IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Phương trình mũ và một số phương pháp giải

Phương trình mũ và một số phương pháp giải

Phương trình mũ và một số phương pháp giải

  • 613 lượt thi

  • 66 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Phương trình \[{4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}\] có nghiệm là:

Xem đáp án
\[{4^{2{\rm{x}} + 5}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}} + 10}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 10 = 2 - x \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = - 8 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 8}}{5}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Phương trình \[{4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}\] có nghiệm là:

Xem đáp án
\[{4^{2{\rm{x}} + 5}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}} + 10}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 10 = 2 - x \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = - 8 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 8}}{5}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 3:

Tổng các nghiệm của phương trình \[{3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81\]

Xem đáp án

\[{3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\]

Tổng các nghiệm sẽ bằng 0.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 4:

Tổng các nghiệm của phương trình \[{3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81\]

Xem đáp án

\[{3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\]

Tổng các nghiệm sẽ bằng 0.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 5:

Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]

Xem đáp án

\[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^3}{.3^{ - x}} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^{3 - x}} \Leftrightarrow 2x - 6 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 6:

Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]

Xem đáp án

\[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^3}{.3^{ - x}} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^{3 - x}} \Leftrightarrow 2x - 6 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 7:

Tìm nghiệm của phương trình \[{9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}\]

Xem đáp án

\[{e^{\ln 81}} = 81 = {9^2}\]

Điều kiện:\[x \ge 1\]

Suy ra\[\sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 8:

Tìm nghiệm của phương trình \[{9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}\]

Xem đáp án

\[{e^{\ln 81}} = 81 = {9^2}\]

Điều kiện:\[x \ge 1\]

Suy ra\[\sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Giải phương trình \[{4^x} = {8^{x - 1}}\]

Xem đáp án

\[{4^x} = {8^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{3\left( {x - 1} \right)}} \Leftrightarrow 2x = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = 3\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 10:

Giải phương trình \[{4^x} = {8^{x - 1}}\]

Xem đáp án

\[{4^x} = {8^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{3\left( {x - 1} \right)}} \Leftrightarrow 2x = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = 3\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 11:

Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \[{2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2}\].

Xem đáp án
\[{2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 12:

Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \[{2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2}\].

Xem đáp án
\[{2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 13:

Tìm giá trị của a để phương trình \[{(2 + \sqrt 3 )^x} + (1 - a){(2 - \sqrt 3 )^x} - 4 = 0\;\]có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:\[{x_1} - {x_2} = lo{g_{2 + \sqrt 3 }}3\], ta có a thuộc khoảng:

Xem đáp án

Ta có \[{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}\]

Đặt\[t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}\left( {t > 0} \right)\] phương trình đã cho trở thành

\[t + \frac{{1 - a}}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 - a = 0\]

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta = 3 + a > 0}\\{{t_1} + {t_2} = 4 > 0}\\{{t_1}{t_2} = 1 - a > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 3 < a < 1\)

Ta có

\[{x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x_1} - {x_2}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_1}}}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_2}}}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = 3\]

Vì\[{t_1} + {t_2} = 4\] nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t=3 và t=1.Khi đó\[1--a = 3.1 = 3 \Leftrightarrow a = --2\]

Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 14:

Tìm giá trị của a để phương trình \[{(2 + \sqrt 3 )^x} + (1 - a){(2 - \sqrt 3 )^x} - 4 = 0\;\]có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:\[{x_1} - {x_2} = lo{g_{2 + \sqrt 3 }}3\], ta có a thuộc khoảng:

Xem đáp án

Ta có \[{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}\]

Đặt\[t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}\left( {t > 0} \right)\] phương trình đã cho trở thành

\[t + \frac{{1 - a}}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 - a = 0\]

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta = 3 + a > 0}\\{{t_1} + {t_2} = 4 > 0}\\{{t_1}{t_2} = 1 - a > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 3 < a < 1\)

Ta có

\[{x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x_1} - {x_2}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_1}}}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_2}}}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = 3\]

Vì\[{t_1} + {t_2} = 4\] nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t=3 và t=1.Khi đó\[1--a = 3.1 = 3 \Leftrightarrow a = --2\]

Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 15:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình\[{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\] 

Xem đáp án

\[\begin{array}{l}{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4 - 13.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} = 1}\\{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} = \frac{4}{9}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow T = 0 + 2 = 2\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 16:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình\[{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\] 

Xem đáp án

\[\begin{array}{l}{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4 - 13.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} = 1}\\{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} = \frac{4}{9}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow T = 0 + 2 = 2\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 17:

Tìm tập nghiệm S của phương trình: \[{4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272\]

Xem đáp án
Thử lần lượt từng đáp án ta thấy x=3 là nghiệm của phương trình

Đáp án cần chọn là: B


Câu 18:

Tìm tập nghiệm S của phương trình: \[{4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272\]

Xem đáp án
Thử lần lượt từng đáp án ta thấy x=3 là nghiệm của phương trình

Đáp án cần chọn là: B


Câu 19:

Giải phương trình \[\sqrt {{3^x} + 6} = {3^x}\]có tập nghiệm bằng:

Xem đáp án

Đặt

\[t = {3^x},t > 0 \Rightarrow \sqrt {t + 6} = t \to t + 6 = {t^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 2\left( l \right)}\\{t = 3}\end{array}} \right.\]

\[t = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Rightarrow x = 1\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 20:

Giải phương trình \[\sqrt {{3^x} + 6} = {3^x}\]có tập nghiệm bằng:

Xem đáp án

Đặt

\[t = {3^x},t > 0 \Rightarrow \sqrt {t + 6} = t \to t + 6 = {t^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 2\left( l \right)}\\{t = 3}\end{array}} \right.\]

\[t = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Rightarrow x = 1\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 21:

Tìm tích các nghiệm của phương trình \[{(\sqrt 2 - 1)^x} + {(\sqrt 2 + 1)^x} - 2\sqrt 2 = 0\]

Xem đáp án

Đặt\[t = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}\left( {t > 0} \right)\] phương trình có dạng

\[t + \frac{1}{t} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \sqrt 2 + 1\left( {tm} \right)}\\{t = \sqrt 2 - 1\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\]

