50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 3

có bảng biến thiên như sau:

f (x)

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(0; 1)$

C. $(- 1; 0)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f^{'} (x) < 0$ trên các khoảng $(- 1; 0)$ và $(1; + \infty) \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $(- 1; 0)$

Chọn đáp án C

Câu 4:

có bảng biến thiên như sau:

f (x)

Hàm số đạt cực tiểu tại

A. $x = - 1$

B. $x = 1$

C. $x = 0$

D. $x = 0$

Xem đáp án

Theo BBT

Chọn đáp án D

Câu 5:

có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y = f (x)

A. Hàm số không có cực trị

B. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ .

C. Hàm số đạt cực đại tại $x = 5$ .

D. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ .

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại bằng 5 tại $x = 0$

Chọn đáp án B

Câu 6:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{2 - x}{x + 3}

A. $x = 2$

B. $x = - 3$

C. $y = - 1$

D. $y = - 3$

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số $D = ℝ \ \{- 3\}$

Ta có $\lim_{x \to {(- 3)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{2 - x}{x + 3} = + \infty$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 3$

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? (ảnh 1)

A. $y = - x^{2} + x - 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

C. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

D. $y = x^{3} - 3 x + 1$

Xem đáp án

Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to + \infty$ $\Rightarrow a > 0$

Câu 8:

Đồ thị hàm số $y = - x^{4} + x^{2} + 2$ cắt trục $O y$ tại điểm

A. $A (0; 2)$

B. $A (2; 0)$

C. $A (0; - 2)$

D. $A (0; 0)$

Xem đáp án

Với $x = 0 \Rightarrow y = 2$ . Vậy đồ thị hàm số $y = - x^{4} + x^{2} + 2$ cắt trục $O y$ tại điểm $A (0; 2)$

Chọn đáp án A

Câu 9:

Cho $a$ là số thực dương bất kì. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\log a^{3} = \frac{1}{3} \log a$

B. $\log (3 a) = 3 \log a$

C. $\log (3 a) = \frac{1}{3} \log a$

D. $\log a^{3} = 3 \log a$

Xem đáp án

$\log a^{3} = 3 \log a \Rightarrow$ A sai, D đúng

$\log (3 a) = \log 3 + l o g a \Rightarrow$ B,C sai.

Chọn đáp án D

Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số

y = 6^{x}

A. $y^{'} = 6^{x}$

B. $y^{'} = 6^{x} \ln 6$

C. $y^{'} = \frac{6^{x}}{\ln 6}$

D. $y^{'} = x {.6}^{x - 1}$

Xem đáp án

Ta có $y = 6^{x} \Rightarrow y^{'} = 6^{x} \ln 6$

Chọn đáp án B

Câu 11:

Cho số thực dương

x

. Viết biểu thức

P = \sqrt[3]{x^{5}} . \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}

dưới dạng lũy thừa cơ số

x

ta được kết quả

A. $P = x^{\frac{19}{15}}$

B. $P = x^{\frac{19}{6}}$

C. $P = x^{\frac{1}{6}}$

D. $P = x^{- \frac{1}{15}}$

Xem đáp án

$P = \sqrt[3]{x^{5}} . \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ $= x^{\frac{5}{3}} . x^{- \frac{3}{2}} = x^{\frac{5}{3} - \frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{6}}$

Chọn đáp án C

Câu 12:

Nghiệm của phương trình

2^{x - 1} = \frac{1}{16}

có nghiệm là

A. $x = - 3$

B. $x = 5$

C. $x = 4$

D. $x = 3$

Xem đáp án

$2^{x - 1} = \frac{1}{16} \Leftrightarrow 2^{x - 1} = 2^{- 4} \Leftrightarrow x - 1 = - 4 \Leftrightarrow x = - 3$

Chọn đáp án A

Câu 13:

Nghiệm của phương trình

\log_{4} (3 x - 2) = 2

A. $x = 6$

B. $x = 3$

C. $x = \frac{10}{3}$

D. $x = \frac{7}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $(3 x - 2) = 2 \Leftrightarrow 3 x - 2 = 4^{2} \Leftrightarrow 3 x - 2 = 16 \Leftrightarrow x = 6$

