - 2 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 - 2 t \\ z = - 2 - 3 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - 2 - 3 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương

\vec{u_{d}} = (2; - 3; 2)

.
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến

\vec{n_{P}} = (1; - 1; - 1)

.
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P);
Đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên (P),

d' = (P) \cap (Q)

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là

\vec{n_{Q}} = [\vec{u_{d'}}, \vec{n_{P}}] = (5; 4; 1)

Véc tơ chỉ phương của d' là

\vec{u_{d'}} = [\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}}] = (3; - 6; 9) = - 3 (- 1; 2; - 3)

Ta thấy đường thẳng d' thuộc (P) nên điểm

M_{0} \in d' \Rightarrow M_{0} \in (P)

. Thay tọa độ điểm

M_{0} (1; 1; - 2)

ở đáp án A thấy thỏa mãn phương trình (P).

Chọn đáp án D

Câu 42:

liên tục và có đạo hàm trên đoạn

f (x)

[0; 5]

thỏa mãn

\int_{0}^{5} x f^{'} (x) e^{f (x)} d x = 8

;

f (5) = \ln 5

. Tính

I = \int_{0}^{5} e^{f (x)} d x .

A. -17

B. -33

C. 33

D .17

Xem đáp án

Đặt:

u = x; d v = f^{'} (x) e^{f (x)} d x

suy ra

d u = d x

, chọn

v = e^{f (x)} .

Do đó

\int_{0}^{5} x f^{'} (x) e^{f (x)} d x = {x e^{f (x)}|}_{0}^{5} - \int_{0}^{5} e^{f (x)} d x = 5 e^{f (5)} - I

.

\Rightarrow 8 = 25 - I \Leftrightarrow I = 17

Chọn đáp án D

Câu 43:

Cho đồ thị

(C) : y = \sqrt{x}

. Gọi M là điểm thuộc (C),

A (9; 0)

. Gọi

S_{1}

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường thẳng

x = 9

và trục hoành,

S_{2}

là diện tích tam giác

O M A

. Tọa độ điểm M để

S_{1} = 2 S_{2}

Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng

A. $M (3; \sqrt{3})$

B. $M (4; 2)$

C. $M (6; \sqrt{6})$

D. $M (9; 3)$

Xem đáp án

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường thẳng

x = 9

và trục hoành là

S_{1} = \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x = 18

. Gọi

M (x_{M}; y_{M})

là một điểm bất kì trên (C) ta có

S_{2} = \frac{1}{2} y_{M} . O A = \frac{9}{2} y_{M}

. Theo giả thiết ta có

S_{1} = 2 S_{2} \Leftrightarrow 18 = 2. \frac{9}{2} y_{M} \Leftrightarrow y_{M} = 2 \Rightarrow x_{M} = 4 \Rightarrow M (4; 2)

.

Chọn đáp án B

Câu 44:

A. $\frac{1}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

B. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + b^{2})}^{3}}$

C. $\frac{π}{18 \sqrt{2}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

D. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .$

Xem đáp án

Xét lăng trụ tam giác đều

A B C . A' B' C'

. Gọi

E, E'

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác

A B C, A' B' C'

, M là trung điểm BC và I là trung điểm

E E'

. Do hình lăng trụ đều nên

E E'

là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C, A' B' C' \Rightarrow I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, IA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

A E = \frac{a \sqrt{3}}{3}, I E = \frac{b}{2} \Rightarrow R = I A = \sqrt{A E^{2} + I E^{2}} = \sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}} .

Thể tích khối cầu là

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}})}^{3} = \frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .

Chọn đáp án D

Câu 45:

Một mảnh vườn hoa dạng hình tròn có bán kính bằng 5m. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Kinh phí trồng hoa là

50.000

đồng/

m^{2}

. Hỏi số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là bao nhiêu, biết hai hình chữ nhật

A B C D

và

M N P Q

có

A B = M Q = 5 m

?

Một mảnh vườn hoa dạng hình tròn có bán kính bằng 5m. (ảnh 1)

A. $3.641.528$ đồng

B. $3.533.057$ đồng

C. 3.641.529 đồng

D. $3.533.058$ đồng

Xem đáp án

Đặt hệ trục Oxy như hình vẽ.
Phương trình đường tròn

x^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}

.
Tìm được tọa độ điểm

N (\frac{5 \sqrt{3}}{2}; \frac{5}{2})

(một giao điểm của đường tròn và đường thẳng

y = \frac{5}{2}

).
Diện tích 4 phần trắng (không trồng cây) là:

S_{1} = 4 \int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5 \sqrt{3}}{2}} (\sqrt{25 - x^{2}} - \frac{5}{2}) d x

.
Diện tích phần trồng rau bằng diện tích hình tròn trừ cho

S_{1}

, tức là

S = π r^{2} - S_{1} = π {.5}^{2} - 4 \int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5 \sqrt{3}}{2}} (\sqrt{25 - x^{2}} - \frac{5}{2}) d x

= 25 π - 4 (\frac{25 π}{12} - \frac{5}{2} . (\frac{5 \sqrt{3}}{2} - \frac{5}{2})) = \frac{50 π}{3} + 25 \sqrt{3} - 25

Số tiền cần để trồng hoa là:

50000. S \approx 3533057

đồng.