Khi đó

\[\begin{array}{*{20}{l}}{t = \sqrt 2 + 1 \Rightarrow x = - 1}\\{t = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow x = 1}\end{array}\]

Suy ra tích các nghiệm bằng −1.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 22:

Tìm tích các nghiệm của phương trình \[{(\sqrt 2 - 1)^x} + {(\sqrt 2 + 1)^x} - 2\sqrt 2 = 0\]

Xem đáp án

Đặt\[t = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}\left( {t > 0} \right)\] phương trình có dạng

\[t + \frac{1}{t} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \sqrt 2 + 1\left( {tm} \right)}\\{t = \sqrt 2 - 1\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\]

Khi đó

\[\begin{array}{*{20}{l}}{t = \sqrt 2 + 1 \Rightarrow x = - 1}\\{t = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow x = 1}\end{array}\]

Suy ra tích các nghiệm bằng −1.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 23:

Tìm m để phương trình \[{4^x} - \;{2^{x\; + \;3}} + \;3\; = \;m\;\] có đúng 2 nghiệm \[x \in \left( {1;3} \right)\;\].

Xem đáp án

Đặt \[t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)\]

Xét hàm số\[y = {t^2} - 8t + 3\]  trên (2;8) có:

\[y' = 2t - 8;y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in (2;8)\]

Bảng biến thiên:

Tìm m để phương trình  (ảnh 1)

Căn cứ bảng biến thiên:

Phương trình \[{4^x} - {\rm{\;}}{2^{x{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}} = {\rm{\;}}m\] có đúng 2 nghiệm \[x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow - 13 < m < - 9\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 24:

Tìm m để phương trình \[{4^x} - \;{2^{x\; + \;3}} + \;3\; = \;m\;\] có đúng 2 nghiệm \[x \in \left( {1;3} \right)\;\].

Xem đáp án

Đặt \[t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)\]

Xét hàm số\[y = {t^2} - 8t + 3\]  trên (2;8) có:

\[y' = 2t - 8;y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in (2;8)\]

Bảng biến thiên:

Tìm m để phương trình  (ảnh 1)

Căn cứ bảng biến thiên:

Phương trình \[{4^x} - {\rm{\;}}{2^{x{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}} = {\rm{\;}}m\] có đúng 2 nghiệm \[x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow - 13 < m < - 9\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 25:

Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình \[{4^{{x^2} - 2x + 1}} - m{.2^{{x^2} - 2x + 2}} + 3m - 2 = 0\;\]có 4 nghiệm phân biệt.

Xem đáp án

Đặt \[t = {2^{{x^2} - 2x + 1}} \ge 1\]phương trình đã cho trở thành\[{t^2} - 2mt + 3m - 2 = 0\left( * \right)\]

Với t=1 ta tìm được 1 giá trị của x

Với t>1 ta tìm được 2 giá trị của x

Do đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime = {m^2} - (3m - 2) > 0}\\{({t_1} - 1) + ({t_2} - 1) > 0}\\{({t_1} - 1)({t_2} - 1) > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - (3m - 2) > 0}\\{{t_1} + {t_2} > 2}\\{{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 3m + 2 > 0}\\{2m > 2}\\{3m - 2 - 2m + 1 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 2}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\\{m > 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m > 2\)</>

Đáp án cần chọn là: D


Câu 26:

Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình \[{4^{{x^2} - 2x + 1}} - m{.2^{{x^2} - 2x + 2}} + 3m - 2 = 0\;\]có 4 nghiệm phân biệt.

Xem đáp án

Đặt \[t = {2^{{x^2} - 2x + 1}} \ge 1\]phương trình đã cho trở thành\[{t^2} - 2mt + 3m - 2 = 0\left( * \right)\]

Với t=1 ta tìm được 1 giá trị của x

Với t>1 ta tìm được 2 giá trị của x

Do đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime = {m^2} - (3m - 2) > 0}\\{({t_1} - 1) + ({t_2} - 1) > 0}\\{({t_1} - 1)({t_2} - 1) > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - (3m - 2) > 0}\\{{t_1} + {t_2} > 2}\\{{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 3m + 2 > 0}\\{2m > 2}\\{3m - 2 - 2m + 1 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 2}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\\{m > 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m > 2\)</>

Đáp án cần chọn là: D


Câu 27:

Các giá trị thực của tham số m để phương trình : \[{12^x} + (4 - m){.3^x} - m = 0\;\] có nghiệm thuộc khoảng (−1;0) là:

Xem đáp án

- Từ các đáp án đã cho, ta thấy giá trị m=2 không thuộc đáp án C nên ta thử m=2 có thỏa mãn bài toán hay không sẽ loại được đáp án. 

Thử với m=2 ta được phương trình : \[{12^x} + {2.3^x} - 2 = 0;f( - 1) = \frac{{ - 5}}{4};f(0) = 1\]

\[ \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0\]

Do đó, phương trình có nghiệm trong khoảng (−1;0), mà đáp án C không chứa m=2 nên loại C.

- Lại có giá trị m=3 thuộc đáp án C nhưng không thuộc hai đáp án A và D nên nếu kiểm tra m=3 ta có thể loại tiếp được đáp án.

Thử với m=3 ta được phương trình : \[{12^x} + {3^x} - 3 = 0;f( - 1) = \frac{{ - 31}}{{12}};f(0) = - 1\]

\[ \Rightarrow f(0).f( - 1) > 0\]

Mà hàm số này đồng biến khi m=3 nên\[f(x) < 0,\forall x \in ( - 1;0)\]suy ra phương trình f(x)=0 sẽ không có nghiệm trong (−1;0), loại B.

- Cuối cùng, ta thấy giá trị m=1 thuộc đáp án A và không thuộc đáp án D nên ta sẽ thử m=1 để loại đáp án.