Chọn đáp án A

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3 x^{2} + \sin x

Tìm họ nguyên hàm của hàm số

A. $x^{3} + \cos x + C$

B. $6 x + \cos x + C$

C. $x^{3} - \cos x + C$

D. $6 x - \cos x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int (3 x^{2} + \sin x) d x = x^{3} - \cos x + C$

Chọn đáp án C

Câu 15:

f (x) = e^{3 x}

A. $\int f (x) d x = \frac{e^{3 x + 1}}{3 x + 1} + C$

B. $\int f (x) d x = 3 e^{3 x} + C$

C. $\int f (x) d x = e^{3} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{e^{3 x}}{3} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int e^{3 x} d x = \frac{e^{3 x}}{3} + C$

Chọn đáp án D

Câu 16:

f (x)

liên tục trên

ℝ

\int_{0}^{6} f (x) d x = 7

\int_{6}^{10} f (x) d x = - 1

. Giá trị của

I = \int_{0}^{10} f (x) d x

A. I = 5

B. I = 6

C. I = 7

D. I = 8

Xem đáp án

Ta có: $I = \int_{0}^{10} f (x) d x = \int_{0}^{6} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x = 7 - 1 = 6$
Vậy $I = 6$

Chọn đáp án B

Câu 17:

Giá trị của

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x

Số phức liên hợp của số phức

A. 0

B. 1

C. -1

D. $\frac{π}{2}$

Xem đáp án

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = - \cos x |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} = 1$

Chọn đáp án B

Câu 18:

z = 2 + i

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức

A. $\bar{z} = - 2 + i$

B. $\bar{z} = - 2 - i$

C. $\bar{z} = 2 - i$

D. $\bar{z} = 2 + i$

Xem đáp án

Số phức liên hợp của số phức

z = 2 + i

và

\bar{z} = 2 - i

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 + i$ và $z_{2} = 1 + 3 i$ . Phần thực của số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng

A. 1

B. 3

C. 4

D. -2

Xem đáp án

Ta có

z_{1} + z_{2} = (2 + i) + (1 + 3 i) = 3 + 4 i

. Vậy phần thực của số phức

z_{1} + z_{2}

bằng 3.

Câu 20:

z = - 1 + 2 i

là điểm nào dưới đây?

A. $Q (1; 2)$

B. $P (- 1; 2)$

C. $N (1; - 2)$

D. $M (- 1; - 2)$

Xem đáp án

Điểm biểu diễn số phức $z = - 1 + 2 i$ là điểm $P (- 1; 2)$

Chọn đáp án B

Câu 21:

Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng

A. 6

B. 8

C. 4

D. 2

Xem đáp án

$V = 2^{3} = 8$

Chọn đáp án B

Câu 22:

Cho khối chóp có thể tích bằng $32 c m^{3}$ và diện tích đáy bằng $16 c m^{2} .$ Chiều cao của khối chóp đó là

A. 4cm

B. 6cm

C. 3cm

D. 2cm

Xem đáp án

Ta có $V_{c h o p} = \frac{1}{3} B . h \Rightarrow h = \frac{3 V}{B} = \frac{3.32}{16} = 6 (c m)$

Chọn đáp án B

Câu 23:

Cho khối nón có chiều cao $h = 3$ và bán kính đáy $r = 4$ . Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. $16 π$

B. $48 π$

C. $36 π$

D. $4 π$

Xem đáp án

Thể tích của khối nón đã cho là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π 4^{2} .3 = 16 π$

Chọn đáp án A

Câu 24:

Tính theo $a$ thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là $a$ , chiều cao bằng $2 a$ .

A. $2 π a^{3}$

B. $\frac{2 π a^{3}}{3}$

C. $\frac{π a^{3}}{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Thể tích khối trụ là $V = π R^{2} . h = π . a^{2} .2 a = 2 π a^{3}$

Chọn đáp án A

Câu 25:

Trong không gian, $O x y z$ cho $A (2; - 3; - 6), B (0; 5; 2)$ . Toạ độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $A B$ là

A. $I (- 2; 8; 8)$

B. $I (1; 1; - 2)$

C. $I (- 1; 4; 4)$

D. $I (2; 2; - 4)$

Xem đáp án

Vì I là trung điểm của AB nên

I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})

vậy

I (1; 1; - 2)

Chọn đáp án B

Câu 26:

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$ Tâm của $(S)$ có tọa độ là

A. $(- 2; 4; - 1)$

B. $(2; - 4; 1)$

C. $(2; 4; 1)$

D. $(- 2; - 4; - 1)$

Xem đáp án

Mặt cầu

(S)

có tâm

(2; - 4; 1)

Chọn đáp án B

Câu 27:

Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 1 = 0

. Điểm nào dưới đây thuộc

(P)

?

