50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 14

$z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2 - 2 i}{1 + 2 i} = \frac{(2 - 2 i) (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} = \frac{- 2 - 6 i}{5} = - \frac{2}{5} - \frac{6}{5} i$

Chọn đáp án A

Câu 13:

Đạo hàm của hàm số

f (x) = 6^{1 - 3 x}

là:

A. $f^{'} (x) = - {3.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

B. $f^{'} (x) = - 6^{1 - 3 x} . \ln 6$

C. $f^{'} (x) = - x {.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

D. $f^{'} (x) = (1 - 3 x) {.6}^{- 3 x}$

Xem đáp án

$f (x) = 6^{1 - 3 x} \Rightarrow f^{'} (x) = {(1 - 3 x)}^{'} {.6}^{1 - 3 x} . \ln 6 = - {3.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

Chọn đáp án A

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (2; - 4; 3)

và

B (2; 2; 7)

. Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là

A. $(2; - 1; 5)$

B. $(4; - 2; 10)$

C. $(1; 3; 2)$

D. $(2; 6; 4)$

Xem đáp án

Tọa độ trung điểm của AB là:

(\frac{2 + 2}{2}; \frac{- 4 + 2}{2}; \frac{3 + 7}{2}) = (2; - 1; 5)

.

Chọn đáp án A

Câu 15:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{- 2 x + 3}{- x + 1}

là đường thẳng

A. $x = 1$

B. $y = 2$

C. $x = 2$

D. $y = - 2$

Xem đáp án

Ta có

\lim_{x \to + \infty} y = 2

nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

y = 2

.

Chọn đáp án B

Câu 16:

Một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng r và chiều cao bằng h thì có thể tích bằng

A. $\frac{1}{3} π r^{2} h$

B. $π r^{2} h$

C. $\frac{1}{3} r^{2} h$

D. $r^{2} h$

Xem đáp án

Theo công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy r và đường cao h là

V = π r^{2} h

.

Chọn đáp án B

Câu 17:

Cho hình nón có chiều cao bằng 8cm bán kính đáy bằng 6cm Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

A. $116 π c m^{2}$

B. $84 π c m^{2}$

C. $96 π c m^{2}$

D. $132 π c m^{2}$

Xem đáp án

Gọi

h; l; r

lần lượt là chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của hình nón.
Ta có

l = A C = \sqrt{A H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10

cm
Mà

S_{t o a ø n p h a à n} = S_{x u n g q u a n h} + S_{ñ a ù y} = π r l + π r^{2} = π .6.10 + π {.6}^{2} = 96 π (c m^{2}) .

Chọn đáp án C

Câu 18:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \cos x

là

A. $- \cos x + C$

B. $- s i n x + C$

C. $s i n x + C$

D. $\cos x + C$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, điểm

M (3; 4; - 2)

thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $(P) : z - 2 = 0$

B. $(S) : x + y + z + 5 = 0$

C. $(Q) : x - 1 = 0$

D. $(R) : x + y - 7 = 0$

Xem đáp án

Thay tọa độ điểm M vào vế trái của các mặt phẳng ta được:
A.

3 + 4 - 7 = 0 \Rightarrow M \in (R)

.
B.

3 + 4 - 2 + 5 = 10 \neq 0 \Rightarrow M \notin (S)

.
C.

3 - 1 = 2 \neq 0 \Rightarrow M \notin (Q)

.
D.

- 2 - 2 = - 4 \neq 0 \Rightarrow M \notin (P)

.

Chọn đáp án D

Câu 20:

Cho hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in ℝ)

có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hàm số y=ax^3+bx^2+cx+d có đồ thị như (ảnh 1)

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị trên, suy ra số điểm cực trị của hàm số là 2.

Chọn đáp án B

Câu 21:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên R, có đạo hàm

f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)

. Hỏi hàm số

y = f (x)

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên R và

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array}

, trong đó

x = 1

là nghiệm kép.
Vậy hàm số

y = f (x)

có 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án A

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

và mặt phẳng

(P) : x - y + 2 z - 6 = 0

. Đường thẳng nằm trong (P) cắt và vuông góc với d có phương trình là?

A. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 5}{3} .$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z + 1}{3} .$

C. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 1}{3} .$

D. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{7} = \frac{z + 5}{3} .$

Xem đáp án

\vec{n_{P}} = (1; - 1; 2), \vec{u_{d}} = (2; 1; - 3)

, Gọi

I = d \cap (P), I \in d \Rightarrow I (2 t; 3 + t; 2 - 3 t)

,

I \in (P) \Rightarrow 2 t - (3 + t) + 2 (2 - 3 t) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow I (- 2; 2; 5)

Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm.
Theo giả thiết

\{\begin{cases} \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{u_{d}} \\ \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{n_{P}} \end{cases} \Rightarrow \vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (1; 7; 3)

Và đường thẳng

Δ

đi qua điểm I. Vậy

Δ : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 5}{3} .

Chọn đáp án A

Câu 23:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,

S A = 2 a

. Tính theo a thể tích khối chóp

S . A B C D

.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{12}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$

C. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

D. $V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm AB.
Theo đề, tam giác SAB cân tại S nên suy ra

S H ⊥ A B

.
Mặt khác, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra

S H ⊥ (A B C D)

.
Xét tam giác SHA vuông tại H.

S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{15}}{2}

Diện tích hình vuông là

S_{A B C D} = a^{2}

.
Vậy thể tích khối chóp

S . A B C D

là

V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}

.

Chọn đáp án B

Câu 24:

Từ một hộp đựng 5 quả cầu màu đỏ, 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng, chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ.

A. $\frac{253}{323}$

B. $\frac{70}{323}$

C. $\frac{112}{969}$

D. $\frac{857}{969}$

Xem đáp án

Chọn 4 quả cầu trong 20 quả cầu có

C_{20}^{4}

.
Chọn 2 quả cầu đỏ trong 5 quả cầu có

C_{5}^{2}

.
Chọn 2 quả cầu trong 15 quả cầu (gồm 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng) có

C_{15}^{2}

.
Số cách chọn 4 quả cầu có đúng 2 quả cầu màu đỏ là

C_{5}^{2} C_{15}^{2}

.
Xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ là

\frac{C_{5}^{2} C_{15}^{2}}{C_{20}^{4}} = \frac{70}{323}

.

Chọn đáp án B

Câu 25:

Cho biết

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 - \sin x) d x = a π + b

với

a, b

là các số nguyên. Giá trị của biểu thức

a + b

bằng

A. 1

B. -4

C. 6

D. 3

Xem đáp án

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 - \sin x) d x = (4 x + \cos x) |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} = (2 π + \cos \frac{π}{2}) - (0 + \cos 0) = 2 π - 1 \Rightarrow a π + b = 2 π - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases} \Rightarrow a + b = 1$

Chọn đáp án A

Câu 26:

Biết

F (x)

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = e^{- x} + \sin x

thỏa mãn

F (0) = 0

. Tìm

F (x)

A. $F (x) = - e^{- x} + \cos x$

B. $F (x) = e^{- x} + \cos x - 2$

C. $F (x) = - e^{- x} - \cos x + 2$

D. $F (x) = - e^{- x} + \cos x + 2$

Xem đáp án

F (x) = \int f (x) d x = \int (e^{- x} + \sin x) d x = - \int e^{- x} d (- x) + \int \sin x d x = - e^{- x} - \cos x + C

F (0) = 0 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = 2

.
Vậy

F (x) = - e^{- x} - \cos x + 2

.

Chọn đáp án C

Câu 27:

Tập nghiệm của bất phương trình

\log_{3} (x^{2} - 8 x) < 2

là

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- 1; 0) \cup (8; 9)$

C. $(- 1; 9)$

D. $(- \infty; - 1) \cup (9; + \infty)$

Xem đáp án

Bất phương trình

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 8 x > 0 \\ x^{2} - 8 x < 3^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 8 x > 0 \\ x^{2} - 8 x - 9 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 8 \\ x < 0 \end{array} \\ - 1 < x < 9 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < x < 0 \\ 8 < x < 9 \end{array}

Vậy tập nghiệm:

S = (- 1; 0) \cup (8; 9)

.