Thử với m=1 ta được phương trình :\[{12^x} + {3.3^x} - 1 = 0;f( - 1) = \frac{{ - 11}}{{12}};\,f(0) = 3 \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0\]

Do đó phương trình f(x)=0 sẽ có nghiệm trong (−1;0) nên loại D và chọn A.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 28:

Các giá trị thực của tham số m để phương trình : \[{12^x} + (4 - m){.3^x} - m = 0\;\] có nghiệm thuộc khoảng (−1;0) là:

Xem đáp án

- Từ các đáp án đã cho, ta thấy giá trị m=2 không thuộc đáp án C nên ta thử m=2 có thỏa mãn bài toán hay không sẽ loại được đáp án. 

Thử với m=2 ta được phương trình : \[{12^x} + {2.3^x} - 2 = 0;f( - 1) = \frac{{ - 5}}{4};f(0) = 1\]

\[ \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0\]

Do đó, phương trình có nghiệm trong khoảng (−1;0), mà đáp án C không chứa m=2 nên loại C.

- Lại có giá trị m=3 thuộc đáp án C nhưng không thuộc hai đáp án A và D nên nếu kiểm tra m=3 ta có thể loại tiếp được đáp án.

Thử với m=3 ta được phương trình : \[{12^x} + {3^x} - 3 = 0;f( - 1) = \frac{{ - 31}}{{12}};f(0) = - 1\]

\[ \Rightarrow f(0).f( - 1) > 0\]

Mà hàm số này đồng biến khi m=3 nên\[f(x) < 0,\forall x \in ( - 1;0)\]suy ra phương trình f(x)=0 sẽ không có nghiệm trong (−1;0), loại B.

- Cuối cùng, ta thấy giá trị m=1 thuộc đáp án A và không thuộc đáp án D nên ta sẽ thử m=1 để loại đáp án.

Thử với m=1 ta được phương trình :\[{12^x} + {3.3^x} - 1 = 0;f( - 1) = \frac{{ - 11}}{{12}};\,f(0) = 3 \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0\]

Do đó phương trình f(x)=0 sẽ có nghiệm trong (−1;0) nên loại D và chọn A.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 29:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: \[{9^{1 - x}} + 2(m - 1){3^{1 - x}} + 1 = 0\]

Xem đáp án

Thử với m=−1 ta được phương trình:

\[{\left( {{3^{1 - x}}} \right)^2} - {4.3^{1 - x}} + 1 = 0\] phải có 2 nghiệm \[{3^{1 - x}}\] đều dương và 2 nghiệm đó là\[2 - \sqrt 3 \] và \[2 + \sqrt 3 \]

Vậy m=−1 thỏa mãn nên ta loại được A; B; D

Đáp án cần chọn là: C


Câu 30:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: \[{9^{1 - x}} + 2(m - 1){3^{1 - x}} + 1 = 0\]

Xem đáp án

Thử với m=−1 ta được phương trình:

\[{\left( {{3^{1 - x}}} \right)^2} - {4.3^{1 - x}} + 1 = 0\] phải có 2 nghiệm \[{3^{1 - x}}\] đều dương và 2 nghiệm đó là\[2 - \sqrt 3 \] và \[2 + \sqrt 3 \]

Vậy m=−1 thỏa mãn nên ta loại được A; B; D

Đáp án cần chọn là: C


Câu 31:

Tìm giá trị m để phương trình \[{2^{|x - 1| + 1}} + {2^{|x - 1|}} + m = 0\] có nghiệm duy nhất

Xem đáp án

Đặt \[\left| {x - 1} \right| = a\] khi đó phương trình trở thành\[{2^{a + 1}} + {2^a} + m = 0\](1)

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì pt (1) bắt buộc phải có nghiệm duy nhất a=0 ( vì nếu a>0 thì sẽ tồn tại 2 giá trị của x)

Nên \[{2^1} + {2^0} + m = 0\]. Suy ra m=−3

Đáp án cần chọn là: C


Câu 32:

Tìm giá trị m để phương trình \[{2^{|x - 1| + 1}} + {2^{|x - 1|}} + m = 0\] có nghiệm duy nhất

Xem đáp án

Đặt \[\left| {x - 1} \right| = a\] khi đó phương trình trở thành\[{2^{a + 1}} + {2^a} + m = 0\](1)

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì pt (1) bắt buộc phải có nghiệm duy nhất a=0 ( vì nếu a>0 thì sẽ tồn tại 2 giá trị của x)

Nên \[{2^1} + {2^0} + m = 0\]. Suy ra m=−3

Đáp án cần chọn là: C


Câu 33:

Cho số thực x thỏa mãn \[2 = {5^{lo{g_3}x}}\;\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

\[2 = {5^{{{\log }_3}x}} \Leftrightarrow {\log _5}2 = {\log _3}x \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}} = {\log _5}2\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}2}} = {\log _5}3 \Leftrightarrow {\log _5}3 = {\log _2}x \Leftrightarrow {\log _3}5 = {\log _x}2\]

Suy ra \[2 = {x^{{{\log }_3}5}}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 34:

Cho số thực x thỏa mãn \[2 = {5^{lo{g_3}x}}\;\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

\[2 = {5^{{{\log }_3}x}} \Leftrightarrow {\log _5}2 = {\log _3}x \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}} = {\log _5}2\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}2}} = {\log _5}3 \Leftrightarrow {\log _5}3 = {\log _2}x \Leftrightarrow {\log _3}5 = {\log _x}2\]

Suy ra \[2 = {x^{{{\log }_3}5}}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 35:

Biết phương trình \[{9^x} - {2^{x + \frac{1}{2}}} = {2^{x + \frac{3}{2}}} - {3^{2x - 1}}\]có nghiệm là a. Tính giá trị của biểu thức \[P = a + \frac{1}{2}lo{g_{\frac{9}{2}}}2\;\].

Xem đáp án

Phương trình trên tương đương với

\[{3^{2x - 2}} = {2^{x - \frac{3}{2}}} \Leftrightarrow {9^{x - 1}} = {2^{x - 1}}{.2^{\frac{{ - 1}}{2}}} \Leftrightarrow {(\frac{9}{2})^{x - 1}} = {2^{\frac{{ - 1}}{2}}}\]

\[ \Leftrightarrow x - 1 = {\log _{\frac{9}{2}}}{2^{\frac{{ - 1}}{2}}} \Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2\]

Suy ra \[x + \frac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2 = 1\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 36:

Biết phương trình \[{9^x} - {2^{x + \frac{1}{2}}} = {2^{x + \frac{3}{2}}} - {3^{2x - 1}}\]có nghiệm là a. Tính giá trị của biểu thức \[P = a + \frac{1}{2}lo{g_{\frac{9}{2}}}2\;\].

