Số logab được gọi là lôgarit cơ số a của b.

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện để ${\log _a}b$ có nghĩa là $0 < a \ne 1,b > 0$.

Đáp án cần chọn là: C

Cho $a > 0;a \ne 1,b > 0$  khi đó nếu ${\log _a}b = N$ thì${a^N} = b$

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

${\log _a}{b^n} = n{\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0)$

${\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0)$

${\log _a}\sqrt[n]{b} = {\log _a}{b^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n}{\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0;n > 0;n \in {N^ * })$

Vậy đẳng thức không đúng là ${\log _a}\sqrt[n]{b} = - n{\log _a}b$

Đáp án cần chọn là: D

Nếu a > 1 và b > c > 0 thì ${\log _a}b > {\log _a}c$.

Đáp án cần chọn là: A

${\log _a}1 = 0$nên A, C sai.

${\log _a}a = 1$nên B sai, D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Từ công thức ${\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c \Leftrightarrow {\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}(0 < a,b \ne 1;c > 0)$ ta thấy chỉ có đáp án A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng công thức ${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}} \Leftrightarrow {\log _a}b.{\log _b}a = 1(0 < a,b \ne 1)$ ta được:

${\log _2}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}2}}$ nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Vì 3 > 1 nên để${\log _3}a < 0$ thì 0 < a < 1.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:$\log \left( {a{b^2}} \right) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b$

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

${\log _{0.5}}a > {\log _{0.5}}b \Leftrightarrow a < b$ suy ra  A sai.

$\log x < 0 \Leftrightarrow \log x < \log 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ suy ra B đúng.

${\log _2}x > 0 \Leftrightarrow {\log _2}x > {\log _2}1 \Leftrightarrow x > 1$ suy ra C đúng.

${\log _{\frac{1}{3}}}a = {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0$ suy ra D đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$\frac{3}{4} < \frac{4}{5}$ và ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}} \Rightarrow 0 < a < 1$

$\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$ và ${\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3} \Rightarrow b > 1$</>

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:${\log _a}b > {\log _a}a = 1;{\log _b}a < {\log _b}b = 1 \Rightarrow {\log _b}a < 1 < {\log _a}b$

Đáp án cần chọn là: D

Vì$0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0$ Do đó

${\log _c}x > 0 > {\log _b}x > {\log _a}x \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{{\ln c}} > 0 > \frac{{\ln x}}{{\ln b}} > \frac{{\ln x}}{{\ln a}}$

$\Rightarrow \ln c < 0 < \ln a < \ln b$

Mà hàm số$y = \ln x$ đồng biến trên$\left( {0; + \infty } \right)$ nên ta suy ra$c < a < b$

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Có$a = {\log _2}3 \Rightarrow {\log _3}2 = \frac{1}{a};b = {\log _5}3 \Rightarrow {\log _3}5 = \frac{1}{b}$

${\log _6}45 = \frac{{{{\log }_3}45}}{{{{\log }_3}6}} = \frac{{{{\log }_3}\left( {{3^2}.5} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{2 + {{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2 + 1}} = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}$

Đáp án cần chọn là: C

Đăt ${\log _2}3 = x$ Ta có

$\begin{array}{*{20}{l}}{a = {{\log }_{12}}18 = \frac{{{{\log }_2}18}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{{2.3}^2}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2}.3} \right)}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2x}}{{2 + x}}}\\{ \Rightarrow a\left( {2 + x} \right) = 1 + 2x \Rightarrow x\left( {a - 2} \right) = 1 - 2a}\\{ \Rightarrow {{\log }_2}3 = x = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}}\end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

$a = lo{g_2}60 = lo{g_2}({2^2}.15) = 2 + lo{g_2}15 \Rightarrow lo{g_2}15 = a - 2$

$\Rightarrow lo{g_2}5 = \frac{{lo{g_{15}}5}}{{lo{g_{15}}2}} = \frac{{lo{g_2}15}}{{lo{g_5}15}} = \frac{{a - 2}}{b}$

$b = lo{g_5}15 = lo{g_5}(3.5) = 1 + lo{g_5}3 \Rightarrow lo{g_5}3 = b - 1$

$lo{g_2}3 = lo{g_2}5.lo{g_5}3 = \frac{{a - 2}}{b}.(b - 1) = \frac{{ab - 2b - a + 2}}{b}$

$lo{g_2}12 = lo{g_2}({2^2}.3) = 2 + lo{g_2}3 = \frac{{ab - a + 2}}{b}$

Đáp án cần chọn là: B

Có $b = {\log _2}6 = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _2}3 = b - 1$

$\begin{array}{l}{\log _3}90 = {\log _3}({3^2}.2.5) = 2 + {\log _3}2 + {\log _3}5 = 2 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}} + \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = 2 + \frac{{1 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}}\\ = 2 + \frac{{1 + a}}{{b - 1}} = \frac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}\end{array}$Đáp án cần chọn là: B

Ta có: ${\log _a}{a^2}{b^4} = {\log _a}{a^2} + {\log _a}{b^4} = 2{\log _a}a + 4{\log _a}b = 2 + 4p$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có$80 = {4^2}.5;12 = 3.4$

$\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_{12}}80 = {{\log }_{12}}{4^2} + {{\log }_{12}}5 = 2{{\log }_{12}}4 + {{\log }_{12}}5 = \frac{2}{{{{\log }_4}12}} + \frac{1}{{{{\log }_5}12}} = \frac{2}{{{{\log }_4}3 + 1}} + \frac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}4}}}\\{ = \frac{2}{{\frac{1}{a} + 1}} + \frac{1}{{\frac{b}{a} + b}} = \frac{{2a}}{{a + 1}} + \frac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}}\end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$lo{g_{15}}20 = lo{g_{15}}({2^2}.5)$

$= 2lo{g_{15}}2 + lo{g_{15}}5$

$= \frac{2}{{lo{g_2}15}} + \frac{1}{{lo{g_5}15}}$

$= \frac{2}{{lo{g_2}3 + lo{g_2}5}} + \frac{1}{{lo{g_5}3 + lo{g_5}5}}$

$= \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_3}2}} + \frac{{lo{g_3}5}}{{lo{g_3}2}}}} + \frac{1}{{lo{g_5}3 + 1}}$

$= \frac{{2lo{g_3}2}}{{1 + lo{g_3}5}} + \frac{1}{{\frac{1}{{lo{g_3}5}} + 1}}$

$= \frac{{2lo{g_3}2}}{{1 + lo{g_3}5}} + \frac{{lo{g_3}5}}{{lo{g_3}5 + 1}}$

$= \frac{{2lo{g_3}2 + lo{g_3}5}}{{lo{g_3}5 + 1}}$

$= \frac{{lo{g_3}5 + 1 + 2lo{g_3}2 - 1}}{{lo{g_3}5 + 1}}$

$= 1 + \frac{{2lo{g_3}2 - 1}}{{lo{g_3}5 + 1}}$

$\Rightarrow a = 1,\,\,b = - 1,\,\,c = 1$

Vậy $T = a + b + c = 1 + \left( { - 1} \right) + 1 = 1.$

Đáp án cần chọn là: D

$\begin{array}{*{20}{l}}{P = {{\left( {\ln a + {{\log }_a}e} \right)}^2} + {{\ln }^2}a - \log _a^2e = {{\ln }^2}a + 2.\ln a.{{\log }_a}e + \log _a^2e + {{\ln }^2}a - \log _a^2e}\\{ = 2.{{\ln }^2}a + 2.\ln a.\frac{{\ln e}}{{\ln a}} = 2{{\ln }^2}a + 2}\end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

${\log _{10e}}x = \frac{1}{{{{\log }_x}10e}} = \frac{1}{{{{\log }_x}e + {{\log }_x}10}} = \frac{1}{{\frac{{\ln e}}{{\ln x}} + \frac{{\ln 10}}{{\ln x}}}} = \frac{{\ln x}}{{1 + \ln 10}} = \frac{{\ln 10.\log x}}{{1 + \ln 10}}$

Suy ra${\log _{10e}}x = \frac{{ab}}{{1 + b}}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $450 = 150.{e^{5r}}$

$= > {e^{5r}} = 3 \Leftrightarrow 5r = \ln 3 = > r = \frac{{\ln 3}}{5}$

Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng là:

$S = 150.{e^{10.\frac{{\ln 3}}{5}}} = 150.{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2} = {150.3^2} = 1350$ (con)

Đáp án cần chọn là: B

${a^2} + 4{b^2} = 12ab \Leftrightarrow {(a + 2b)^2} - 4ab = 12ab \Leftrightarrow {(a + 2b)^2} = 16ab$

$\Rightarrow ln{(a + 2b)^2} = ln(16ab)$

$\Rightarrow 2ln(a + 2b) = ln16 + lna + lnb$

$\Rightarrow 2ln(a + 2b) - 4ln2 = lna + lnb$

$\Rightarrow ln(a + 2b) - 2ln2 = \frac{1}{2}(lna + lnb)$

Đáp án cần chọn là: C

$ln\frac{{a + b}}{3} = \frac{{2lna + lnb}}{3}$

$\Leftrightarrow 3ln\frac{{a + b}}{3} = 2lna + lnb$

$\Leftrightarrow ln{(\frac{{a + b}}{3})^3} = ln{a^2} + lnb$

$\Leftrightarrow ln\frac{{{{(a + b)}^3}}}{{27}} = ln({a^2}b)$

$\Leftrightarrow \frac{{{{(a + b)}^3}}}{{27}} = {a^2}b$

$\Leftrightarrow {(a + b)^3} = 27{a^2}b$

$\Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = 27{a^2}b$

$\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 24{a^2}b - 3a{b^2}$

$\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3(8{a^2}b - a{b^2})$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$T = 2ln\sqrt {ex} - ln\frac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + ln3.lo{g_3}e{x^2}$

$= 2ln\left( {{e^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{1}{2}}}} \right) - \left( {ln{e^2} - ln{x^{\frac{1}{2}}}} \right) + ln3.\frac{{ln(e.{x^2})}}{{ln3}}$

$= 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}lnx) - (2 - \frac{1}{2}lnx) + lne + 2lnx$

$= 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.2) - (2 - \frac{1}{2}.2) + 1 + 2.2 = 7$

Đáp án cần chọn là: A