A. $M (1; - 2; 1)$

B. $N (2; 1; 1)$

C. $P (0; - 3; 2)$

D. $Q (3; 0; - 4)$

Xem đáp án

Lần lượt thay toạ độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình $(P)$ ta thấy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình (P). Do đó điểm N thuộc (P)

Chọn đáp án B

Câu 28:

Trong không gian

O x y z

, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng

d

:

\{\begin{cases} x = 4 + 7 t \\ y = 5 + 4 t \\ z = - 7 - 5 t \end{cases} (t \in ℝ)

A. ${\vec{u}}_{1} = (7; - 4; - 5)$

B. ${\vec{u}}_{2} = (5; - 4; - 7)$

C. ${\vec{u}}_{3} = (4; 5; - 7)$

D. ${\vec{u}}_{4} = (7; 4; - 5)$

Xem đáp án

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

d

là

{\vec{u}}_{4} = (7; 4; - 5)

Chọn đáp án D

Câu 29:

Một hội nghị có 15 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người vào ban tổ chức. Xác suất để 3 người lấy ra là nam:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{91}{266}$

C. $\frac{4}{33}$

D. $\frac{1}{11}$

Xem đáp án

$n (Ω) = C_{21}^{3} = 1330$

Gọi A là biến cố: “3 người lấy ra là nam”. Khi đó,

n (A) = C_{15}^{3} = 455

Vậy xác suất để 3 người lấy ra là nam là:

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{13}{38} = \frac{91}{266}

Chọn đáp án B

Câu 30:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên

ℝ

?

A. $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$

B. $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

C. $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 4$

D. $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Xét các phương án:

A. $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$ $\Rightarrow$ $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 {(x - 1)}^{2} \geq 0$ $\forall x \in ℝ$ và dấu bằng xảy ra tại $x = 1$ .Do đó hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$ đòng biến trên $ℝ$

B. $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ là hàm bậc hai và luôn có một cực trị nên không đồng biến trên $ℝ$

C. $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 4$ là hàm trùng phương luôn có ít nhất một cực trị nên không đồng biến trên $ℝ$

D. $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có $D = ℝ \ \{- 1\}$ nên không đồng biến trên $ℝ$

Chọn đáp án A

Câu 31:

Gọi

M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x^{4} - 10 x^{2} + 2

trên đoạn

[- 1; 2]

. Tổng

M + m

bằng:

A. -27

B. -29

C. -20

D. -5

Xem đáp án

$y = x^{4} - 10 x^{2} + 2 \Rightarrow y^{'} = 4 x^{3} - 20 x = 4 x (x^{2} - 5)$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{5} \\ x = - \sqrt{5} \end{array}$

Các giá trị $x = - \sqrt{5}$ và $x = \sqrt{5}$ không thuộc đoạn $[- 1; 2]$ nên ta không tính.

Có $f (- 1) = - 7; f (0) = 2; f (2) = - 22$

Do đó $M = \max_{[- 1; 2]} y = 2$ , $m = \min_{[- 1; 2]} y = - 22$ nên $M + m = - 20$

Chọn đáp án C

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

A. $(10; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $[10; + \infty)$

D. $(- \infty; 10)$

Xem đáp án

Ta có: $\log x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 10$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

[10; + \infty)

Chọn đáp án C

Câu 33:

Nếu

\int_{0}^{1} f (x) d x = 4

thì

\int_{0}^{1} 2 f (x) d x

Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức

A. 16

B. 4

C. 2

D. 8

Xem đáp án

$\int_{0}^{1} 2 f (x) d x = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x = 2.4 = 8$

Chọn đáp án D

Câu 34:

z = {(1 - 2 i)}^{2}

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

B. $\sqrt{5}$

C. $\frac{1}{25}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Ta có $z = - 3 - 4 i$

Suy ra $\frac{1}{z} = \frac{1}{- 3 - 4 i} = - \frac{3}{25} + \frac{4}{25} i$

Nên $|z| = \sqrt{{(\frac{- 3}{25})}^{2} + {(\frac{4}{25})}^{2}} = \frac{1}{5}$

Chọn đáp án D

Câu 35:

Cho hình chóp

S . A B C

có

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

(minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng

S A = \sqrt{2} a

, tam giác

A B C

vuông cân tại

B

và

A C = 2 a

S B

và mặt phẳng

(A B C)

có đáy là tam giác vuông tại

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ảnh 1)

A. $30^{o}$

B. $45^{o}$

C. $60^{o}$

D. $90^{o}$

Xem đáp án

Ta có:

S B \cap (A B C) = B

;

S A ⊥ (A B C)

tại

A

\Rightarrow

Hình chiếu vuông góc của

S B

lên mặt phẳng

(A B C)

là

A B

\Rightarrow

Góc giữa đường thẳng

S B

và mặt phẳng

(A B C)

là

α = \hat{S B A}

Do tam giác

A B C

vuông cân tại

B

và

A C = 2 a

nên

A B = \frac{A C}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} a = S A

Suy ra tam giác

S A B

vuông cân tại

A

Do đó

α = \hat{S B A} = 45^{o}

Vậy góc giữa đường thẳng

S B

và mặt phẳng

(A B C)

bằng

45^{o}

.

Chọn đáp án B

Câu 36:

Cho hình chóp

S A B C

A

A B = a

A C = a \sqrt{3}

vuông góc với mặt phẳng đáy và

S A

S A = 2 a

. Khoảng cách từ điểm

A

đến mặt phẳng

(S B C)

, phương trình mặt cầu tâm

A. $\frac{a \sqrt{57}}{19}$

B. $\frac{2 a \sqrt{57}}{19}$

C. $\frac{2 a \sqrt{3}}{19}$

D. $\frac{2 a \sqrt{38}}{19}$

Xem đáp án

Từ

A

kẻ

A D ⊥ B C

mà

S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C

\Rightarrow B C ⊥ (S A D)

\Rightarrow (S A D) ⊥ (S B C)

mà

(S A D) \cap (S B C) = S D

\Rightarrow

Từ

A

kẻ

A E ⊥ S D \Rightarrow A E ⊥ (S B C)

\Rightarrow d (A; (S B C)) = A E

Trong

△ A B C

vuông tại

A

ta có:

\frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}}

Trong

△ S A D

vuông tại

A

ta có:

\frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{19}{12 a^{2}}

\Rightarrow A E = \frac{2 a \sqrt{57}}{19}

Chọn đáp án B

Câu 37:

Trong không gian

O x y z

I (- 1; 2; 0)

và đi qua điểm

A (2; - 2; 0)

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 100.$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 5.$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 10.$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25.$

Xem đáp án

Ta có:

R = I A = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

Vậy phương trình mặt cầu có dạng:

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25.

Chọn đáp án D

Câu 38:

A (1; 2; - 3)

và

B (3; - 1; 1)

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 3}{4}$

B. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 3}{1}$

C. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 3}$

D. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 3}{4}$

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (2; - 3; 4)$ nên phương trình chính tắc của đường thẳng $A B$ là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 3}{4}$

Chọn đáp án D

Câu 39:

cho như hình dưới đây. Đặt

y = f (x)

liên tục trên

ℝ

có đồ thị

y = f^{'} (x)

g (x) = 2 f (x) - {(x + 1)}^{2}

. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị y=f'(x) (ảnh 1)

A. $\min_{[- 3; 3]} g (x) = g (1)$

B. $\max_{[- 3; 3]} g (x) = g (1)$

C. $\max_{[- 3; 3]} g (x) = g (3)$

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của $g (x)$ .

Xem đáp án

Ta có

g (x) = 2 f (x) - {(x + 1)}^{2}

\Rightarrow g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - (2 x + 2) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x + 1

Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ giao điểm của

f^{'} (x)

và

y = x + 1

trên khoảng

(- 3; 3)

là

x = 1

Vậy ta so sánh các giá trị

g (- 3)

,

g (1)

,

g (3)

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị y=f'(x) (ảnh 2)

Xét

\int_{- 3}^{1} g^{'} (x) d x = 2 \int_{- 3}^{1} [f^{'} (x) - (x + 1)] d x > 0

\Leftrightarrow g (1) - g (- 3) > 0 \Leftrightarrow g (1) > g (- 3)

Tương tự xét

\int_{1}^{3} g^{'} (x) d x = 2 \int_{1}^{3} [f^{'} (x) - (x + 1)] d x < 0

\Leftrightarrow g (3) - g (1) < 0 \Leftrightarrow g (3) < g (1)

Xét

\int_{- 3}^{3} g^{'} (x) d x = 2 \int_{- 3}^{1} [f^{'} (x) - (x + 1)] d x + 2 \int_{1}^{3} [f^{'} (x) - (x + 1)] d x > 0

\Leftrightarrow g (3) - g (- 3) > 0 \Leftrightarrow g (3) > g (- 3)

. Vậy ta có

g (1) > g (3) > g (- 3)

Vậy

\max_{[- 3; 3]} g (x) = g (1)

Chọn đáp án B

Câu 40:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình

{(17 - 12 \sqrt{2})}^{x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Ta có $(3 + \sqrt{8}) = {(3 - \sqrt{8})}^{- 1}, (17 - 12 \sqrt{2}) = {(3 - \sqrt{8})}^{2}$

Do đó ${(17 - 12 \sqrt{2})}^{x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}} \Leftrightarrow {(3 - \sqrt{8})}^{2 x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}} \Leftrightarrow {(3 + \sqrt{8})}^{- 2 x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}$

$\Leftrightarrow - 2 x \geq x^{2} \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 0$

Vì

x

nhận giá trị nguyên nên

x \in \{- 2; - 1; 0\}

.

Chọn đáp án A

Câu 41:

y = f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 3 k h i x \geq 1 \\ 5 - x khi x < 1 \end{cases}

. Tính

I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x + 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x

A. $I = \frac{71}{6}$

_{B. $I = 31$}

C. $I = 32$

D. $I = \frac{32}{3}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x + 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x \\ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d (\sin x) - \frac{3}{2} \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d (3 - 2 x) \\ = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x + \frac{3}{2} \int_{1}^{3} f (x) d x \\ = 2 \int_{0}^{1} (5 - x) d x + \frac{3}{2} \int_{1}^{3} (x^{2} + 3) d x \\ = 9 + 22 = 31 \end{array}$

Chọn đáp án B

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức

z

có đáy là hình vuông cạnh

(1 + i) z + \bar{z}

là số thuần ảo và

|z - 2 i| = 1

?

A. 2

B. 1

C. 0

D. Vô số

Xem đáp án

Đặt

z = a + b i

với

a, b \in ℝ

ta có:

(1 + i) z + \bar{z} = (1 + i) (a + b i) + a - b i

= 2 a - b + a i

Mà

(1 + i) z + \bar{z}

là số thuần ảo nên

2 a - b = 0

\Leftrightarrow b = 2 a

Mặt khác

|z - 2 i| = 1

nên

a^{2} + {(b - 2)}^{2} = 1

\Leftrightarrow a^{2} + {(2 a - 2)}^{2} = 1 \Leftrightarrow 5 a^{2} - 8 a + 3 = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \Rightarrow b = 2 \\ a = \frac{3}{5} \Rightarrow b = \frac{6}{5} \end{array}

Vậy có số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A

Câu 43:

Cho hình chóp

S . A B C D

a

Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao

S A ⊥ (A B C D)

, cạnh bên

S C

tạo với mặt đáy góc

45 °

. Tính thể tích

V

của khối chóp

S . A B C D

theo

a

.

A. $V = a^{3} \sqrt{2}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

Xem đáp án

Ta có: góc giữa đường thẳng $S C$ và $(A B C D)$ là góc $\hat{S C A} = 45 °$

$\Rightarrow S A = A C$ $= a \sqrt{2}$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . a^{2} . a \sqrt{2}$ $= \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Chọn đáp án C

Câu 44:

G H = 4 m

, chiều rộng

A B = 4 m

. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là

A C = B D = 0, 9 m

1200000

đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là

900000

đồng/m2.

Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH=4m (ảnh 1)

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 114455000(đồng)

B. 7368000(đồng)

C. 4077000(đồng)

D. 11370000(đồng)

Xem đáp án

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $A B$ trùng $O x$ , $A$ trùng $O$ khi đó parabol có đỉnh $G (2; 4)$ và đi qua gốc tọa độ.

Gọi phương trình của parabol là $y = a x^{2} + b x + c$

Do đó ta có $\{\begin{cases} c = 0 \\ \frac{- b}{2 a} = 2 \\ 2^{2} a + 2 b + c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 4 \\ c = 0 \end{cases}$

Nên phương trình parabol là $y = f (x) = - x^{2} + 4 x$

Diện tích của cả cổng là

S = \int_{0}^{4} (- x^{2} + 4 x) d x = (- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{4} = \frac{32}{3} \approx 10, 67 (m^{2})

Do vậy chiều cao

C F = D E = f (0, 9) = 2, 79 (m)

C D = 4 - 2.0, 9 = 2, 2 (m)

Diện tích hai cánh cổng là

S_{C D E F} = C D . C F = 6, 138 \approx 6, 14 (m^{2})

Diện tích phần xiên hoa là

S_{x h} = S - S_{C D E F} = 10, 67 - 6, 14 = 4, 53 (m^{2})

Nên tiền là hai cánh cổng là

6, 14.1200000 = 7368000 (đ)

và tiền làm phần xiên hoa là

4, 53.900000 = 4077000 (đ)

Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng

Chọn đáp án A

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ ; $d_{2} : \frac{x - 5}{- 3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z - 5 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là

A. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 1}{3}$

B. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{3}$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}$

D. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

Xem đáp án

Gọi $Δ$ là đường thẳng cần tìm. Gọi $M = Δ \cap d_{1}$ , $N = Δ \cap d_{2}$

Vì $M \in d_{1}$ nên $M (3 - t; 3 - 2 t; - 2 + t)$

Vì $N \in d_{2}$ nên $N (5 - 3 s; - 1 + 2 s; 2 + s)$

$\vec{M N} = (2 + t - 3 s; - 4 + 2 t + 2 s; 4 - t + s)$ , $(P)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2; 3)$

Vì $Δ ⊥ (P)$ nên $\vec{n}, \vec{M N}$ cùng phương, do đó:

$\{\begin{cases} \frac{2 + t - 3 s}{1} = \frac{- 4 + 2 t + 2 s}{2} \\ \frac{- 4 + 2 t + 2 s}{2} = \frac{4 - t + s}{3} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} s = 1 \\ t = 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} M (1; - 1; 0) \\ N (2; 1; 3) \end{cases}$

$Δ$ đi qua $M$ và có một vecto chỉ phương là $\vec{M N} = (1; 2; 3)$

Do đó

Δ

có phương trình chính tắc là

\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}

Chọn đáp án C

Câu 46:

như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số

y = f (x)

có đồ thị

y = f^{'} (x)

g (x) = |2 f (x) - {(x - 1)}^{2}|

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị y=f'(x) như hình bên (ảnh 1)

A. 3

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Xét hàm số

h (x) = 2 f (x) - {(x - 1)}^{2}

, ta có

h^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - 2 (x - 1)

h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x - 1 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 1 \lor x = 2 \lor x = 3

Lập bảng biến thiên:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị y=f'(x) như hình bên (ảnh 3)

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm

y = h (x)

có 2 điểm cực trị. Đồ thị hàm số

g (x) = |h (x)|

nhận có tối đa 5 điểm cực trị

Chọn đáp án B

Câu 47:

Tập giá trị của

x

\frac{{2.9}^{x} - {3.6}^{x}}{6^{x} - 4^{x}} \leq 2 (x \in ℝ)

(- \infty; a] \cup (b; c] .

Khi đó

(a + b + c)!

A. 2

B. 0

C. 1

D. 6

Xem đáp án

Điều kiện:

6^{x} - 4^{x} \neq 0 \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{x} \neq 1 \Leftrightarrow x \neq 0.

Khi đó

\frac{{2.9}^{x} - {3.6}^{x}}{6^{x} - 4^{x}} \leq 2 \Leftrightarrow \frac{2. {(\frac{3}{2})}^{2 x} - 3. {(\frac{3}{2})}^{x}}{{(\frac{3}{2})}^{x} - 1} \leq 2

Đặt

t = {(\frac{3}{2})}^{x}, t > 0

ta được bất phương trình

\frac{2 t^{2} - 3 t}{t - 1} \leq 2 \Leftrightarrow \frac{2 t^{2} - 5 t + 2}{t - 1} \leq 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t < \frac{1}{2} \\ t > 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(\frac{3}{2})}^{x} \leq \frac{1}{2} \\ 1 < {(\frac{3}{2})}^{x} \leq 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq \log_{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \\ 0 < x \leq \log_{\frac{3}{2}} 2 \end{array}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

(- \infty; \log_{\frac{3}{2}} \frac{1}{2}] \cup (0; \log_{\frac{3}{2}} 2]

Suy ra

a + b + c = \log_{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + \log_{\frac{3}{2}} 2 = 0.

Vậy

(a + b + c)! = 1

Chọn đáp án C

Câu 48:

, với m là tham số thực. Giả sử

y = x^{4} - 3 x^{2} + m

có đồ thị

(C_{m})

(C_{m})

cắt trục

O x

tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ

Cho hàm số y=x^4-3x^2+m có đò thị (Cm) (ảnh 1)

Gọi

S_{1}

S_{2}

là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để

S_{3}

S_{1} + S_{3} = S_{2}

A. $- \frac{5}{2}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $- \frac{5}{4}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Gọi $x_{1}$ là nghiệm dương lớn nhất của phương trình $x^{4} - 3 x^{2} + m = 0$ , ta có $m = - x_{1}^{4} + 3 x_{1}^{2}$ (1)Vì $S_{1} + S_{3} = S_{2}$ và $S_{1} = S_{3}$ nên $S_{2} = 2 S_{3}$ hay $\int_{0}^{x_{1}} f (x) d x = 0$

Mà $\int_{0}^{x_{1}} f (x) d x$ $= \int_{0}^{x_{1}} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x$ $= {(\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + m x)|}_{0}^{x_{1}}$

$= \frac{x_{1}^{5}}{5} - x_{1}^{3} + m x_{1}$ $= x_{1} (\frac{x_{1}^{4}}{5} - x_{1}^{2} + m)$

Do đó $x_{1} (\frac{x_{1}^{4}}{5} - x_{1}^{2} + m) = 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x_{1}^{4}}{5} - x_{1}^{2} + m = 0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình $\frac{x_{1}^{4}}{5} - x_{1}^{2} - x_{1}^{4} + 3 x_{1}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow$ $- 4 x_{1}^{4} + 10 x_{1}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow$ $x_{1}^{2} = \frac{5}{2}$

Vậy $m = - x_{1}^{4} + 3 x_{1}^{2}$ $= \frac{5}{4}$

Chọn đáp án B

Câu 49:

Cho số phức

z

|z - 1 - i| + |z - 3 - 2 i| = \sqrt{5}

. Giá trị lớn nhất của

|z + 2 i|

Trong không gian với hệ tọa độ

A. 10

B. 5

C. $\sqrt{10}$

D. $2 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Gọi

z = x + y i, (x, y \in ℝ)

Khi đó

|z - 1 - i| + |z - 3 - 2 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow |(x - 1) + (y - 1) i| + |(x - 3) + (y - 2) i| = \sqrt{5}

Trong đó mặt phẳng

O x y

, đặt

A (1; 1); B (3; 2)

;

M (a; b)

\Rightarrow

Số phức

z

thỏa mãn (1) là tập hợp điểm

M (a; b)

trên mặt phẳng hệ tọa độ

O x y

thỏa mãn

M A + M B = \sqrt{5}

Mặt khác

A B = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{5}

nên quỹ tích điểm

M

là đoạn thẳng .

A B

Ta có

|z + 2 i| = |a + (b + 2) i|

. Đặt

N (0; - 2)

thì

|z + 2 i| = M N

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

N

trên đường thẳng

A B

Phương trình

A B : x - 2 y + 1 = 0

Ta có

H (- 1; 0)

nên hai điểm

A, B

nằm cùng phía đối với

H

Ta có

\{\begin{cases} A N = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10} \\ B N = \sqrt{3^{2} + {(2 + 2)}^{2}} = 5 \end{cases}

Vì

M

thuộc đoạn thẳng

A B

nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có

A N \leq M N \leq B N = 5

Vậy giá trị lớn nhất của

|z + 2 i|

bằng 5 đạt được khi

M \equiv B (3; 2)

, tức là

M \equiv B (3; 2)

Chọn đáp án B

Câu 50:

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9

và

M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (S)

sao cho

A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0}

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó

x_{0} + y_{0} + z_{0}