Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO

Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng

  • 219 lượt thi

  • 20 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \[M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\;\]là:

Xem đáp án
Phương trình tham số\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\\{z = {z_0} + ct}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 2:

Đường thẳng \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\] có một VTCP là:

Xem đáp án
Đường thẳng \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\]có một VTCP là (a;b;c).

Đáp án cần chọn là: A


Câu 3:

Đường thẳng đi qua điểm \[\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)\] và có VTCP (−a;−b;−c) có phương trình:

Xem đáp án
Đường thẳng đi qua điểm\[\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)\]và có VTCP \[\left( { - a; - b; - c} \right)\]có phương trình:\[\frac{{x - \left( { - {x_0}} \right)}}{{ - a}} = \frac{{y - \left( { - {y_0}} \right)}}{{ - b}} = \frac{{z - \left( { - {z_0}} \right)}}{{ - c}} \Leftrightarrow \frac{{x + {x_0}}}{a} = \frac{{y + {y_0}}}{b} = \frac{{z + {z_0}}}{c}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 4:

Cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t}\\{y = 1 - t}\\{z = t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng d?

Xem đáp án

Vì\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t}\\{y = 1 - t}\\{z = t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 - t}\\{y = 1 - t}\\{z = 0 + t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)nên d đi qua điểm (0;1;0).

Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của dd nên chỉ có đáp án D đúng.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 5:

Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\]?

Xem đáp án

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:

\[\frac{{0 + 1}}{2} = \frac{{1 - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{2}{1}\] nên A sai.

\[\frac{{1 + 1}}{2} = \frac{{0 - 2}}{{ - 2}} = \frac{1}{1}\]nên B đúng.

Thay tọa độ các điểm đáp án C,D vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\] và các điểm A(1;1;−1),B(−1;−1;1),\(C\left( {2;\frac{1}{2};0} \right)\). Chọn mệnh đề đúng:

Xem đáp án

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{1 - 1}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 1}}{2} = 0 \Rightarrow A \in d}\\{\frac{{ - 1 - 1}}{2} \ne \frac{{ - 1 - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow B \notin d}\\{\frac{{2 - 1}}{2} = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{{ - 1}} = \frac{{0 + 1}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow C \in d}\end{array}\]

Do đó cả hai điểm A và C đều thuộc d.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) đi qua  \[{M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\;\;\]và nhận \[\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right),\;\;{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\;\]làm một vecto chỉ phương. Hãy chọn khẳng định sai trong bốn khẳng định sau?

Xem đáp án

Phương trình chính tắc của (d) đi qua \[{M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\] và nhận\[\vec u = (a,b,c)\] làm vecto chỉ phương là \[(d):\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\]. Do đó D là đáp án sai. 

Đáp án cần chọn là: D


Câu 8:

Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số trục Oz?

Xem đáp án
Phương trình trục\(Oz:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 9:

Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục Oy?

Xem đáp án

Phương trình trục\(Oy:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) Do đó chỉ có điểm N(0,1,0) thuộc trục Oy

Đáp án cần chọn là: B


Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,  phương trình tham số của đường thẳng \[{\rm{\Delta }}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\] là:

Xem đáp án

\[{\rm{\Delta }}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\] đi qua M(4;−3;2) và nhận\[\vec u = \left( {1;2; - 1} \right)\] làm VTCP nên

\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + t}\\{y = - 3 + 2t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 11:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng dd đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow a = \left( {4, - 6,2} \right).\]Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Xem đáp án

Ta có\[\vec a = \left( {4; - 6;2} \right) = 2\left( {2; - 3;1} \right)\]nên chọn\[\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\]là vecto chỉ phương của dd.

Phương trình đường thẳng dd đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương

\[\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\]là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = - 3t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 12:

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1,2,−3) và B(3,−1,1)?

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng AB nhận\[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)\]là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạng\[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{4}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với A(1;1;2),B(3;−3;0). Phương trình đường trung tuyến OI của tam giác OAB là

Xem đáp án

Ta có I là trung điểm của AB. Suy ra I(2,−1,1).

Ta có OI  nhận\[\overrightarrow {OI} = \left( {2; - 1;1} \right)\] là vectơ chỉ phương và đi qua điểm O(0,0,0) nên\[d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với  A(0,1,1), B(−2,3,1) và C(4,−3,1). Phương trình nào không phải là phương trình tham số của đường chéo BD.

Xem đáp án

Gọi I  là tâm của hình bình hành ABCD. Suy ra I là trung điểm của AC. Ta có I(2,−1,1).

Phương trình BI cũng chính là phương trình đường chéo BD.

+ Phương trình BI nhận\[\overrightarrow {BI} = (4, - 4,0)\]là vectơ chỉ phương

+ qua điểm B(−2,3,1) và cũng qua điểm I(2,−1,1).

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là (1,1,0), đây không là vecto chỉ phương của BI.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2,1,3) và đường thẳng \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}\). Gọi d  là đường thẳng đi qua A  và song song d′. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng d?