Xem đáp án

Phương trình trên tương đương với

\[{3^{2x - 2}} = {2^{x - \frac{3}{2}}} \Leftrightarrow {9^{x - 1}} = {2^{x - 1}}{.2^{\frac{{ - 1}}{2}}} \Leftrightarrow {(\frac{9}{2})^{x - 1}} = {2^{\frac{{ - 1}}{2}}}\]

\[ \Leftrightarrow x - 1 = {\log _{\frac{9}{2}}}{2^{\frac{{ - 1}}{2}}} \Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2\]

Suy ra \[x + \frac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2 = 1\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 37:

Biết rằng phương trình \[{2^{{x^2} - 1}} = {3^{x + 1}}\]có hai nghiệm là a và b.  Khi đó a+b+ab có giá trị bằng

Xem đáp án

Lấy ln hai vế ta được:

\[({x^2} - 1)ln2 = (x + 1)ln3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{(x - 1)ln2 = ln3}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x - 1 = \frac{{ln3}}{{ln2}} = lo{g_2}3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 1 + lo{g_2}3}\end{array}} \right.\)

Nếu\[a = - 1;b = 1 + lo{g_2}3 \Rightarrow a + b + ab = \; - 1\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 38:

Biết rằng phương trình \[{2^{{x^2} - 1}} = {3^{x + 1}}\]có hai nghiệm là a và b.  Khi đó a+b+ab có giá trị bằng

Xem đáp án

Lấy ln hai vế ta được:

\[({x^2} - 1)ln2 = (x + 1)ln3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{(x - 1)ln2 = ln3}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x - 1 = \frac{{ln3}}{{ln2}} = lo{g_2}3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 1 + lo{g_2}3}\end{array}} \right.\)

Nếu\[a = - 1;b = 1 + lo{g_2}3 \Rightarrow a + b + ab = \; - 1\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 39:

Tìm các giá trị m để phương trình \[{2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3\;}}\]luôn thỏa, \[\forall x \in R\].

Xem đáp án

\[{2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2^{x + 1 + 1}} - {2^{x + 1 + 2}}\]

\[ \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2.2^{x + 1}} - {2^2}{.2^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = (2m - 4){2^{x + 1}}\]

\[ \Leftrightarrow 2m - 4 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 40:

Tìm các giá trị m để phương trình \[{2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3\;}}\]luôn thỏa, \[\forall x \in R\].

Xem đáp án

\[{2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2^{x + 1 + 1}} - {2^{x + 1 + 2}}\]

\[ \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2.2^{x + 1}} - {2^2}{.2^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = (2m - 4){2^{x + 1}}\]

\[ \Leftrightarrow 2m - 4 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 41:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0\] là

Xem đáp án

\[{4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {({2^{{x^2}}})^2} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow ({2^{{x^2}}} - 4)({2^{{x^2}}} - 1) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{{x^2}}} = 4}\\{{2^{{x^2}}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 2}\\{{x^2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \sqrt 2 }\\{x = 0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 42:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0\] là

Xem đáp án

\[{4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {({2^{{x^2}}})^2} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow ({2^{{x^2}}} - 4)({2^{{x^2}}} - 1) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{{x^2}}} = 4}\\{{2^{{x^2}}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 2}\\{{x^2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \sqrt 2 }\\{x = 0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 43:

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?

Xem đáp án

Ý A: Điều kiện x > 0. Có \[{x^{\frac{2}{3}}} + 5 > 0,\forall x > 0\] nên phương trình vô nghiệm

Ý B: Điều kiện x > 4. Có \[{\left( {3x} \right)^{\frac{1}{3}}} + {\left( {x - 4} \right)^{\frac{2}{3}}} > 0,\forall x > 4\] nên phương trình vô nghiệm

Ý C: Điều kiện \[x \ge 2\]. Có \[\sqrt {4x - 8} + 2 > 0,\forall x \ge 2\]nên phương trình vô nghiệm

Ý D: Điều kiện x > 0. Có \[2{x^{\frac{1}{2}}} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{3}{2}\] (thỏa mãn)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 44:

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?

Xem đáp án

Ý A: Điều kiện x > 0. Có \[{x^{\frac{2}{3}}} + 5 > 0,\forall x > 0\] nên phương trình vô nghiệm

Ý B: Điều kiện x > 4. Có \[{\left( {3x} \right)^{\frac{1}{3}}} + {\left( {x - 4} \right)^{\frac{2}{3}}} > 0,\forall x > 4\] nên phương trình vô nghiệm

Ý C: Điều kiện \[x \ge 2\]. Có \[\sqrt {4x - 8} + 2 > 0,\forall x \ge 2\]nên phương trình vô nghiệm

Ý D: Điều kiện x > 0. Có \[2{x^{\frac{1}{2}}} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{3}{2}\] (thỏa mãn)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 45:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\]là:

Xem đáp án

Điều kiện : \[x \ne 0\]

Với x<0  ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{{4x}} < 0}\\{\frac{x}{4} + \frac{1}{x} < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} < 1}\\{{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 2\)

⇒ Phương trình không có nghiệm x<0

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 1}\\{\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \ge 2}\\{{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 2}\end{array}} \right. \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{{4x}}}\\{\frac{x}{4} = \frac{1}{x}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} = 1}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = \frac{1}{4}}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right.\)(không xảy ra)

Vậy \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} > 4\]nên phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: D


Câu 46:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\]là:

Xem đáp án

Điều kiện : \[x \ne 0\]

Với x<0  ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{{4x}} < 0}\\{\frac{x}{4} + \frac{1}{x} < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} < 1}\\{{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 2\)

⇒ Phương trình không có nghiệm x<0

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 1}\\{\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \ge 2}\\{{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 2}\end{array}} \right. \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{{4x}}}\\{\frac{x}{4} = \frac{1}{x}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} = 1}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = \frac{1}{4}}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right.\)(không xảy ra)

Vậy \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} > 4\]nên phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: D


Câu 47:

Phương trình  \[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}\]có tổng các nghiệm bằng

Xem đáp án

\[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow x{.2^{x - 1}} - {4.2^{x - 1}} + 4x - {x^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 4)({2^{x - 1}} - x) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{{2^{x - 1}} - x = 0( * )}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số \[f\left( x \right) = {2^{x - 1}} - x\] trên\(\mathbb{R}\). Ta có

\[f'\left( x \right) = {2^{x - 1}}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 1 + {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\]

\[f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < {x_0};f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > {x_0}\]</>

nên phương trình\[f(x) = 0\]có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng\[\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\]và\[\left( {{x_0}; + \infty } \right)\]

Mà \[f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\]nên phương trình (*) có 2 nghiệm x=1 và x=2

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 48:

Phương trình  \[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}\]có tổng các nghiệm bằng

Xem đáp án

\[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow x{.2^{x - 1}} - {4.2^{x - 1}} + 4x - {x^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 4)({2^{x - 1}} - x) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{{2^{x - 1}} - x = 0( * )}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số \[f\left( x \right) = {2^{x - 1}} - x\] trên\(\mathbb{R}\). Ta có

\[f'\left( x \right) = {2^{x - 1}}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 1 + {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\]

\[f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < {x_0};f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > {x_0}\]</>

nên phương trình\[f(x) = 0\]có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng\[\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\]và\[\left( {{x_0}; + \infty } \right)\]

Mà \[f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\]nên phương trình (*) có 2 nghiệm x=1 và x=2

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 49:

Cho aa là số thực dương, khác 1 và thỏa mãn \[\frac{1}{2}({a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}) = 1\;\]. Tìm \[\alpha \]

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có . 

Dấu "=" xảy ra khi \[{a^\alpha } = {a^{ - \alpha }}\]. Điều này dẫn đến \[\alpha = - \alpha \Rightarrow \alpha = 0\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 50:

Cho aa là số thực dương, khác 1 và thỏa mãn \[\frac{1}{2}({a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}) = 1\;\]. Tìm \[\alpha \]

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có . 

Dấu "=" xảy ra khi \[{a^\alpha } = {a^{ - \alpha }}\]. Điều này dẫn đến \[\alpha = - \alpha \Rightarrow \alpha = 0\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 51:

Phương trình \[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x\] có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây:

Xem đáp án

\[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x \Leftrightarrow {2^{23{x^3} + x}} + 23{x^3} + x = {2^{10{x^2}}} + 10{x^2}\]

Xét hàm số\[f(t) = {2^t} + t;f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t\]

\[ \Rightarrow f(23{x^3} + x) = f(10{x^2}) \Leftrightarrow 23{x^3} + x = 10{x^2} \Leftrightarrow x(23{x^2} - 10x + 1) = 0\]

Theo vi-et cho phương trình bậc 3 ta có \[{x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} = \frac{{10}}{{23}} \approx 0,45\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 52:

Phương trình \[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x\] có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây:

Xem đáp án

\[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x \Leftrightarrow {2^{23{x^3} + x}} + 23{x^3} + x = {2^{10{x^2}}} + 10{x^2}\]

Xét hàm số\[f(t) = {2^t} + t;f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t\]

\[ \Rightarrow f(23{x^3} + x) = f(10{x^2}) \Leftrightarrow 23{x^3} + x = 10{x^2} \Leftrightarrow x(23{x^2} - 10x + 1) = 0\]

Theo vi-et cho phương trình bậc 3 ta có \[{x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} = \frac{{10}}{{23}} \approx 0,45\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 53:

Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất \[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\].

Xem đáp án

Ta có:

\[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) + \left( {{x^2} - mx - 1} \right)} \right]{.2^{ - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} + {x^2} - {m^2}x - 1\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2} - {m^2}x - 1}\\{v = {x^2} - mx - 1}\end{array}} \right.\) Phương trình trở thành:

\[\left( {u + v} \right){.2^{ - v}} = v{.2^{u - v}} + u \Leftrightarrow u\left( {{2^{ - v}} - 1} \right) = v{2^{ - v}}\left( {{2^u} - 1} \right)\left( * \right)\]

+) Dễ dàng kiểm tra u=0 hoặc v=0 là nghiệm của (*)

+) Với \[u,v \ne 0,\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^{ - v}} - 1}}{{v{2^{ - v}}}} = \frac{{{2^u} - 1}}{u}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} = \frac{{1 - {2^v}}}{v}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0\]

Xét hàm\[f\left( t \right) = \frac{{{2^t} - 1}}{t}\] trên\[\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\] ta thấy:

+) Với t>0 thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} - 1 > 0}\\{t > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\)

+) Với t<0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} - 1 < 0}\\{t < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\)</0 thì>

Do đó \[f\left( t \right) > 0\] với mọi \[t \ne 0\]

\[ \Rightarrow f\left( u \right) > 0,f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0\]

\[ \Rightarrow f\left( u \right) + f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0\]

\[ \Rightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} > 0,\forall u,v \ne 0\]

Do đó phương trình\[\frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0\] vô nghiệm.

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 0}\\{v = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - {m^2}x - 1 = 0(1)}\\{{x^2} - mx - 1 = 0(2)}\end{array}} \right.\)

Hai phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, tổng hai nghiệm ở mỗi phương trình là:

\[{S_1} = {m^2},\,{S_2} = m \Rightarrow S = {m^2} + m \ge - \frac{1}{4}\]

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho nhỏ nhất là \[ - \frac{1}{4}\]  khi \[m = - \frac{1}{2}\]Đáp án cần chọn là: C


Câu 54:

Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất \[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\].