Chọn đáp án B

Câu 28:

Tìm nghiệm của phương trình

\log_{3} (x - 9) = 3

.

A. $x = 27$

B. $x = 36$

C. $x = 9$

D. $x = 18$

Xem đáp án

Điều kiện:

x > 9

.
Ta có

\log_{3} (x - 9) = 3 \Leftrightarrow x - 9 = 27 \Leftrightarrow x = 36

.

Chọn đáp án B

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho điểm

I (1; - 2; 3)

. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \sqrt{10}$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 10$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \sqrt{10}$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 10$

Xem đáp án

Giả sử: H là hình chiếu vuông góc của I lên trục

O y \Rightarrow H (0; - 2; 0)

.
R là bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục

O y \Rightarrow R = I H = \sqrt{10}

.

\Rightarrow

Phương trình mặt cầu là:

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 10

Chọn đáp án B

Câu 30:

Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn:

(5 - i) z = 7 - 17 i

A. -3

B. 2

C. -2

D. 3

Xem đáp án

(5 - i) z = 7 - 17 i \Rightarrow z = \frac{7 - 17 i}{5 - i} = 2 - 3 i

. Vậy phần thực của số phức z bằng 2.

Chọn đáp án B

Câu 31:

Hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $(- \infty; + \infty)$

C. $(- \infty; 2)$

D. $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Hàm số có tập xác định

D = ℝ \ \{1\}

.
Ta có

y = \frac{x + 1}{x - 1} \Rightarrow y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} < 0

,

\forall x \in ℝ

.
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; 1)

và

(1; + \infty)

.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

(1; 2)

.

Chọn đáp án A

Câu 32:

Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật với

A B = a

,

A D = a \sqrt{3}

. Hình chiếu vuông góc của A' lên

(A B C D)

trùng với giao điểm của

A C

và

B D

. Khoảng cách từ B' đến mặt phẳng

(A^{'} B D)

là

A. $\frac{a}{2}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Dựng

A H ⊥ B D

.
Ta có:

A^{'} I ⊥ (A B C D)

mà

A H \subset (A B C D)

nên

A^{'} I ⊥ A H

.
Từ đó ta được

A H ⊥ (A^{'} B D)

.
Suy ra

d (B^{'}, (A^{'} B D)) = d (A, (A^{'} B D)) = A H

.
Xét

Δ A B D

vuông tại A:

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \Rightarrow A H = \sqrt{\frac{A B^{2} . A D^{2}}{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Vậy

d (B^{'}, (A^{'} B D)) = A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

Chọn đáp án D

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và

S O ⊥ (A B C D)

,

S O = \frac{a \sqrt{6}}{3}

,

B C = S B = a

.Số đo góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(S C D)

là:

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $90^{0}$

D. $60^{0}$

Xem đáp án

Theo bài ra ta có

O B = \sqrt{S B^{2} - S O^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{6 a^{2}}{9}} = \frac{\sqrt{3} a}{3}

và

O A = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{9}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

.

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và SO vuông góc với ABCD (ảnh 1)

Chọn hệ trục Oxyz, với

O (0; 0; 0)

,

A (\frac{a \sqrt{6}}{3}; 0; 0),

B (0; \frac{a \sqrt{3}}{3}; 0)

,

S (0; 0; \frac{a \sqrt{6}}{3})

,

C (- \frac{a \sqrt{6}}{3}; 0; 0)

,

D (0; - \frac{a \sqrt{3}}{3}; 0)

.
Phương trình mặt phẳng

(S B C)

có vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = (- 1; \sqrt{2}; 1)

và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(S C D)

là

\vec{n}' = (- 1; - \sqrt{2}; 1)

.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(S C D)

ta có:

c o s φ = |c o s (\vec{n}, \vec{n'})| = \frac{|1 - 2 + 1|}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 1^{1}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2} + 1^{1}}} = 0

Suy ra góc

φ = 90^{0}

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(S C D)

là

90^{0}

Chọn đáp án C

Câu 34:

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{1 - x}

với trục tung là

A. $(\frac{3}{2}; 0)$

B. $(0; - 3)$

C. $(0; \frac{3}{2})$

D. $(- 3; 0)$

Xem đáp án

Cho

x = 0 \Rightarrow y = - 3

.
Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là

(0; - 3)

.

