IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Các bài toán về đường thẳng và mặt cầu

Các bài toán về đường thẳng và mặt cầu

Các bài toán về đường thẳng và mặt cầu

  • 319 lượt thi

  • 23 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {R^2}\]. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 

Xem đáp án

Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{(y + 1)}^2} + {z^2} = {R^2}}\\{x = t}\\{y = 0}\\{z = 0}\end{array}} \right.\left( * \right)\)

(S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi  (*) có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {t^2} + 1 = {R^2}\]có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {R^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow R = 1\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu (S) có dạng\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {R^2}\]

Phương trình tham số của d là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = {R^2}}\\{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)

(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {( - 2 + 2t)^2} + {(4 + t)^2} + {( - 6 - t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 12t + 56 - {R^2} = 0\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = {\left( { - 6} \right)^2} - 6.(56 - {R^2}) = 0 \Leftrightarrow 6{R^2} - 300 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 50 \Leftrightarrow R = 5\sqrt 2 \]

Suy ra đường kính của mặt cầu (S) là\[10\sqrt 2 \]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu (S) có dạng \[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = {R^2}\]

Phương trình tham số của d là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2} = {R^2}}\\{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)

(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi  (∗) có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} + {(2t)^2} + {(1 + t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 2 = {R^2}\] có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {R^2} = 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\] là:

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu (S) có dạng\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = {R^2}\]

Phương trình tham số của d là:\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\]\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2} = {R^2}}\\{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)

(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi  (∗) có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} + {(2t)^2} + {(1 + t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 2 = {R^2}\] có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {R^2} = 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ  có phương trình x=y=z. Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với Δ là:

Xem đáp án

\[A \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow A\left( {t;t;t} \right)\]

- ThayA(t;t;t) vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\]ta có\[3{t^2} + 3t - 6 = 0\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 2z - 3 = 0\]ta có\[3{t^2} - 3 = 0\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y + 5z + 3 = 0\]ta có\[3{t^2} + 6t + 3 = 0\]

Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn

- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x - 2z + 6 = 0\]ta có \[3{t^2} - 9t + 6 = 0\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

Đáp án cần chọn là: C


Câu 6:

Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:

Xem đáp án
\[A \in Oz \Rightarrow A\left( {0;0;t} \right)\]

- ThayA(0;0;t) vào \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 2 = 0\]ta có\[{t^2} + 2t + 2 = 0\]

Phương trình vô nghiệm. Loại

- ThayA(0;0;t) vào \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 2 = 0\]ta có\[{t^2} - 2t + 2 = 0\]

Phương trình vô nghiệm. Loại

- ThayA(0;0;t) vào \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + z + 1 = 0\]ta có\[{t^2} + t + 1 = 0\]

Phương trình vô nghiệm. Loại

- ThayA(0;0;t) vào \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 4z + 4 = 0\]ta có\[{t^2} + 4t + 4 = 0\]

Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: D


Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho mặt cầu (S) có phương trình

\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 50\]. Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.

Xem đáp án

(S) có tâm\[I(1; - 2;3)\] và\[R = \sqrt {50} \]

Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox.

Suy ra\[M(1;0;0) \Rightarrow d(I,{\rm{Ox}}) = {\rm{MI}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \ne R \Rightarrow \]loại B.

Gọi N là hình chiếu của I lên trục Oy.

Suy ra\[N(0; - 2;0) \Rightarrow d(I,{\rm{Oy) = NI = \;}}\sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \ne R \Rightarrow \]loại C

Gọi P là hình chiếu của I lên trục Oz.

Suy ra \[P(0;0;3) \Rightarrow d(I,{\rm{Oz}}) = {\rm{PI}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \ne R \Rightarrow \] loại D

Đáp án cần chọn là: ACâu 8. Xét đường thẳng d có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\)và mặt cầu (S) có phương trình  \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\]. Nhận xét nào sau đây đúng.

A.d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB<2R

B.d không có điểm chung với (S)

C.d tiếp xúc với (S)

D.d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB đạt GTLN.

Giải hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{{t^2} + {{(2t)}^2} = 4}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{5{t^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \pm \sqrt {\frac{4}{5}} }\\{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\end{array}\)

Suy ra d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

Mặt khác (S) có tâm \[I(1;2;3) \in d\;\] nên d qua tâm của mặt cầu.

Do đó AB đạt GTLN.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\] và đường thẳng \[d:x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\].  (d) cắt  (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: 

Xem đáp án

Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được: d:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t + 1}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\)

Giả sử A là giao điểm của (d) và (P).

Vì \[A \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t + 1}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\]  nên ta có:\[A\left( {t + 1;2 + 2t;4 + 3t} \right)\]

Mặt khác\[A \in (S)\]  nên ta có

\[{(t + 1 - 1)^2} + {(2 + 2t + 2)^2} + {(4 + 3t - 3)^2} = 9\]

\[ \Leftrightarrow {t^2} + {(4 + 2t)^2} + {(1 + 3t)^2} = 9\]

\[ \Leftrightarrow 14{t^2} + 22t + 8 = 0\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - \frac{4}{7}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A(0;0;1)}\\{B\left( {\frac{3}{7};\frac{6}{7};\frac{{16}}{7}} \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16}}{7} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {126} }}{7}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0)  và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên\[Oy \Rightarrow H(0; - 2;0)\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( { - 3;0;0} \right) \Rightarrow IH = 3\]

Mặt khác ta có: \[AH = \frac{{AB}}{2} = 4\]

Suy ra\[{R^2} = A{H^2} + H{I^2} = {4^2} + {3^2} = 25\]

(S) có tâm I(3;−2;0) và bán kính R với \[{R^2} = 25\]  Suy ra:

\[(S):{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 3 - t'}\\{z = 0}\end{array}} \right.\). Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là: 

Xem đáp án

Lấy\[{\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)\] và\[B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)\].

Ta có:\[\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)\]

AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.(b - 2a) + 1.(3 - a - b) + 0.( - 4) = 0}\\{1.(b - 2a) - 1.(3 - a - b) + 0.( - 4) = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5a + b + 3 = 0}\\{ - a + 2b - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

Suy ra \[{\rm{A}}\left( {2;1;4} \right);B\left( {2;1;0} \right)\] và\[\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 4} \right)\]

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′

Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính\[R = \frac{{AB}}{2}\]

Ta có I(2;1;2) và \[R = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

 Vậy ta có\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \[{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.

Xem đáp án

Bước 1: Gọi (S′) là mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.

(S) có tâm I(−1;1;2) và R=2

Bước 2: Tìm J là điểm đối xứng của tâm mặt cầu (S) qua Oz.

Lấy đối xứng điểm I qua trục Oz ta được J(1;−1;2).

Bước 3: Tìm mặt cầu (S′) 

(S′) có tâm J và bán kính R có phương trình là: \[{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0 và ba điểmA(1;−2;0), B(1;0;−1)  và C(0;0;−2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB,AC,BC?

Xem đáp án

Ta có:

\[\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 1} \right)\]

\[\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;2; - 2} \right)\]

\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;1;2} \right)\]

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;1;2} \right)\]Suy ra\[(P)//(ABC)\]

Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M,N,P,Q cách đều AB,BC,AC là tâm đường tròn nội tiếp, 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A,B,C do đó có 4 điểm M′,N′,P′,Q′  trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M,N,P,Q trên (P) thỏa mãn tính chất cách đều AB,BC,AC.

Tương ứng có 4 mặt cầu tâm M′,N′,P′,Q′ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hãy viết phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\].

Xem đáp án

\[\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;1)\] Lấy điểm\[M(1;0;2) \in d\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MI} = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = ( - 2;2; - 2)}\\{R = d(I,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 }\end{array}\]

Vậy phương trình mặt cầu tâm I(2;0;1) bán kính \(\sqrt 2 \) là:

\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\], điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng (P)  qua A , vuông góc (d) là:

\[ - 1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y + 1} \right) + 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 2z + 1 = 0\]

Gọi \[I\left( {1 - t;2 + t; - 1 + 2t} \right) = d \cap \left( P \right)\]  khi đó:

\[ - \left( {1 - t} \right) + \left( {2 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2; - 1} \right)\]

Có\[I{A^2} = 14\]  Phương trình mặt cầu là:

\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 14\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}\;\]. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \)và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