Xem đáp án

Ta có:

\[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) + \left( {{x^2} - mx - 1} \right)} \right]{.2^{ - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} + {x^2} - {m^2}x - 1\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2} - {m^2}x - 1}\\{v = {x^2} - mx - 1}\end{array}} \right.\) Phương trình trở thành:

\[\left( {u + v} \right){.2^{ - v}} = v{.2^{u - v}} + u \Leftrightarrow u\left( {{2^{ - v}} - 1} \right) = v{2^{ - v}}\left( {{2^u} - 1} \right)\left( * \right)\]

+) Dễ dàng kiểm tra u=0 hoặc v=0 là nghiệm của (*)

+) Với \[u,v \ne 0,\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^{ - v}} - 1}}{{v{2^{ - v}}}} = \frac{{{2^u} - 1}}{u}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} = \frac{{1 - {2^v}}}{v}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0\]

Xét hàm\[f\left( t \right) = \frac{{{2^t} - 1}}{t}\] trên\[\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\] ta thấy:

+) Với t>0 thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} - 1 > 0}\\{t > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\)

+) Với t<0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} - 1 < 0}\\{t < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\)</0 thì>

Do đó \[f\left( t \right) > 0\] với mọi \[t \ne 0\]

\[ \Rightarrow f\left( u \right) > 0,f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0\]

\[ \Rightarrow f\left( u \right) + f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0\]

\[ \Rightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} > 0,\forall u,v \ne 0\]

Do đó phương trình\[\frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0\] vô nghiệm.

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 0}\\{v = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - {m^2}x - 1 = 0(1)}\\{{x^2} - mx - 1 = 0(2)}\end{array}} \right.\)

Hai phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, tổng hai nghiệm ở mỗi phương trình là:

\[{S_1} = {m^2},\,{S_2} = m \Rightarrow S = {m^2} + m \ge - \frac{1}{4}\]

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho nhỏ nhất là \[ - \frac{1}{4}\]  khi \[m = - \frac{1}{2}\]Đáp án cần chọn là: C


Câu 55:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sauBiết f(0)=76, giá trị lớn nhất của mm để phương trình  (ảnh 1)

Biết f(0)=76, giá trị lớn nhất của mm để phương trình \[{e^{2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}}} = m\] có nghiệm trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\;\]là

Xem đáp án

Ta có:

\[{e^{2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}}} = m \Leftrightarrow 2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2} = \ln m\]

Xét \[g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}\]có:

\[g'\left( x \right) = 6{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 13f\left( x \right)f'\left( x \right) + 7f'\left( x \right) = f'\left( x \right)\left[ {6{f^2}\left( x \right) - 13f\left( x \right) + 7} \right]\]

Suy ra

\[g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime (x) = 0}\\{6{f^2}(x) - 13f(x) + 7 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime (x) = 0}\\{f(x) = 1}\\{f(x) = \frac{7}{6}}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1;x = 3}\\{x = 1,x = {x_1} > 3}\\{x = {x_2} < 1}\end{array}} \right.\)

Xét g(x) trên đoạn \[[0;2].\]

+ Trong khoảng (0;1) thì\[f'\left( x \right) < 0,f\left( x \right) > 1,f\left( x \right) < f(0) = \frac{7}{6}\]nên\[f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - \frac{7}{6}} \right) > 0\]hay\[g'\left( x \right) > 0\]</></>

+ Trong khoảng (1;2) thì \[f'\left( x \right) > 0,f\left( x \right) > 1,f\left( x \right) < \frac{{15}}{{13}} < \frac{7}{6}\]nên\[f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - \frac{7}{6}} \right) < 0\]hay \[g'\left( x \right) < 0\]

Từ đó ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sauBiết f(0)=76, giá trị lớn nhất của mm để phương trình  (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta thấy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = 4\]

Vậy yêu cầu bài toán thỏa nếu và chỉ nếu\[\ln m \le 4 \Leftrightarrow m \le {e^4}\]hay giá trị lớn nhất của m là \[m = {e^4}\].

Đáp án cần chọn là: A


Câu 56:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sauBiết f(0)=76, giá trị lớn nhất của mm để phương trình  (ảnh 1)

Biết f(0)=76, giá trị lớn nhất của mm để phương trình \[{e^{2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}}} = m\] có nghiệm trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\;\]là

Xem đáp án

Ta có:

\[{e^{2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}}} = m \Leftrightarrow 2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2} = \ln m\]

Xét \[g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}\]có:

\[g'\left( x \right) = 6{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 13f\left( x \right)f'\left( x \right) + 7f'\left( x \right) = f'\left( x \right)\left[ {6{f^2}\left( x \right) - 13f\left( x \right) + 7} \right]\]

Suy ra

\[g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime (x) = 0}\\{6{f^2}(x) - 13f(x) + 7 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime (x) = 0}\\{f(x) = 1}\\{f(x) = \frac{7}{6}}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1;x = 3}\\{x = 1,x = {x_1} > 3}\\{x = {x_2} < 1}\end{array}} \right.\)

Xét g(x) trên đoạn \[[0;2].\]

+ Trong khoảng (0;1) thì\[f'\left( x \right) < 0,f\left( x \right) > 1,f\left( x \right) < f(0) = \frac{7}{6}\]nên\[f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - \frac{7}{6}} \right) > 0\]hay\[g'\left( x \right) > 0\]</></>

+ Trong khoảng (1;2) thì \[f'\left( x \right) > 0,f\left( x \right) > 1,f\left( x \right) < \frac{{15}}{{13}} < \frac{7}{6}\]nên\[f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - \frac{7}{6}} \right) < 0\]hay \[g'\left( x \right) < 0\]

Từ đó ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sauBiết f(0)=76, giá trị lớn nhất của mm để phương trình  (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta thấy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = 4\]

Vậy yêu cầu bài toán thỏa nếu và chỉ nếu\[\ln m \le 4 \Leftrightarrow m \le {e^4}\]hay giá trị lớn nhất của m là \[m = {e^4}\].

Đáp án cần chọn là: A


Câu 57:

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn \[{5^x} + {25^y} + {125^z} = 2020\]. Giá trị nhỏ nhất của biếu thức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là

Xem đáp án

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {5^x}}\\{b = {5^{2y}}}\\{c = {5^{3z}}}\end{array}} \right.\)  với\[x,\,\,y,\,\,z \ge 0\]  thì\[a,\,\,b,\,\,c \ge 1\]

Theo bài ra ta có\[a + b + c = 2020 \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 2018\]

Ta có:

\[(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow (ab - a - b + 1)(c - 1) \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow abc + (a + b + c) - (ab + bc + ca) - 1 \ge 0(1)\]

\[(a - 2018)(b - 2018)(c - 2018) \le 0\]

\[ \Leftrightarrow (ab - 2018(a + b) + 20182)(c - 2018) \le 0\]

\[ \Leftrightarrow abc + {2018^2}(a + b + c) - 2018(ab + bc + ca) - {2018^3} \le 0(2)\]

Lấy (1) nhân với 2018 rồi trừ đi (2) ta được:

\[2017abc + (2018 - {2018^2})(a + b + c) - 2018 + {2018^3} \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow 2017abc + 2018(1 - 2018)(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow 2017abc - 2017.2018.(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018.2020 + {2018^3} - 2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} + 2018({2018^2} - 2017.2020 - 1) \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} \ge 2018\]

\[ \Leftrightarrow {5^{x + 2y + 3z}} \ge 2018\]

\[ \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge lo{g_5}2018\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]

\[ \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu tức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là\[\frac{1}{6}{\log _5}2018\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 58:

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn \[{5^x} + {25^y} + {125^z} = 2020\]. Giá trị nhỏ nhất của biếu thức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là

Xem đáp án

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {5^x}}\\{b = {5^{2y}}}\\{c = {5^{3z}}}\end{array}} \right.\)  với\[x,\,\,y,\,\,z \ge 0\]  thì\[a,\,\,b,\,\,c \ge 1\]

Theo bài ra ta có\[a + b + c = 2020 \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 2018\]

Ta có:

\[(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow (ab - a - b + 1)(c - 1) \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow abc + (a + b + c) - (ab + bc + ca) - 1 \ge 0(1)\]

\[(a - 2018)(b - 2018)(c - 2018) \le 0\]

\[ \Leftrightarrow (ab - 2018(a + b) + 20182)(c - 2018) \le 0\]

\[ \Leftrightarrow abc + {2018^2}(a + b + c) - 2018(ab + bc + ca) - {2018^3} \le 0(2)\]

Lấy (1) nhân với 2018 rồi trừ đi (2) ta được:

\[2017abc + (2018 - {2018^2})(a + b + c) - 2018 + {2018^3} \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow 2017abc + 2018(1 - 2018)(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow 2017abc - 2017.2018.(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018.2020 + {2018^3} - 2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} + 2018({2018^2} - 2017.2020 - 1) \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2018 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} \ge 2018\]

\[ \Leftrightarrow {5^{x + 2y + 3z}} \ge 2018\]

\[ \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge lo{g_5}2018\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]

\[ \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu tức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là\[\frac{1}{6}{\log _5}2018\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 59:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \[{16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\]có nghiệm dương?

Xem đáp án

Ta có\[{16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\] (1)

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + m - 2 = 0\] chia cả hai vế cho\[{9^x}\]

Đặt\[{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = t \Rightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}t > 0 \Leftrightarrow t > 1\]

Khi đó ta có phương trình \[{t^2} - 2t + m - 2 = 0\left( * \right)\]

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1.

(*) có nghiệm\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = 1 - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\]

Với \[m \le 3\] thì (∗) có nghiệm \[{t_1} = 1 - \sqrt {3 - m} ,{t_2} = 1 + \sqrt {3 - m} \]

Để (*) có nghiệm lớn hơn 1 thì

\[1 + \sqrt {3 - m} > 1 \Leftrightarrow \sqrt {3 - m} > 0 \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\]

Mà m nguyên dương nên \[m \in \left\{ {1;2} \right\}\]Vậy có 2 giá trị của mm thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 60:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \[{16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\]có nghiệm dương?

Xem đáp án

Ta có\[{16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\] (1)

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + m - 2 = 0\] chia cả hai vế cho\[{9^x}\]

Đặt\[{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = t \Rightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}t > 0 \Leftrightarrow t > 1\]

Khi đó ta có phương trình \[{t^2} - 2t + m - 2 = 0\left( * \right)\]

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1.

(*) có nghiệm\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = 1 - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\]

Với \[m \le 3\] thì (∗) có nghiệm \[{t_1} = 1 - \sqrt {3 - m} ,{t_2} = 1 + \sqrt {3 - m} \]

Để (*) có nghiệm lớn hơn 1 thì

\[1 + \sqrt {3 - m} > 1 \Leftrightarrow \sqrt {3 - m} > 0 \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\]

Mà m nguyên dương nên \[m \in \left\{ {1;2} \right\}\]Vậy có 2 giá trị của mm thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 61:

Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{4^x} + {4^{ - x}} = 7}\\{{4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 9}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{2^x}} \right)}^2} + {{\left( {{2^{ - x}}} \right)}^2} + {{2.2}^x}{{.2}^{ - x}} = 9}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}^2} = 9}\\{ \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3}\end{array}\]

(do \[{2^x} + {2^{ - x}} > 0\])

Vậy

\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}}}\\{\,\,\,\, = \frac{{5 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{8 + 4\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}}\\{\,\,\,\, = \frac{{5 - 3}}{{8 + 4.3}} = \frac{1}{{10}}}\\{ \Rightarrow a = 1,b = 10 \Rightarrow a.b = 1.10 = 10}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 62:

Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{4^x} + {4^{ - x}} = 7}\\{{4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 9}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{2^x}} \right)}^2} + {{\left( {{2^{ - x}}} \right)}^2} + {{2.2}^x}{{.2}^{ - x}} = 9}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}^2} = 9}\\{ \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3}\end{array}\]

(do \[{2^x} + {2^{ - x}} > 0\])

Vậy

\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}}}\\{\,\,\,\, = \frac{{5 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{8 + 4\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}}\\{\,\,\,\, = \frac{{5 - 3}}{{8 + 4.3}} = \frac{1}{{10}}}\\{ \Rightarrow a = 1,b = 10 \Rightarrow a.b = 1.10 = 10}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 63:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \[x \in (\frac{1}{3};3)\;\] thỏa mãn \[27{\,^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9x}}\]?

Xem đáp án

* pt \[ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 9x}} = xy + 1\]

\[ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \frac{1}{x}khix \in \left( {\frac{1}{3};3} \right) \Rightarrow y > - 3\] thì mới tồn tại\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

⇒ Ta chặn được\[y > - 3 \Rightarrow y \ge - 2\]

\[*pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1 = 0\]

Đặt \[f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1\] ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(\frac{1}{3}) = {3^{y - 8}} - \frac{y}{3} - 1}\\{f(3) = {{27}^{3y}} - 3y - 1}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy ngay\[f\left( 3 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\] chỉ bằng 0 tại y=0

+ Xét y=0⇒ thay vào phương trình ban đầu ⇒\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right.\) loại vì không có nghiệm thuộc \[\left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

+ Xét\[y \ne 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^ * }\]

1) Ta Table khảo sát\[f\left( {\frac{1}{3}} \right)\] với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Start:y = - 2}\\{End:y = 17}\\{Step: = 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right).f\left( 3 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]

⇒ Có 11 giá trị của yy để tồn tại nghiệm

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi\[y \ge 10\] thì \[f\left( {\frac{1}{3}} \right) > 0\] và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi \[y \ge 10\] thì phương trình vô nghiệm.

\[g\prime (y) = x({27^{3{x^2} + x(y - 9)}}.ln27 - 1) > 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\forall y \ge 10}\\{x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {10} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 10x - 1 = h\left( x \right)\]

Ta có\[h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 10 > 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

\[ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{14}}{3} > 0\]

⇒ Phương trình vô nghiệm với\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]Vậy đáp số có 11 giá trị nguyên của yy.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 64:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \[x \in (\frac{1}{3};3)\;\] thỏa mãn \[27{\,^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9x}}\]?

Xem đáp án

* pt \[ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 9x}} = xy + 1\]

\[ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \frac{1}{x}khix \in \left( {\frac{1}{3};3} \right) \Rightarrow y > - 3\] thì mới tồn tại\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

⇒ Ta chặn được\[y > - 3 \Rightarrow y \ge - 2\]

\[*pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1 = 0\]

Đặt \[f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1\] ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(\frac{1}{3}) = {3^{y - 8}} - \frac{y}{3} - 1}\\{f(3) = {{27}^{3y}} - 3y - 1}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy ngay\[f\left( 3 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\] chỉ bằng 0 tại y=0

+ Xét y=0⇒ thay vào phương trình ban đầu ⇒\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right.\) loại vì không có nghiệm thuộc \[\left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

+ Xét\[y \ne 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^ * }\]

1) Ta Table khảo sát\[f\left( {\frac{1}{3}} \right)\] với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Start:y = - 2}\\{End:y = 17}\\{Step: = 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right).f\left( 3 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]

⇒ Có 11 giá trị của yy để tồn tại nghiệm

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi\[y \ge 10\] thì \[f\left( {\frac{1}{3}} \right) > 0\] và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi \[y \ge 10\] thì phương trình vô nghiệm.

\[g\prime (y) = x({27^{3{x^2} + x(y - 9)}}.ln27 - 1) > 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\forall y \ge 10}\\{x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {10} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 10x - 1 = h\left( x \right)\]

Ta có\[h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 10 > 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

\[ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{14}}{3} > 0\]

⇒ Phương trình vô nghiệm với\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]Vậy đáp số có 11 giá trị nguyên của yy.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 65:

Cho các số dương x,y thỏa mãn \[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7}\] có dạng \(\frac{a}{b}\). Tính a−b.

Xem đáp án

Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn \[{x^3}\] theo y.

Ta có\[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2 - 2x - y - 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{2^{{x^3} + 2x + 2}}}}{{{2^{2x + y}}.2}} = \frac{{2x + y}}{{2\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)}}}\\{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2}}\left( {{x^3} + 2x + 2} \right) = {2^{2x + y}}.\left( {2x + y} \right)\,\,\,\left( * \right)}\end{array}\]

Xét \[f\left( t \right) = {2^t}.t,\,\,t > 0\]ta có\[f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0;\,\,\forall t > 0\].Do đó hàm số f(t) đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]Do đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + 2x + 2 = 2x + y \Rightarrow {x^3} = y - 2\]Bước 2: Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P.

Khi đó

\[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{{y - 2}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y}{7} - \frac{2}{7} \ge 2\sqrt {\frac{7}{y}.\frac{y}{7}} - \frac{2}{7} = \frac{{12}}{7}\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{7}{y} = \frac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\]

\[{P_{\min }} = \frac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5},\,\,y = 7\]

Vậy\[a = 12,b = 7 = > a - b = 5\]


Câu 66:

Cho các số dương x,y thỏa mãn \[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7}\] có dạng \(\frac{a}{b}\). Tính a−b.

Xem đáp án

Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn \[{x^3}\] theo y.

Ta có\[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2 - 2x - y - 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{2^{{x^3} + 2x + 2}}}}{{{2^{2x + y}}.2}} = \frac{{2x + y}}{{2\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)}}}\\{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2}}\left( {{x^3} + 2x + 2} \right) = {2^{2x + y}}.\left( {2x + y} \right)\,\,\,\left( * \right)}\end{array}\]

Xét \[f\left( t \right) = {2^t}.t,\,\,t > 0\]ta có\[f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0;\,\,\forall t > 0\].Do đó hàm số f(t) đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]Do đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + 2x + 2 = 2x + y \Rightarrow {x^3} = y - 2\]Bước 2: Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P.

Khi đó

\[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{{y - 2}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y}{7} - \frac{2}{7} \ge 2\sqrt {\frac{7}{y}.\frac{y}{7}} - \frac{2}{7} = \frac{{12}}{7}\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{7}{y} = \frac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\]

\[{P_{\min }} = \frac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5},\,\,y = 7\]

Vậy\[a = 12,b = 7 = > a - b = 5\]


Bắt đầu thi ngay