Chọn đáp án B

Câu 46:

có đạo hàm đến cấp 2 trên R. Biết hàm số

y = f (x)

y = f (x)

đạt cực tiểu tại

x = - 1

, có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng

Δ

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

x = 2

. Tính

\int_{1}^{4} f^{''} (x - 2) d x

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên R . (ảnh 1)

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Dễ thấy đường thẳng

Δ

đi qua các điểm

(0; - 3)

và

(1; 0)

nên

Δ : y = 3 x - 3

suy ra hệ số góc của

Δ

là

k = 3 \Rightarrow f^{'} (2) = 3

.
Hàm số

y = f (x)

đạt cực tiểu tại

x = - 1

suy ra

f^{'} (- 1) = 0

.
Vậy

\int_{1}^{4} f^{''} (x - 2) d x = {f^{'} (x - 2)|}_{1}^{4} = f^{'} (2) - f^{'} (- 1) = 3 - 0 = 3

.

Chọn đáp án B

Câu 47:

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số

f (x)

g (x) = f (f (x))

là.

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số (ảnh 1)

A. 7

B. 6

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Ta có

g' (x) = f' (x) . f' (f (x))

.

g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 \\ f' (f (x)) = 0 \end{array}

.

f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}

.

f' (f (x)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 0 (*) \\ f (x) = 2 (* *) \end{array}

Dựa vào đồ thị suy ra:
Phương trình (*) có hai nghiệm

[\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}

.
Phương trình ( **) có ba nghiệm

[\begin{array}{l} x = m (- 1 < n < 0) \\ x = n (0 < n < 1) \\ x = p (p > 2) \end{array}

g' (x) = 0

có nghiệm

[\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = m \\ x = 0 \\ x = n \\ x = 2 \\ x = p \end{array}

.
Bảng biến thiên

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số (ảnh 2)

Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số

g (x) = f (f (x))

có 6 cực trị.

Chọn đáp án B

Câu 48:

Cho số phức z thỏa mãn

|z| = 1

. GTLN của biểu thức

P = |z^{3} - z + 2|

là:

A. 3

B. $\sqrt{15}$

C. $\sqrt{13}$

D. 4

Xem đáp án

Đặt

z = x + y i (x, y \in ℝ)

.
Theo giả thiết,

|z| = 1 \Rightarrow z . \bar{z} = 1

và

x^{2} + y^{2} = 1

.

P = |z| . |z^{2} - 1 + 2 \bar{z}| = |z^{2} - 1 + 2 \bar{z}| = |x^{2} - y^{2} + 2 x y i - 1 + 2 x - 2 y i| = |(x^{2} + 2 x - y^{2} - 1) + 2 y (x - 1) i|

= \sqrt{{(x^{2} + 2 x - y^{2} - 1)}^{2} + 4 y^{2} {(x - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x^{2} + 2 x - 1 + x^{2} - 1)}^{2} + 4 (1 - x^{2}) {(x - 1)}^{2}}

(vì

y^{2} = 1 - x^{2}

)

= \sqrt{16 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 8}

.
Vì

x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 - y^{2} \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 1

.
Xét hàm số

f (x) = 16 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 8, x \in [- 1; 1]

.

f^{'} (x) = 48 x^{2} - 8 x - 16

.

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} \in [- 1; 1] \\ x = \frac{2}{3} \in [- 1; 1] \end{array}

.

f (- 1) = 4

;

f (- \frac{1}{2}) = 13

;

f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27}

;

f (1) = 4

.

\Rightarrow \max_{[- 1; 1]} f (x) = f (- \frac{1}{2}) = 13

.
Vậy

\max P = \sqrt{13}

.

Chọn đáp án C

Câu 49:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - y + 2 z = 0

. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tạo với (P) một góc nhỏ nhất là

A. $y - 2 z = 0.$

B. $y - z = 0.$

C. $2 y + z = 0.$

D. $x + z = 0.$

Xem đáp án

Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bé nhất là góc giữa Ox và (P).
Giả sử (Q)

\equiv

(AKI). Ta có

((P), (Q)) = \hat{A K I}

,

(O x, (P)) = \hat{A I H}

Xét

Δ A H I, Δ A H K

là tam giác vuông chung cạnh AH.

Δ I H K, \hat{K} = 90 ° \Rightarrow H K \leq H I \Rightarrow \hat{K A H} \leq \hat{I A H} \Leftrightarrow 90 ° - \hat{A K H} \leq 90 ° - \hat{A I H} \Rightarrow \hat{A K H} \geq \hat{A I H}

Ox có VTCP

\vec{i} (1; 0; 0)

(P) có VTPT

{\vec{n}}_{P} = (1; - 1; 2)

Góc giữa

O x

và mặt phẳng (P) là

α

:

\sin α = \frac{|\vec{i} . {\vec{n}}_{P}|}{|\vec{i}| . |{\vec{n}}_{P}|} = \frac{1}{\sqrt{6}}

Góc giữa (Q) và mặt phẳng (P) thoả:

\cos α = \frac{|{\vec{n}}_{P} . {\vec{n}}_{Q}|}{|{\vec{n}}_{P}| . |{\vec{n}}_{Q}|} = \sqrt{1 - \sin^{2} α} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}

.
Phương trình mặt phẳng

(Q) : B y + C z = 0

Ta có:

\begin{array}{l} \frac{|- B + 2 C|}{\sqrt{B^{2} + C^{2}} . \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \Leftrightarrow |- B + 2 C| = \sqrt{5 B^{2} + 5 C^{2}} \\ \Leftrightarrow 4 B^{2} + 4 B C + C^{2} = 0 \Leftrightarrow C = - 2 B \end{array}

Chọn A = 1, C = -2.

Chọn đáp án A

Câu 50:

Tập nghiệm của phương trình

2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16}