Xem đáp án

Tâm I thuộc đường thẳng d nên\[I\left( {t; - 3 + t;2t} \right)\]

Phương trình mặt phẳng\[\left( {{\rm{Oxz}}} \right):y = 0\]

Ta có bán kính mặt cầu \[IM = 2\sqrt 2 \], mặt cầu cắt mặt phẳng (Oxz) theo đường tròn có bán kính HM=2 suy ra\[d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = IH = \sqrt {I{M^2} - H{M^2}} = \sqrt {8 - 4} = 2\]

Ta có\[\left| { - 3 + t} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 + t = 2}\\{ - 3 + t = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5 \Rightarrow I(5;2;10)}\\{t = 1 \Rightarrow I(1; - 2;2)}\end{array}} \right.\]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng  (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\] và đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = z\;\]. Mặt phẳng (P) vuông góc với Δ và tiếp xúc với (S) có phương trình là 

Xem đáp án

Tâm mặt cầu I(1;−2;1), bán kính R=3.

Mặt phẳng (P) vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\] có phương trình dạng\[2{\rm{x}} - 2y + z + D = 0\]

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu nên\[d(I,(P)) = R \Rightarrow |D - 7| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = - 2}\\{D = 16}\end{array}} \right.\]

Phương trình (P) là\[2x - 2y + z - 2 = 0;2x - 2y + z + 16 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\) và 2 mặt phẳng (P)  và (Q) lần lượt có phương  trình \[x + 2y + 2z + 3 = 0;x + 2y + 2z + 7 = 0\]. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâmI  thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P)  và (Q).

Xem đáp án

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{I \in d \Rightarrow I\left( {t; - 1; - t} \right)}\\{ \Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2 - 2t + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {t - 2 - 2t + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }}}\\{ \Leftrightarrow \left| { - t + 1} \right| = \left| { - t + 5} \right| \Leftrightarrow t = 3}\\{ \Rightarrow I\left( {3; - 1; - 3} \right)}\\{ \Rightarrow R = \frac{{\left| { - 3 + 1} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{2}{3}}\\{ \Rightarrow (S):{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {z + 3} \right)}^2} = \frac{4}{9}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{x}{2} = \frac{{z - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}\;\] và hai mặt phẳng \[(P):x--2y + 2z = 0.(Q):x--2y + 3z - 5 = 0\]. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).

Xem đáp án

\[I \in d \Rightarrow I\left( {2t;3 + t;2 + t} \right)\]

\[I \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - 2(3 + t) + 2(2 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {2;4;3} \right)\]

Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S)nên \[R = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \frac{{|2 - 2.4 + 3.3 - 5|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {\frac{2}{7}} \]

\[ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{7}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \[3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \[\overrightarrow {OM} \;\] là

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu  (ảnh 1)

+) Mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.

+) Tìm I: \[3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{{2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{6}\]

\[A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;0; - 1} \right),C\left( {0;21; - 19} \right)\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - {x_I};1 - {y_I};1 - {z_I}} \right),\overrightarrow {AB} \left( {3; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;20; - 20} \right)\]

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x_I} = - \frac{{2.3 + 0}}{6}}\\{1 - {y_I} = - \frac{{2.( - 1) + 20}}{6}}\\{1 - {z_I} = - \frac{{2.( - 2) + ( - 20)}}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow I(1;4; - 3)\)

+) Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}}\\{ = 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)}^2}}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\\{ + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\vec 0}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\end{array}\]

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất ⇒M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và  mặt cầu (S).

\[\overrightarrow {JI} = \left( {0;3; - 4} \right)\]=> Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng\[\left( {1;1 + 3t;1 - 4t} \right),t \in \left[ {0;1} \right]\]

Mặt khác\[M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 + 3t} \right)} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 - 4t} \right)} \right)^2} = 1\]

\[ \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{5}}\\{t = - \frac{1}{5}\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow M\left( {1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}} \right) \Rightarrow OM = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng \[(P):2x + 2y - z - 3 = 0\]và mặt cầu \[(S):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\]. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \[\Delta \] là:

Xem đáp án

Dễ thấy \[E \in \left( P \right)\]. Gọi I(3;2;5) là tâm khối cầu.

Đường thẳng qua I vuông góc với (P): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\left( d \right)\)

Gọi H là hình chiếu của I lên (P)\[ \Rightarrow H \in \left( d \right) \Rightarrow H\left( {3 + 2t;2 + 2t;5 - t} \right)\]

Lại có\[H \in \left( P \right)\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 5 + t - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow 6 + 4t + 4 + 4t - 5 + t - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow 9t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{9} \Rightarrow H\left( {\frac{{23}}{9};\frac{{14}}{9};\frac{{47}}{9}} \right)}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {EH} \left( {\frac{5}{9};\frac{5}{9};\frac{{20}}{9}} \right) = \frac{5}{9}\left( {1;\;1;\;4} \right)//\left( {1;1;4} \right) = \vec a}\end{array}\]

Để đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua E và vuông góc với HE.

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_P}} }\\{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow a }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow a } \right]\)

\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = (9; - 9;0) = 9(1; - 1;0)\)

Vậy đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua E và nhận (1;−1;0) là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng\(\left( \Delta \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho điểm S(−2;1;−2) nằm trên mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\]. Từ điểm S kẻ ba dây cung SA,SB,SC với mặt cầu (S) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 600. Dây cung AB có độ dài bằng:

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, cho điểm S(−2;1;−2) nằm trên mặt cầu (ảnh 1)

Xét tứ diện SABC có: \[SA = SB = SC,\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0} \Rightarrow SABC\] là tứ diện đều.

Mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\]có tâm O, bán kính R=3, ngoại tiếp khối tứ diện SABC\[ \Rightarrow OS = OA = OB = OC = 3\]

Giả sử độ dài dây AB là  a \[ \Rightarrow \,SI = AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \,AH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

\[ \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{1}{3}{a^2}} = \sqrt {\frac{2}{3}} a\]

\[ \Rightarrow R = \frac{{{a^2}}}{{2\sqrt {\frac{2}{3}} a}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt 6 a}}{4} = 3 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 6 \]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;−2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.

Xem đáp án

Khoảng cách từ tâm I đến trục Oz là: \[d\left( {I;\left( {Oz} \right)} \right) = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\]

Vì  tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu R=5.

Vậy phương trình cần tìm là 

\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 23:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \[(\alpha ):x - my + z + 6m + 3 = 0\;\]và \[(\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = 0\]; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \[\Delta \]. Gọi \[\Delta '\] là hình chiếu của \[\Delta \] lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng \[\Delta '\] luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng OxyOxy. Tính giá trị biểu thức \[P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2}.\]

Xem đáp án

Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) theo m.

Mặt phẳng\[(\alpha ):x - my + z + 6m - 3z = 0\] có một vectơ pháp tuyến là

\[\overrightarrow {{n_1}} = (1; - m;1)\], và mặt phẳng\[(\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = (\alpha ) \cap (\beta )\]

\[\overrightarrow {{n_1}} = (1; - m;1)\], và mặt phẳng\[(\beta ):mx + y - mz\] có một vectơ pháp tuyến là

\[\overrightarrow {{n_2}} = (m;1; - m).\] Ta có\[M\left( { - 3m + \frac{4}{m} - 3;0; - 3m - \frac{4}{m}} \right) \in {\rm{\Delta }} = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\]

Do đó Δ có một vectơ chỉ phương là\[\vec u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {{m^2} - 1;2m;{m^2} + 1} \right)\]

Bước 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm c.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là\[\vec n = [\vec u;\vec k] = \left( {2m;1 - {m^2};0} \right)\]

Phương trình mặt phẳng (P) là :\[2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0\]

Vì\[I(a;b;c) \in (Oxy)\] nên I(a;b;0).

Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu \[(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R\]. Tìm a và b

Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu\[(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = R > 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8} \right|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = R({m^2} + 1)}\\{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = - R({m^2} + 1)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = R}\\{b - 8 = R}\\{R > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = - R}\\{b - 8 = - R}\\{R > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3 = 0}\\{6 - b = b - 8}\\{ - R = 6 - b < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{6 - b = b - 8}\\{R = 6 - b > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)</>

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{b = 7}\end{array}} \right.\)

Vậy I(−3;7;0), do đó \[P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2} = 41\]


Bắt đầu thi ngay