Chọn đáp án B

Câu 35:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[- 2; 6]

, có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

f (x)

trên miền

[- 2; 6]

. Tính giá trị của biểu thức

T = 2 M + 3 m

.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-2;6] , có đồ thị như hình vẽ (ảnh 1)

A. -2

B. 16

C. 0

D. 7

Xem đáp án

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

f (x)

đạt giá trị lớn nhất trên miền

[- 2; 6]

là

M = 6

,

f (x)

đạt giá trị lớn nhất trên miền

[- 2; 6]

là

m = - 4

.
Do đó,

T = 2 M + 3 m = 2.6 + 3. (- 4) = 0

.

Chọn đáp án C

Câu 36:

Cho số phức

z = a + b i

(

a, b \in R

) thỏa mãn

2 z - 3 i . \bar{z} + 6 + i = 0

. Tính

S = a - b .

A. $S = 7$

B. $S = 1$

C. $S = - 1$

D. $S = - 4$

Xem đáp án

Có

z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i

(

a, b \in R

).
Từ

2 z - 3 i . \bar{z} + 6 + i = 0

suy ra:

2 (a + b i) - 3 i (a - b i) + 6 + i = 0

\Leftrightarrow 2 a + 2 b i - 3 a i - 3 b + 6 + i = 0 \Leftrightarrow 2 a - 3 b + 6 + (2 b - 3 a + 1) i = 0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a - 3 b = - 6 \\ 3 a - 2 b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 4 \end{cases}

.
Vậy

S = a - b = - 1

.

Chọn đáp án C

Câu 37:

Cho

\log_{5} 7 = a

và

\log_{5} 4 = b .

Biểu diễn

\log_{5} 560

dưới dạng

\log_{5} 560 = m . a + n . b + p,

với

m, n, p

là các số nguyên. Tính

S = m + n . p .

A. $S = 5.$

B. $S = 4.$

C. $S = 2.$

D. $S = 3$

Xem đáp án

Ta có

\log_{5} 560 = \log_{5} {7.4}^{2} .5 = \log_{5} 7 + 2 \log_{5} 4 + 1 = a + 2 b + 1

m = 1, n = 2, p = 1 \Rightarrow S = 3

Chọn đáp án D

Câu 38:

Cho hai số thực

x, y

thỏa mãn

2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 2 (2 - i) + y i - x

với i là đơn vị ảo. Khi đó giá trị của

x^{2} - 3 x y - y

bằng

A. -1

B. -3

C. 1

D. -2

Xem đáp án

Ta có

2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 2 (2 - i) + y i - x \Leftrightarrow 2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 4 - x + (y - 2) i

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 x + 1 = 4 - x \\ 1 - 2 y = y - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}

.
Thay

\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}

vào ta có

x^{2} - 3 x y - y = - 3

.

Chọn đáp án B

Câu 39:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình

(3^{x + 2} - \sqrt{3}) (3^{x} - 2 m) < 0

chứa không quá 9 số nguyên?

A. 3279

B. 3281

C. 3283

D. 3280

Xem đáp án

Do m là số nguyên dương nên 2m >1 =>

\log_{3} 2 m > 0

.

3^{x + 2} - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow 3^{x + 2} = 3^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}

3^{x} - 2 m = 0 \Leftrightarrow x = \log_{3} 2 m

.
Lập bảng biến thiên, ta kết luận: tập nghiệm bất phương trình này là

(- \frac{3}{2}; \log_{3} 2 m)

Suy ra,

\log_{3} 2 m \leq 8 \Leftrightarrow 2 m \leq 3^{8} \Leftrightarrow m \leq \frac{6561}{2} = 3280.5

Chọn đáp án D

Câu 40:

Cho S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số

y = x \sqrt{1 + x^{2}}

, trục hoành, trục tung và đường thẳng

x = 1

. Biết

S = a \sqrt{2} + b (a, b \in ℚ) .

Tính

a + b .

A. $a + b = \frac{1}{3}$

B. $a + b = 0$

C. $a + b = \frac{1}{6}$

D. $a + b = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có trục tung có phương trình là:

x = 0

.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số

y = x \sqrt{1 + x^{2}}

, trục hoành, trục tung và đường thẳng

x = 1

là

S = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} d x

.
Mặt khác

S = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} d (1 + x^{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{3} \cdot (1 + x^{2}) \sqrt{1 + x^{2}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} \cdot

Biết

S = a \sqrt{2} + b (a, b \in ℚ)

nên

a = \frac{2}{3}

và

b = - \frac{1}{3} \cdot

Vậy

a + b = \frac{1}{3} \cdot

Chọn đáp án A

Câu 41:

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

d_{1}, d_{2}

và mặt phẳng

(α)

có phương trình

d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}, d_{2} : \frac{x - 2}{- 3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 4}{- 2}, (α) : x + y - z - 2 = 0

Phương trình đường thẳng

Δ

nằm trong mặt phẳng

(α)

, cắt cả hai đường thẳng

d_{1}

và

d_{2}

là

A. $\frac{x - 2}{- 8} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 3}{1}$

B. $\frac{x - 2}{- 8} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 3}{- 1}$

C. $\frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{7} = \frac{z + 3}{- 1}$

D. $\frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 3}{1}$

Xem đáp án

Gọi

A = d_{1} \cap (α) \Rightarrow A (- 2; 1; - 3), B = d_{2} \cap (α) \Rightarrow B (- 10; 8; - 4)

.
Do đường thẳng

Δ

nằm trong mặt phẳng

(α)

, cắt cả hai đường thẳng

d_{1}

và

d_{2}

nên

Δ

đi qua A và B. Khi đó

\vec{A B} = (- 8; 7; - 1) = - (8; - 7; 1)

.
Vậy

Δ : \frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 3}{1}

.

Chọn đáp án D

Câu 42:

Cho hàm số

f (x) = x^{4}

. Hàm số

g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1

đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại . Tính

m = g (x_{1}) g (x_{2})

A. $m = - 11$

B. $m = \frac{- 371}{16}$

C. $m = \frac{1}{16}$

D. $m = 0$

Xem đáp án

Theo bài ra ta có

f' (x) = 4 x^{3}

.
Suy ra

g (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 1

.
Suy ra

g' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - \frac{1}{2} \end{array}

Đồ thị hàm số lên - xuống – lên.
Hàm số

g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1

đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại

x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{1}{2}

Suy ra

m = g (1) . g (2) = (4 - 3 - 6 + 1) [4. {(\frac{- 1}{2})}^{3} - 3. {(\frac{- 1}{2})}^{2} - 6. (\frac{- 1}{2}) + 1] = - 11

.

Chọn đáp án A

Câu 43:

Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng

A. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + b^{2})}^{3}}$

B. $\frac{π}{18 \sqrt{2}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

C. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .$

D. $\frac{1}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

Xem đáp án

Xét lăng trụ tam giác đều

A B C . A' B' C'

. Gọi

E, E'

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác

A B C, A' B' C'

, M là trung điểm BC và I là trung điểm

E E'

. Do hình lăng trụ đều nên

E E'

là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C, A' B' C'

\Rightarrow I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, IA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

A E = \frac{a \sqrt{3}}{3}, I E = \frac{b}{2} \Rightarrow R = I A = \sqrt{A E^{2} + I E^{2}} = \sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}} .

Thể tích khối cầu là

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\sqrt{\frac{4 a^{2} + 3 b^{2}}{12}})}^{3} = \frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .

Chọn đáp án C

Câu 44:

Cho hàm số

f (x)

thỏa mãn

f (1) = 3

và

x (4 - f' (x)) = f (x) - 1

với mọi

x > 0

. Tính

f (2)

.

A. 5

B. 2

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Từ giả thiết

x (4 - f' (x)) = f (x) - 1 \Rightarrow x . f^{'} (x) + f (x) = 4 x + 1 \Leftrightarrow {[x f (x)]}^{'} = 4 x + 1

.

\Rightarrow \int_{1}^{2} {[x f (x)]}^{'} d x = \int_{1}^{2} (4 x + 1) d x \Leftrightarrow {x f (x)|}_{1}^{2} = {(2 x^{2} + x)|}_{1}^{2}

.

\Leftrightarrow 2 f (2) - f (1) = 7 \Rightarrow f (2) = \frac{7 + f (1)}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5

.

Chọn đáp án A

Câu 45:

Ông An có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ thì parabol có phương trình

y = x^{2}

và đường thẳng là

y = 25

. Ông An dự định dung một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua điểm O và M trên parabol để trồng một loại hoa. Hãy giúp ông An xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng

\frac{9}{2}

.

Ông An có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và đường thẳng (ảnh 1)

A. $O M = 10$

B. $O M = 2 \sqrt{5}$

C. $O M = 15$

D. $O M = 3 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Do parabol có tính đối xứng qua trục tung nên ta có thể giả sử

M (a; a^{2}) (0 < a < 5)

.
Suy ra pt đường thẳng

y = a x

.
Từ đồ thị, ta có diện tích mảnh vườn trồng hoa:

S = \int_{0}^{a} (a x - x^{2}) d x

{(\frac{a x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{a} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow M (3; 9)

\Rightarrow O M = \sqrt{M H^{2} + O H^{2}} = \sqrt{3^{2} + 9^{2}} = 3 \sqrt{10}

Chọn đáp án D

Câu 46:

Cho hàm số

f (x)

. Biết

f (0) = 4

và

f^{'} (x) = 2 \sin^{2} x + 1, \forall x \in ℝ

, khi đó

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x

bằng

A. $\frac{π^{2} - 4}{16} .$

B. $\frac{π^{2} + 15 π}{16} .$

C. $\frac{π^{2} + 16 π - 16}{16} .$

D. $\frac{π^{2} + 16 π - 4}{16} .$

Xem đáp án

Ta có

\int f^{'} (x) d x = \int (2 \sin^{2} x + 1) d x = \int (2 - \cos 2 x) d x = 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + C .

Suy ra

f (x) = 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + C .

Vì

f (0) = 4 \Rightarrow C = 4

hay

f (x) = 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + 4.

Khi đó:

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + 4) d x

= (x^{2} + \frac{1}{4} \cos 2 x + 4 x) |\begin{array}{l} \frac{π}{4} \\ 0 \end{array} = \frac{π^{2}}{16} + π - \frac{1}{4} = \frac{π^{2} + 16 π - 4}{16} .

Chọn đáp án D

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S_{m}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4}

và hai điểm

A (2; 3; 5)

,

B (1; 2; 4)

. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để trên

(S_{m})

tồn tại điểm M sao cho

M A^{2} - M B^{2} = 9

.

A. $m = 8 - 4 \sqrt{3}$

B. $m = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}$

C. $m = 1$

D. $m = 3 - \sqrt{3}$

Xem đáp án

Gọi

M (x; y; z)

, suy ra

M A^{2} - M B^{2} = 9 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} - [{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2}] = 9

\Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0

Suy ra: Tập các điểm

M (x; y; z)

thỏa mãn

M A^{2} - M B^{2} = 9

là mặt phẳng

(P) : x + y + z - 4 = 0

Trên

(S_{m})

tồn tại điểm M sao cho

M A^{2} - M B^{2} = 9

khi và chỉ khi

(S_{m})

và (P) có điểm chung

\Leftrightarrow d (I; (P)) \leq R \Leftrightarrow \frac{|1 + 1 + m - 4|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} \leq \frac{|m|}{2} \Leftrightarrow 2 |m - 2| \leq \sqrt{3} |m|

\Leftrightarrow m^{2} - 16 m + 16 \leq 0 \Leftrightarrow 8 - 4 \sqrt{3} \leq m \leq 8 + 4 \sqrt{3}

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là

8 - 4 \sqrt{3}

.

Chọn đáp án A

Câu 48:

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1

có nghiệm phân biệt bằng:

A. 38

B. 34

C. 27

D. 45

Xem đáp án

Ta có

3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1 \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x - 3}}

\Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + {(x - 3)}^{3} + m - 3 x = 3^{3 - x} \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (m - 3 x) = 3^{3 - x} + {(3 - x)}^{3}

(1).
Xét hàm số

f (t) = 3^{t} + t^{3}

với

t \in ℝ

, ta có:

f' (t) = 3^{t} \ln 3 + 3 t^{2} > 0, \forall t \in ℝ

.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên R.
Khi đó (1)

\Leftrightarrow f (\sqrt[3]{m - 3 x}) = f (3 - x) \Leftrightarrow \sqrt[3]{m - 3 x} = 3 - x \Leftrightarrow m = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27

.
Pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số

y = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27

có

y' = - 3 x^{2} + 18 x - 24 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array}

.
BBT

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m (ảnh 1)

Từ bbt suy ra pt(2) có 3 nghiệm phân biệt khi

7 < m < 11

. Vì

m \in ℤ

nên

m \in \{8, 9, 10\}

Suy ra :

\sum m = 27

.

Chọn đáp án C

Câu 49:

Cho hai số phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn

|z_{1} + 6| = 5, |z_{2} + 2 - 3 i| = |z_{2} - 2 - 6 i|

. Giá trị nhỏ nhất của

|z_{1} - z_{2}|

bằng

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Gọi

z_{1} = x_{1} + y_{1} i, z_{2} = x_{2} + y_{2} i

, với

x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2} \in ℝ

.
Do

|z_{1} + 6| = 5 \Rightarrow |x_{1} + 6 + y_{1} i| = 5 \Rightarrow \sqrt{{(x_{1} + 6)}^{2} + {y_{1}}^{2}} = 5 \Leftrightarrow {(x_{1} + 6)}^{2} + {y_{1}}^{2} = 25

Điểm

M_{1} (x_{1}; y_{1})

biểu diễn số phức

z_{1}

thuộc đường tròn

(C) : {(x + 6)}^{2} + y^{2} = 25

.
Do

|z_{2} + 2 - 3 i| = |z_{2} - 2 - 6 i| \Rightarrow |x_{2} + 2 + (y_{2} - 3) i| = |x_{2} - 2 + (y_{2} - 6) i|

\Leftrightarrow \sqrt{{(x_{2} + 2)}^{2} + {(y_{2} - 3)}^{2}} = \sqrt{{(x_{2} - 2)}^{2} + {(y_{2} - 6)}^{2}}

\Leftrightarrow {(x_{2} + 2)}^{2} + {(y_{2} - 3)}^{2} = {(x_{2} - 2)}^{2} + {(y_{2} - 6)}^{2}

\Leftrightarrow 8 x_{2} + 6 y_{2} - 27 = 0

Điểm

M_{2} (x_{2}; y_{2})

biểu diễn số phức

z_{2}

thuộc đường thẳng

d : 8 x + 6 y - 27 = 0

\Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = |x_{1} - x_{2} + (y_{1} - y_{2}) i| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} = |\vec{M_{2} M_{1}}| = M_{1} M_{2}

Đường tròn (C) có tâm

I (- 6; 0)

, bán kính

R = 5

. Ta có

d (I, d) = \frac{|8. (- 6) + 6.0 - 27|}{\sqrt{8^{2} + 6^{2}}} = \frac{15}{2}

\Rightarrow

d và (C) không có điểm chung.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d, A là giao điểm của đoạn IH và (C)

\Rightarrow A H = I H - R = d (I, d) - R = \frac{5}{2}

(hình vẽ).

Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1+6|=5, |z2+2-3i|=|z2-2-6i| . (ảnh 1)

Nhận xét: với mọi điểm

M_{1} \in (C)

,

M_{2} \in d

thì

M_{1} M_{2} \geq A H

.

\Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = M_{1} M_{2}

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

\frac{5}{2}

(bằng AH khi

M_{1} \equiv A, M_{2} \equiv H

).

Chọn đáp án D

Câu 50:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số

g (x) = |f (x - 2018) + 2019|

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Ta có bảng biến thiên của các hàm số

f (x - 2018), f (x - 2018) + 2019, |f (x - 2018) + 2019|

như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số

y = |f (x - 2018) + 2019|

có 5 điểm cực trị.

Chọn đáp án B

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề số 14

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan