50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 10

Câu 1:

Khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a có thể tích là

A. $2 a^{3}$

B. $2 π a^{3}$

C. $\frac{1}{3} π a^{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Thể tích của khối trụ cần tìm là:

V = π R^{2} h = π a^{2} .2 a = 2 π a^{3}

Chọn đáp án B

Câu 2:

Rút gọn biểu thức

P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x}

A. $x^{\frac{13}{2}}$

B. $x^{\frac{4}{7}}$

C. $x^{\frac{3}{10}}$

D. $x^{\frac{17}{10}}$

Xem đáp án

Ta có

P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x} = x^{\frac{3}{2}} . x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{5}} = x^{\frac{17}{10}}

.

Chọn đáp án D

Câu 3:

Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào?

A. $y = \frac{x - 1}{x - 2}$

B. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

C. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

D. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Vì đồ thị có tiệm cận ngang

y = 2

, tiệm cận đứng

x = - 1

, cắt trục Oy tại

(0; - 1)

.
Đáp án A sai vì đồ thị

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

cắt

O y

tại

(0; 1)

.
Đáp án B sai vì đồ thị

y = \frac{x - 1}{x - 2}

có tiệm cận ngang

y = 1

Đáp án C sai vì đồ thị

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

có tiệm cận đứng

x = 1

\

Chọn đáp án D

Câu 4:

Đạo hàm của hàm số

y = 4^{2 x}

là

A. $y^{'} = 4^{2 x} \ln 4$

B. $y^{'} = {2.4}^{2 x} \ln 2$

C. $y^{'} = {4.4}^{2 x} \ln 2$

D. $y^{'} = 4^{2 x} . \ln 2$

Xem đáp án

Áp dụng công thức

{(a^{u})}^{'} = a^{u} . u^{'} . \ln a

, ta có

{(4^{2 x})}^{'} = 4^{2 x} . {(2 x)}^{'} . \ln 4 = 2. \ln {4.4}^{2 x} = {2.4}^{2 x} . \ln (2^{2}) = {4.4}^{2 x} . \ln 2

.

Chọn đáp án C

Câu 5:

Cho véc tơ

\vec{u} = (1; 3; 4)

, tìm véc tơ cùng phương với véc tơ

\vec{u}

.

A. $\vec{b} = (- 2; - 6; - 8)$

B. $\vec{a} = (2; - 6; - 8)$

C. $\vec{d} = (- 2; 6; 8)$

D. $\vec{c} = (- 2; - 6; 8)$

Xem đáp án

Ta có:

\vec{b} = (- 2; - 6; - 8), \vec{u} = (1; 3; 4)

nên

\vec{b} = - 2 \vec{u}

. Vậy

\vec{u}

cùng phương với

\vec{b}

Chọn đáp án A

Câu 6:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{- 2 x + 3}{- x + 1}

là đường thẳng

A. $y = 2$

B. $x = 2$

C. $y = - 2$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Ta có

\lim_{x \to + \infty} y = 2

nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

y = 2

.

Chọn đáp án A

Câu 7:

Nếu

\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + e^{x} + C

thì

f (x)

bằng

A. $3 x^{2} + e^{x}$

B. $x^{2} + e^{x}$

C. $\frac{x^{4}}{12} + e^{x}$

D. $\frac{x^{4}}{3} + e^{x}$

Xem đáp án

Xét

(\frac{x^{3}}{3} + e^{x} + c)' = x^{2} + e^{x}

.

Chọn đáp án B

Câu 8:

Cho

\int_{0}^{1} f (x) d x = 2018

và

\int_{0}^{1} g (x) d x = 2019

, khi đó

\int_{0}^{1} (f (x) - 3 g (x)) d x

bằng

A. -1

B. -4037

C. -4039

D. -2019

Xem đáp án

Ta có

\int_{0}^{1} (f (x) - 3 g (x)) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 3 \int_{0}^{1} g (x) d x = - 4039

Chọn đáp án C

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2 x - 3 y + z - 2 = 0

. Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của (P)

A. ${\vec{n}}_{2} = (2; - 3; - 2)$

B. ${\vec{n}}_{1} = (2; - 3; 1)$

C. ${\vec{n}}_{4} = (2; 1; - 2)$

D. ${\vec{n}}_{3} = (- 3; 1; - 2)$

Xem đáp án

$(P) : 2 x - 3 y + z - 2 = 0$ . Véctơ ${\vec{n}}_{1} = (2; - 3; 1)$ là một véctơ pháp tuyến của (P).

Chọn đáp án B

Câu 10:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

A. Đồng biến trên khoảng (0;1)

B. Nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

C. Nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

D. Đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy chỉ có phương án C là đúng.

Chọn đáp án C

Câu 11:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

có số hạng đầu

u_{1} = 2

và công sai

d = 5

. Giá trị của

u_{5}

bằng

A. 22

B. 27

C. 1250

D. 12

Xem đáp án

Ta có :

u_{5} = u_{1} + 4 d = 2 + 4.5 = 22

Chọn đáp án A

Câu 12:

Biết rằng phương trình

8^{x^{2} + 6 x - 3} = 4096

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

. Tính

P = x_{1} . x_{2}

.

A. $P = - 9$

B. $P = - 7$

C. $P = 7$

D. $P = 9$

Xem đáp án

Ta có:

8^{x^{2} + 6 x - 3} = 4096 \Leftrightarrow 2^{3 x^{2} + 18 x - 9} = 2^{12} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 18 x - 9 = 12

\Leftrightarrow 3 x^{2} + 18 x - 21 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - 7 \end{array}

.
Vậy

P = - 7

.

Chọn đáp án B

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

có tâm và bán kính lần lượt là

A. $I (1; - 3; - 2), R = 9$

B. $I (1; 3; 2), R = 3$

C. $I (- 1; 3; 2), R = 9$

D. $I (- 1; 3; 2), R = 3$

Xem đáp án

Mặt cầu

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

có tâm

I (- 1; 3; 2)

và bán kính

R = 3

.

Chọn đáp án D

Câu 14:

Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn

k \leq n

, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

B. $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k} (1 \leq k \leq n)$

C. $C_{n}^{k - 1} = C_{n}^{k} (1 \leq k \leq n)$

D. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Xem đáp án

Ta có $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ nên khẳng định A sai.

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ nên khẳng định D sai.

Với $n = 4$ và $k = 2$ , ta có $C_{4}^{1} = 4$ , $C_{4}^{2} = 6$ $\Rightarrow$ khẳng định C sai.

C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! . [(n - 1) - (k - 1)]!} + \frac{(n - 1)!}{k! . [(n - 1) - k]!}

= \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! . (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! . [(n - k) - 1]!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k - 1)!} \cdot [\frac{1}{n - k} + \frac{1}{k}]

= \frac{(n - 1)! . n}{(k - 1)! . k . (n - k - 1)! . (n - k)} = \frac{n!}{k! . (n - k)!} = C_{n}^{k}

Vậy khẳng định B đúng

Chọn đáp án B

Câu 15:

Một khối nón có bán kính đáy bằng 3cm và đường sinh độ dài 5cm. Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. $12 c m^{3}$

B. $12 π c m^{3}$

C. $64 π c m^{3}$

D. $48 π c m^{3}$

Xem đáp án

Ta có :

r = 3, l = 5

. Vậy chiều cao của khối nón là:

h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = 4

Suy ra thể tích khối nón là:

V = \frac{1}{3} . h . π . r^{2} = \frac{1}{3} . 4 . π . 3^{2} = 12 π c m^{3}

.

Chọn đáp án B

Câu 16:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

A. $x = 2.$

B. $x = 1.$

C. $x = - 1.$

D. $x = 0.$

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại

x = 0

.

Chọn đáp án D

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 5 = 0

. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. $Q (2; - 1; 5)$

B. $P (0; 0; - 5)$

C. $M (1; 1; 6)$

D. $N (- 5; 0; 0)$

Xem đáp án

Lần lượt thế tọa độ mỗi điểm vào phương trình của mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 5 = 0

, ta được:
+ Với

Q (2; - 1; 5)

:

2 - 2. (- 1) + 5 - 5 = 4 \neq 0 \Rightarrow Q \notin (P)

.
+ Với

P (0; 0; - 5)

:

0 - 2. (0) - 5 - 5 = - 10 \neq 0 \Rightarrow P \notin (P)

.
+ Với

M (1; 1; 6)

:

1 - 2. (1) + 6 - 5 = 0 \Rightarrow M \in (P)

.
+ Với

N (- 5; 0; 0)

:

- 5 - 2. (0) + 0 - 5 = - 10 \neq 0 \Rightarrow N \notin (P)

.

Chọn đáp án C

Câu 18:

Cho hai số phức

z_{1} = 4 + 3 i, z_{2} = - 4 + 3 i, z_{3} = z_{1} . z_{2} .

Lựa chọn phương án đúng?

A. $|z_{3}| = 25$

B. $z_{3} = {|z_{1}|}^{2}$

C. $\bar{z_{1} + z_{2}} = z_{1} + z_{2}$

D. $z_{1} = z_{2}$

Xem đáp án

Ta có

z_{3} = z_{1} . z_{2} = - 25.

Do đó

|z_{3}| = 25 \Rightarrow

A đúng.

{|z_{1}|}^{2} = 25 \neq z_{3} \Rightarrow

B sai.

\bar{z_{1} + z_{2}} = - 6 i \neq z_{1} + z_{2} = 6 i \Rightarrow

C sai.

z_{1} = 4 + 3 i \neq z_{2} = - 4 + 3 i \Rightarrow

D sai.

Chọn đáp án A

Câu 19:

Điểm

M (- 2; 1)

là điểm biểu diễn số phức

A. $z = 1 - 2 i$

B. $z = 1 + 2 i$

C. $z = 2 + i$

D. $z = - 2 + i$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 20:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh bằng a. Biết cạnh bên

S A = 2 a

và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp

S . A B C D

.

A. $\frac{4 a^{3}}{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $\frac{a^{3}}{3}$

D. $\frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Ta có

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} a^{2} .2 a = \frac{2 a^{3}}{3}

.

Chọn đáp án D

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

S A = \frac{a \sqrt{2}}{2}

, tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

(A B C D)

. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

B. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{12}$

C. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{3}$

D. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC.
Ta có

S O = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2}

suy ra

Δ S A O

là tam giác đều.

\Rightarrow S H = \frac{a \sqrt{6}}{4}

.
Vậy

V = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{4} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

.

Chọn đáp án B

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a, S A = a \sqrt{3}, S A ⊥ (A B C D) .$ Góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(A B C D)

bằng

A. $30 °$

B. $60 ° .$

C. $90 ° .$

D. $45 °$

Xem đáp án

Ta có

(S B C) \cap (A B C D) = B C

,mà

\{\begin{matrix} (A B C D) \supset A B ⊥ B C \\ (S B C) \supset S B ⊥ B C \end{matrix}

\Rightarrow (\hat{(S B C), (A B C D)}) = \hat{(S B, B A) .}

Tam giác

S A B

vuông tại A nên góc

\hat{S B A}

nhọn nên

\hat{(S B, B A)} = \hat{S B A}

.
Trong tam giác vuông

S A B

:

\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{B A} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 60^{0} .

Chọn đáp án B

Câu 23:

Ba số

a + \log_{2} 3; a + \log_{4} 3;; a + \log_{8} 3

theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. 1

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Ba số

a + \log_{2} 3; a + \log_{4} 3;; a + \log_{8} 3

theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên

{(a + \log_{4} 3)}^{2} = (a + \log_{8} 3) (a + \log_{2} 3) \Leftrightarrow a = - \frac{1}{4} \log_{2} 3

.
Ba số đó lần lượt là

\frac{3}{4} \log_{2} 3

;

\frac{1}{4} \log_{2} 3

;

\frac{1}{12} \log_{2} 3

. Công bội của cấp số nhân này bằng

\frac{1}{3}

.

Chọn đáp án B

Câu 24:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

{(\frac{1}{2})}^{x} > 8.

A. $S = (- \infty; 3)$

B. $S = (- \infty; - 3)$

C. $S = (3; + \infty)$

D. $S = (- 3; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có:

{(\frac{1}{2})}^{x} > 8 \Leftrightarrow 2^{- x} > 2^{3} \Leftrightarrow - x > 3 \Leftrightarrow x < - 3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

S = (- 3; + \infty) .

Chọn đáp án B

Câu 25:

Gọi

x_{1}

,

x_{2}

,

x_{3}

lượt là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2

và

g (x) = 3 x - 1

. Tính

S = f (x_{1}) + g (x_{2}) + f (x_{3})

.

A. 3

B. 14

C. 1

D. 6

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2 = 3 x - 2 \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{array} \end{array}

+ Ta có:

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3

+

S = f (x_{1}) + g (x_{2}) + f (x_{3}) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) = 3 (x_{1} + x_{2} + x_{3}) - 3 = 6

Chọn đáp án D

Câu 26:

Một bình đựng 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu.

A. $\frac{4}{9}$

B. $\frac{5}{9}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Gọi A là biến cố “Chọn được 2 viên bi cùng màu”, B là biến cố “Chọn được 2 viên bi màu xanh”, C là biến cố “Chọn được 2 viên bi màu đỏ”, khi đó

A = B \cup C

và hai biến cố B và C xung khắc.
Ta có:

P (A) = P (B) + P (C) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{9}^{2}} + \frac{C_{4}^{2}}{C_{9}^{2}} = \frac{10}{36} + \frac{6}{36} = \frac{4}{9}

.

Chọn đáp án A

Câu 27:

Hàm số

f (x)

có đạo hàm

f' (x) = x^{5} {(2 x + 2019)}^{4} (x - 1) .

Số điểm cực trị của hàm số

f (x)

là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

$f' (x) = x^{5} {(2 x + 2019)}^{4} (x - 1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - \frac{2019}{2} \end{array}$

Dấu của

f' (x)

Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=x^5(2x+2019)^4(x-1) (ảnh 1)

Từ kết quả xét dấu

f' (x)

suy ra hàm số chỉ có 2 điểm cực trị là

x = 0; x = 1

.

Chọn đáp án A

Câu 28:

Cho hàm số

y = x^{3}

có một nguyên hàm là

F (x)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $F (2) - F (0) = 16$

B. $F (2) - F (0) = 1$

C. $F (2) - F (0) = 8$

D. $F (2) - F (0) = 4$

Xem đáp án

Ta có

F (x) = \int x^{3} d x = \frac{x^{4}}{4} + C

.

F (2) - F (0) = (\frac{2^{4}}{4} + C) - (\frac{0^{4}}{4} + C) = 4

.

Chọn đáp án D

Câu 29:

Cho hàm số

y = f (x)

có

f^{'} (x) = (x + 2) (x + 1) (x^{2} - 1)

. Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (-2;-1)

B. (-1;1)

C. $(0; + \infty)$

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

f^{'} (x) = (x + 2) (x + 1) (x^{2} - 1) = (x + 2) (x - 1) {(x + 1)}^{2}

.

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{array}

.
Bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x) có f'(x)=(x+2)(x+1)(x^2-1) (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án C

Câu 30:

Cho số phức

z = a + b i (a, b \in ℝ)

thỏa mãn

a + (b - 1) i = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i}

. Giá trị nào dưới đây là môđun của z?

A. $\sqrt{10}$

B. $\sqrt{5}$

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Ta có:

a + (b - 1) i = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i} \Leftrightarrow a + (b - 1) i = \frac{(1 + 3 i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} = - 1 + i

\Rightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{5}

.

Chọn đáp án B

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm

I (1; 0; - 1)

,

A (2; 2; - 3)

. Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

B. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

D. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

Xem đáp án

Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có bán kính

R = I A = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} = 3

.

\Rightarrow

Phương trình mặt cầu (S):

{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9

.

Chọn đáp án A

Câu 32:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y = x^{4} - x^{2} + 13

trên đoạn

[- 2; 3]

.

A. $m = \frac{51}{4}$

B. $m = 13$

C. $m = \frac{49}{4}$

D. $m = \frac{51}{2}$

Xem đáp án

Hàm số

y = f (x) = x^{4} - x^{2} + 13

xác định và liên tục trên đoạn

[- 2; 3]

.

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 2 x

;

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

.

f (- 3) = 25; f (0) = 13; f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{51}{4}; f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{51}{4}; f (3) = 85

Vậy giá trị nhỏ nhất

m = \min_{[- 2; 3]} f (x) = f (\pm \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{51}{4}

.

Chọn đáp án A

Câu 33:

Tìm số phức z thỏa mãn

(3 + 4 i) z + 1 - 2 i = i

.

A. $\frac{9}{25} - \frac{13}{25} i$

B. $\frac{9}{25} + \frac{13}{25} i$

C. $- \frac{9}{25} + \frac{13}{25} i$

D. $- \frac{9}{25} - \frac{13}{25} i$

Xem đáp án

$(3 + 4 i) z + 1 - 2 i = i \Leftrightarrow (3 + 4 i) z = 3 i - 1 \Leftrightarrow z = \frac{3 i - 1}{3 + 4 i} = \frac{9}{25} + \frac{13}{25} i$

Chọn đáp án B

Câu 34:

Cho số phức

z = a + (a - 5) i

với

a \in ℝ

. Tìm a để điểm biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

A. $a = 0$

B. $a = \frac{3}{2}$

C. $a = - \frac{1}{2}$

D. $a = \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư là đường thẳng

y = - x

.
Do đó

a - 5 = - a

. Suy ra

a = \frac{5}{2}

.

Chọn đáp án D

Câu 35:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{2019} e^{2 x} d x

.

A. $I = e^{4038} - 1$

B. $I = \frac{1}{2} (e^{4038} - 1)$

C. $I = \frac{1}{2} e^{4038} - 1$

D. $I = e^{4038}$

Xem đáp án

$I = \int_{0}^{2019} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2019} e^{2 x} d (2 x) = \frac{1}{2} {e^{2 x}|}_{0}^{2019} = \frac{1}{2} (e^{4038} - 1)$

Chọn đáp án B

Câu 36:

Tập nghiệm của phương trình

\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)

là

A. $S = \{1 + \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}\}$

B. $S = \{2; 4\}$

C. $S = \{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\}$

D. $S = \{1 + \sqrt{2}\}$

Xem đáp án

$\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 1 = 2 x \\ x ⟩ 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 2 x - 1 = 0 \\ x ⟩ 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt{2}$

Chọn đáp án D

Câu 37:

Trong không gian Oxyz cho điểm

A (1; - 2; 3)

và hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1

. Viết phương trình đường thẳng

Δ

đi qua A, vuông góc với cả

d_{1}

và

d_{2}

.