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng d có vecto chỉ phương là\[\vec u = (3,1,1)\]và đi qua điểm A(2,1,3) nên có phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y = 1 + t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\)

+ Phương án A đúng.

+ Với t=−1 ta có B(−1,0,2) thuộc d . Do đó B đúng.

+ Với t=1 ta có C(5,2,4) thuộc d . Do đó C đúng.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 16:

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;−3) và song song với trục OzOz là:

Xem đáp án

Vì d//Oz nên ta có\[\overrightarrow {{u_d}} = \vec k = (0,0,1)\].Vì d qua\[A\left( {1,2, - 3} \right)\]nên d có phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = - 3 + t}\end{array}} \right.\left( * \right)\)

Đối chiếu kết quả các đáp án ta thấy:

+ A,B, D sai vecto chỉ phương.

+ Đáp án C đúng vecto chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}} \]Kiểm tra điểm B(1,2,3) thuộc (*) nên C đúng.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 17:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: \[{d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\;\] và \[{d_2}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\] là: 

Xem đáp án

Ta có\[\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = (2,1, - 1)\] và\[\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = (3,2,2)\]

Vì d vuông góc với \[{d_1}\]  và \[{d_2}\] nên có\[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {4; - 7;1} \right)\]

Vì dd qua A(1,2,3) nên có phương trình\[d:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 7}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,−4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:  

Xem đáp án

H  là trực tâm của\[\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0}\end{array}} \right.\]

Ta giả sử\[H\left( {x,y,z} \right)\] ta có

\[\overrightarrow {BC} = (0, - 3, - 4)\]

\[\overrightarrow {AC} = ( - 2,0, - 4)\]

\[\overrightarrow {AH} = (x - 2,y,z)\]

\[\overrightarrow {BH} = (x,y - 3,z)\]

\[\overrightarrow {AB} = ( - 2,3,0)\]

Điều kiện\[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\]

Điều kiện\[\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\]

Ta tính\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)\]

Điều kiện

\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0 \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\]

Suy ra\[H(\frac{{72}}{{61}},\frac{{48}}{{61}},\frac{{ - 36}}{{61}})\]

Suy ra\[\overrightarrow {OH} = (\frac{{72}}{{61}},\frac{{48}}{{61}},\frac{{ - 36}}{{61}})\] là vecto chỉ phương của OH.

Chọn\[\vec u = (6,4, - 3)\] là vecto chỉ phương của OH và OH qua O(0,0,0) nên phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = - 3t}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + \left( {{m^2} - 2m} \right)t}\\{y = 5 - \left( {m - 4} \right)t}\\{z = 7 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

và điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S là

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  (ảnh 1)

Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm\[M\left( {2;5;7 - 2\sqrt 2 } \right)\] và nhận\[\vec u = \left( {{m^2} - 2m;4 - m;0} \right)\] làm VTCP.

Có\[\overrightarrow {AM} = \left( {1;3;4 - 2\sqrt 2 } \right) \Rightarrow AM = \sqrt {34 - 16\sqrt 2 } \]

Để\[d\left( {A,{\rm{\Delta }}} \right) = A{H_{\min }}\]  thì\[\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AM}}\] đạt GTNN hay cosα đạt GTLN.

\[\cos \alpha = \cos \left( {AM,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }}\]

\[\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right| \le \sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} \]

\[ \Rightarrow \frac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }} \le \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } }}\]

\[ \Rightarrow \cos \alpha \] đạt GTLN nếu

\[\frac{{{m^2} - 2m}}{1} = \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 4 - m \Leftrightarrow 3{m^2} - 5m - 4 = 0\]

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do ac<0 nên tổng các giá trị của m là \(\frac{5}{3}\) .

Đáp án cần chọn là: B


Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\;\] và các điểm \[A(3 + m;4 + m;5 - 2m),\;B\left( {4 - n;5 - n;3 + 2n} \right)\] với m,n là các số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

- Thay tọa độ điểm \[A\left( {3 + m;\,\,4 + m;\,\,5 - 2m} \right)\] vào phương trình đường thẳng d ta có:\[\frac{{3 + m - 3}}{1} = \frac{{4 + m - 4}}{1} = \frac{{5 - 2m - 5}}{{ - 2}} \Leftrightarrow m = m = m\]  (luôn đúng)\[ \Rightarrow A \in d\]

- Thay tọa độ điểm\[B\left( {4 - n;\,\,5 - n;\,\,3 + 2n} \right)\] vào phương trình đường thẳng d ta có:\[\frac{{4 - n - 3}}{1} = \frac{{5 - n - 4}}{1} = \frac{{3 + 2n - 5}}{{ - 2}} \Leftrightarrow 1 - n = 1 - n = 1 - n\] (luôn đúng)\[ \Rightarrow B \in d\]

Vậy\[A \in d,\,\,B \in d\]

Đáp án cần chọn là: B


Bắt đầu thi ngay