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 3 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 - t \end{cases}$

Xem đáp án

Đường thẳng

d_{1}

có véctơ chỉ phương

\vec{u_{1}} = (2; - 1; 1)

;

d_{2}

có véctơ chỉ phương

\vec{u_{2}} = (- 1; 2; 0)

.
Ta có:

\vec{u} = [\vec{u_{2}}; \vec{u_{1}}] = (2; 1; - 3)

.
Vì đường thẳng

Δ

đi qua A, vuông góc với cả

d_{1}

và

d_{2}

nên

Δ

nhận

\vec{u} = (2; 1; - 3)

làm véctơ chỉ phương, do đó

Δ

có phương trình là

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}

.

Chọn đáp án A

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác là tam giác ABC vuông tại A,

A C = a \sqrt{3}

,

\hat{A B C} = 30^{°}

. Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng

60^{°}

. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến

(S B C)

bằng bao nhiêu?

A. $\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{35}}$

B. $\frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{35}}$

C. $\frac{3 a}{\sqrt{5}}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{\sqrt{35}}$

Xem đáp án

Dựng

A M ⊥ B C

;

A H ⊥ S M

Ta có:

\begin{array}{l} A M ⊥ B C \\ S A ⊥ B C \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (S A M)

\Rightarrow A H ⊥ B C

và

A H ⊥ S M \Rightarrow A H ⊥ (S B C)

\Rightarrow d (A; S B C) = A H

Tam giác SAC vuông tại A

\Rightarrow S A = A C . \tan 60^{°}

=

a \sqrt{3} . \sqrt{3} = 3 a

Δ S A C = Δ B A C (g - c - g) \Rightarrow S A = B A = 3 a

Tam giác ABC vuông tại A

\Rightarrow \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{9 a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{4}{9 a^{2}}

Tam giác SAM vuông tại A

\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} \Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{9 a^{2}} + \frac{4}{9 a^{2}} = \frac{5}{9 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{3 a}{\sqrt{5}}

Chọn đáp án C

Câu 39:

Thể tích V của khối hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

biết

A B = a, A D = 2 a, A C^{'} = a \sqrt{14}

là

A. $V = 2 a^{3} .$

B. $V = a^{3} \sqrt{5} .$

C. $V = 6 a^{3} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{14}}{3} .$

Xem đáp án

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có

A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} = a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{2} .

Xét tam giác vuông

A A^{'} C,

ta có

A {A^{'}}^{2} = A {C^{'}}^{2} - A C^{2} = 14 a^{2} - 5 a^{2} = 9 a^{2} \Rightarrow A A^{'} = 3 a .

Ta có

V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A B . A D . A A^{'} = a .2 a .3 a = 6 a^{3} .

Chọn đáp án C

Câu 40:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A (2; 1; 1)

và hai đường thẳng

d_{1} : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = 2 - t \end{cases}

,

d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \end{cases}

. Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với

d_{1}

và cắt

d_{2}

là

A. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{2} .$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

Xem đáp án

Đường thẳng

d_{1}

có VTCP

\vec{u_{d_{1}}} = (1; 0; - 1)

.
Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với

d_{1} \Rightarrow (P) : x - 2 - z + 1 = 0 \Leftrightarrow x - z - 1 = 0

Gọi B là giao điểm của (P) và

d_{2} .

Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

\{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \\ x - z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = - 1 \\ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow B (1; 2; 0)

.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB
Ta có

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

hay VTCP của đường thẳng cần tìm là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

.
Cách 2: (AD: Nguyễn Văn Thịnh)
Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm.

Δ

cắt

d_{2}

tại B.
Ta có

B \in d_{2} \Rightarrow B (3 + 2 t^{'}; 3 + t^{'}; 0)

.
Đường thẳng

Δ

có vectơ chỉ phương là

\vec{A B} = (1 + 2 t^{'}; 2 + t^{'}; - 1)

,

d_{1}

có vectơ chỉ phương là

\vec{u_{1}} = (1; 0; - 1)

.
Ta có

Δ ⊥ d_{1} \Leftrightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{u_{1}} \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 1 + 2 t^{'} + 0 + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{'} = - 1

. Suy ra

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

.

Chọn đáp án D

Câu 41:

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết

A B = 4 m

, giá trồng hoa là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m . (ảnh 1)

A. $13.265.000$ đồng

B. $12.218.000$ đồng

C. $14.465.000$ đồng

D. $14.865.000$ đồng

Xem đáp án

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình tròn, suy ra phương trình
đường tròn là:

x^{2} + y^{2} = 64

.
+ Diện tích hình vuông ABCD là:

S_{A B C D} = 4 \times 4 = 16 (m^{2})

.
Số tiền để trồng hoa là:

T_{1} = 16 \times 200.000 = 3.200.000

.
+ Diện tích trồng cỏ là:

S = 4 \int_{- 2}^{2} (\sqrt{64 - x^{2}} - 2) d x \approx 94, 654 (m^{2})

.
Số tiền trồng cỏ là:

T_{2} = 94, 654 \times 100.000 = 9.465.000

.
+ Số tiền trồng 4 cây cọ là:

T_{3} = 150.000 \times 4 = 600.000

.
Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:

T = T_{1} + T_{2} + T_{3} = 13.265.000

.

Chọn đáp án A

Câu 42:

Giả sử hàm số

f (x)

có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn

f (1) = f^{'} (1) = 1

và

f (1 - x) + x^{2} . {f^{'}}^{'} (x) = 2 x

với mọi

x \in ℝ

. Tính tích phân

I = \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x

.

A. $I = \frac{1}{3}$

B. $I = \frac{2}{3}$

C. $I = 1$

D. $I = 2$

Xem đáp án

Đặt

\{\begin{cases} u = f^{'} (x) \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = {f^{'}}^{'} (x) d x \\ v = \frac{x^{2}}{2} \end{cases}

.
Suy ra

I = \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x = \frac{x^{2}}{2} f^{'} (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} {f^{'}}^{'} (x) d x = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} {f^{'}}^{'} (x) d x

.
Do

f (1 - x) + x^{2} . {f^{'}}^{'} (x) = 2 x \Rightarrow \frac{x^{2}}{2} . {f^{'}}^{'} (x) = x - \frac{1}{2} f (1 - x)

.
Vậy

I = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} [x - \frac{1}{2} f (1 - x)] d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (1 - x) d x

.
Đặt

t = 1 - x

suy ra

I = - \frac{1}{2} \int_{1}^{0} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (x) d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = f^{'} (x) d x \\ v = x \end{cases}

Suy ra

I = \frac{1}{2} [x f (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x] \Leftrightarrow I = \frac{1}{2} (1 - I) \Leftrightarrow I = \frac{1}{3}

.

Chọn đáp án A

Câu 43:

Cho hàm số

f (x)

có đồ thị

f^{'} (x)

như hình vẽ dưới. Hàm số

g (x) = f (x) - \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2001

có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ dưới. (ảnh 1)

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Có

g^{'} (x) = f^{'} (x) - x^{2} + 4 x - 5 \Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x^{2} - 4 x + 5

Ta có đồ thị hàm số

y = x^{2} - 4 x + 5

và đồ thị hàm

y = f^{'} (x)

như hình vẽ dưới

Quan sát hình vẽ ta thấy

g^{'} (x) = 0

có 3 nghiệm phân biệt trong đó chỉ có 1 nghiệm bội chẵn
Vậy hàm số

g (x)

có 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án C

Câu 44:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[e; e^{2}]

. Biết

x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]

và

f (e) = \frac{1}{e}

. Tính tích phân

I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x

.

A. $I = \ln 2$

B. $I = 2$

C. $I = \frac{3}{2}$

D. $I = 3$

Xem đáp án

Ta có:

x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]

\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) \cdot \ln x - \frac{1}{x} . f (x)}{\ln^{2} x} = - \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow {(\frac{f (x)}{\ln x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\frac{f (x)}{\ln x} = \frac{1}{x} + C

theo đề bài ta có

f (e) = \frac{1}{e} \Rightarrow C = 0

suy ra

f (x) = \frac{\ln x}{x} \Rightarrow I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x = I = \int_{e}^{e^{2}} \frac{\ln x}{x} d x = \frac{3}{2}

.

Chọn đáp án C

Câu 45:

Bất phương trình

4^{x} - (m + 1) 2^{x + 1} + m \geq 0

nghiệm đúng với mọi

x \geq 0

. Tập tất cả cá giá trị của m là

A. $(- 1; 16]$

B. $(- \infty; 12)$

C. $(- \infty; - 1]$

D. $(- \infty; 0]$

Xem đáp án

Bất phương trình

4^{x} - (m + 1) 2^{x + 1} + m \geq 0 (1) \Leftrightarrow 4^{x} - 2 (m + 1) 2^{x} + m \geq 0

.
Đặt

2^{x} = t

bất phương trình trở thành

t^{2} - 2 (m + 1) t + m \geq 0 (2)

.
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi

x \geq 0

khi và chỉ khi bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi

t \geq 1

.

(2) \Leftrightarrow (2 t - 1) m \leq t^{2} - 2 t \Leftrightarrow m \leq \frac{t^{2} - 2 t}{2 t - 1}

(do

t \geq 1

).
Đặt

f (t) = \frac{t^{2} - 2 t}{2 t - 1}

với

t \geq 1

.

\Rightarrow f' (t) = \frac{2 t^{2} - 2 t + 2}{{(2 t - 1)}^{2}} > 0 \forall t \geq 1

.
Bảng biến thiên

Bất phương trình 4^x-(m+1)2^x+1 nghiệm đúng với mọi (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta có

f (t) \geq m \forall t \in [1; + \infty)

\Leftrightarrow m \leq - 1

.

Vậy chọn C

Câu 46:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

[- 1; 2]

liên tục trên . Đồ thị của hàm số

y = f^{'} (x)

được cho như hình vẽ. Diện tích hình phẳng

(K), (H)

lần lượt là

\frac{5}{12}

và

\frac{8}{3}

. Biết

f (- 1) = \frac{19}{12}

. Tính

f (2)

.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1;2] . Đồ thị của hàm (ảnh 1)

A. $f (2) = \frac{11}{6}$

B. $f (2) = \frac{23}{6}$

C. $f (2) = - \frac{2}{3}$

D. $f (2) = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Từ hình vẽ ta có:

\frac{5}{12} = \int_{- 1}^{0} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{- 1}^{0} = f (0) - f (- 1)

, suy ra

f (0) = f (- 1) + \frac{5}{12} = 2

Ta cũng có:

\frac{8}{3} = - \int_{0}^{2} f^{'} (x) d x = - {f (x)|}_{0}^{2} = - f (2) + f (0)

, suy ra

f (2) = f (0) - \frac{8}{3} = \frac{- 2}{3}

.

Chọn đáp án C

Câu 47:

Cho số phức z thỏa mãn

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|

bằng

A. $5 \sqrt{6}$

B. $\sqrt{15} (1 + \sqrt{6})$

C. $6 \sqrt{5}$

D. $\sqrt{10} + 3 \sqrt{15}$

Xem đáp án

Cách 1

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |1 + i| |z + \frac{1 - 3 i}{1 + i}| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |z - (1 + 2 i)| = 3 (1)

.
Gọi

\vec{O M} = (x; y), \vec{O I} = (1; 2)

là vec-tơ biểu diễn cho các số phức

z = x + i y, w = 1 + 2 i

, .
Từ (1) có

|\vec{O M} - \vec{O I}| = 3 \Leftrightarrow M I = 3

.
Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm

I (1; 2)

bán kính

R = 3

,

(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{3} = 9

Gọi

\vec{O A} = (- 2; - 1)

,

\vec{O B} = (2; 3)

lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức

a = - 2 - i

,

b = 2 + 3 i

.
Có

\vec{I A} = (- 3; - 3)

,

\vec{I B} = (1; 1)

. Suy ra

\vec{I A} = - 3 \vec{I B} \Leftrightarrow \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0}

.
Lúc đó

P = M A + \sqrt{6} M B = M A + \sqrt{2} . \sqrt{3} M B

\leq \sqrt{3 (M A^{2} + 3 M B^{2})}

.
Có

M A^{2} + 3 M B^{2} = {(\vec{I A} - \vec{I M})}^{2} + 3 {(\vec{I B} - \vec{I M})}^{2} = 4 I M^{2} + I A^{2} + 3 I B^{2}

.
Có

I M^{2} = 9

,

I A^{2} = 18

,

I B^{2} = 2

, nên

M A^{2} + 3 M B^{2} = 60

.
Suy ra

P \leq \sqrt{3.60} = 6 \sqrt{5}

.
Có

P = 6 \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{M A}{1} = \frac{\sqrt{3} M B}{\sqrt{2}}

.
Vậy giá trị lớn nhất của P là

P = 6 \sqrt{5}

.

Cách 2.
Giả sử

M (x; y)

là điểm biểu diễn của số phức z khi đó

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - y + 1 + (x + y - 3) i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9

. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.
Đặt

\{\begin{cases} a = x - 1 \\ b = y - 2 \end{cases}

Ta có

a^{2} + b^{2} = 9

. Gọi

A = (- 2; - 1), B = (2; 3)

P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i| = M A + \sqrt{6} M B = \sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{6 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}]}

= \sqrt{{(a + 3)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} + \sqrt{6 [{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}]} = \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{6} \sqrt{(- 2) (a + b) + 11}

= \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{2} \sqrt{(- 6) (a + b) + 33} \leq \sqrt{(1 + 2) (27 + 33)} = 6 \sqrt{5}

.

Chọn đáp án C

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

A (2; - 2; 4)

,

B (- 3; 3; - 1)

,

C (- 1; - 1; - 1)

và mặt phẳng

(P) : 2 x - y + 2 z + 8 = 0

. Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = 2 M A^{2} + M B^{2} - M C^{2}

.

A. 30

B. 35

C. 102

D. 105

Xem đáp án

Gọi I là điểm thỏa mãn: $2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 (\vec{O A} - \vec{O I}) + (\vec{O B} - \vec{O I}) - (\vec{O C} - \vec{O I}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{O I} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C} = (1; 0; 4)$ $\Leftrightarrow I (1; 0; 4)$

Khi đó, với mọi điểm $M (x; y; z) \in (P)$ , ta luôn có:

$T = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2}$ .

$= 2 {\vec{M I}}^{2} + 2 \vec{M I} . (2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}) + 2 {\vec{I A}}^{2} + {\vec{I B}}^{2} - {\vec{I C}}^{2}$

$= 2 M I^{2} + 2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2}$

Ta tính được $2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2} = 30$ .

Do đó, T đạt GTNN $\Leftrightarrow M I$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M I ⊥ (P)$ .

Lúc này, $I M = d (I, (P)) = \frac{|2.1 - 0 + 2.4 + 8|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 6$ .

Vậy $T_{\min} = {2.6}^{2} + 30 = 102$ .

Chọn đáp án C

Câu 49:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m \in ℤ

và phương trình

\log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{\sqrt{m x - 5}} \sqrt{x + 2}

có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Điều kiện

\{\begin{cases} x^{2} - 6 x + 12 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ m x - 5 > 0 \\ m x - 5 \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 2 \\ m x > 5 \\ m x \neq 6 \end{cases} (I)

Giải phương trình

\begin{array}{l} \log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{\sqrt{m x - 5}} \sqrt{x + 2} p t (1) \\ \Leftrightarrow \log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{m x - 5} (x + 2) \\ \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 12 = x + 2 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 7 x + 10 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 5 \end{array} \end{array}

Khi

m < 0 \Rightarrow x < \frac{5}{m} < 0

Suy ra phương trình (1) vô nghiệm
Khi

m = 0 \Rightarrow 0 x > 5

không có x thỏa điều kiện.
Khi

m > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{m} > 0

khi đó

(I) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \frac{5}{m} \\ x \neq \frac{6}{m} \end{cases}

TH1. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

x = 2

khi đó

\{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ 5 = \frac{6}{m} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m - 5}{m} \\ m = \frac{6}{5} \end{cases} > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > \frac{5}{2} \\ m = \frac{6}{5} \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset

TH2. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

x = 5

khi đó

[\begin{array}{l} \{\begin{cases} 5 > \frac{5}{m} \\ 2 < \frac{5}{m} \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ 2 = \frac{6}{m} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} \frac{5 m - 5}{m} > 0 \\ \frac{2 m - 5}{m} < 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 > \frac{5}{m} \\ m = 3 \end{cases} \end{array} [\begin{array}{l} \{\begin{cases} m > 1 \\ 0 < m < \frac{5}{2} \end{cases} \\ m = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 < m < \frac{5}{2} \\ m = 3 \end{array}

Vậy các giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài là

m = 3 \lor 1 < m < \frac{5}{2}

Vậy

S = \{2; 3\}

.

Chọn đáp án D

Câu 50:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị

y = f^{'} (x)

như hình vẽ sau

Đồ thị hàm số

g (x) = |2 f (x) - x^{2}|

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

A. 7

B. 5

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Xét hàm số

h (x) = 2 f (x) - x^{2} \Rightarrow h' (x) = 2 f' (x) - 2 x

Từ đồ thị ta thấy

h' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = x \Leftrightarrow x = - 2 \lor x = 2 \lor x = 4

\begin{array}{l} \int_{- 2}^{2} (2 f' (x) - 2 x) d x > \int_{2}^{4} (2 x - 2 f' (x)) d x > 0 \\ \Leftrightarrow {h (x)|}_{- 2}^{2} > {- h (x)|}_{2}^{4} \Leftrightarrow h (2) - h (- 2) > - (h (4) - h (2)) \Leftrightarrow h (4) > h (- 2) \end{array}

Bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ sau (ảnh 3)

Vậy

g (x) = |2 f (x) - x^{2}|

có tối đa 7 cực trị.

Chọn đáp án A

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề số 10

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan