IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Phương trình logarit và một số phương pháp giải

Phương trình logarit và một số phương pháp giải

Phương trình logarit và một số phương pháp giải

  • 293 lượt thi

  • 35 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Giá trị của x thỏa mãn \[lo{g_{\frac{1}{2}}}(3 - x) = 2\;\] là

Xem đáp án

Phương trình tương đương với:

\[3 - x = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{4}\]

Vậy\[x = \frac{{11}}{4}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 2:

Tập nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2x\] là:

Xem đáp án

Điều kiện:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 > 0}\\{2x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 1\)

Với điều kiện này thì phương trình đã cho tương đương với

\[{x^2} - 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt 2 \left( {TM} \right)}\\{x = 1 - \sqrt 2 \left( L \right)}\end{array}} \right.\]

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \[S = \left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 3:

Giải phương trình  \[{\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _9}{\left( {x + 2} \right)^2} = \frac{5}{4}\]

Xem đáp án

\[{\log _3}(x + 2) + {\log _9}{(x + 2)^2} = \frac{5}{4}\](*)

Đkxđ: \[x > - 2\]

\[( * ) \Leftrightarrow {\log _3}(x + 2) + {\log _3}(x + 2) = \frac{5}{4} \Leftrightarrow {\log _3}(x + 2) = \frac{5}{8}\]

\[ \Leftrightarrow x + 2 = {3^{\frac{5}{8}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[8]{{{3^5}}} - 2(tm)\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 4:

Giải phương trình \[{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\] , ta có nghiệm là:

Xem đáp án

\[{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow 2x = 10 \Leftrightarrow x = 5\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 5:

Tìm tập nghiệm S của phương trình \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\].

Xem đáp án

Điều kiện : x>1.

\[{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\left( {x - 1} \right).\left( {x + 1} \right)} \right) = 3\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {2^3} \Leftrightarrow x = \pm 3\]

So sánh với điều kiện suy ra x=3.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 6:

Tìm tập nghiệm S của phương trình \[lo{g_2}({x^2} - 4x + 3) = lo{g_2}(4x - 4)\]

Xem đáp án

Điều kiện:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4x + 3 > 0}\\{4x - 4 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 3.\)

\[lo{g_2}({x^2} - 4x + 3) = lo{g_2}(4x - 4) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 4x - 4\]

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1(l)}\\{x = 7}\end{array}} \right.\)

Vậy\[S = \left\{ 7 \right\}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 7:

Giải phương trình \[{\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3\]

Xem đáp án

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 > 0}\\{x - 3 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 3\)

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_4}\left( {x + 1} \right) + {{\log }_4}\left( {x - 3} \right) = 3 \Leftrightarrow {{\log }_4}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 3}\\{ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {4^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} - 67 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm 2\sqrt {17} }\end{array}\]

So sánh với điều kiện nghiệm của pt là\[x = 1 + 2\sqrt {17} \]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 8:

Tập hợp nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)\] là:

Xem đáp án

Điều kiện:\[x > - \frac{{{3^{50}}}}{2}\]

Phương trình đã cho tương đương với:

\[lo{g_3}({9^{50}} + 6{x^2}) = lo{g_3}({9^{50}} + 4x{.3^{50}} + 4{x^2})\]

\[ \Leftrightarrow 6{x^2} = 4x{.3^{50}} + 4{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2x{.3^{50}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = {{2.3}^{50}}}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 9:

Hỏi có bao nhiêu giá trị m  nguyên trong đoạn \[\left[ { - 2017;2017} \right]\;\]để phương trình \[logmx = 2log(x + 1)\;\;\] có nghiệm duy nhất?

Xem đáp án

ĐK: \[x > - 1;mx > 0\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\log (m{\rm{x}}) = 2\log (x + 1) \Leftrightarrow m{\rm{x}} = {{(x + 1)}^2} \Leftrightarrow {x^2} + (2 - m)x + 1 = 0}\\{{\rm{\Delta }} = {m^2} - 4m + 4 - 4 = {m^2} - 4m}\end{array}\]

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 TH:

TH1: Phương trình trên có nghiệm duy nhất: \[{m^2} = 4m \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = 4}\end{array}} \right.\]Tuy nhiên giá trị m=0 loại do khi đó nghiệm là x=−1.

TH2: Phương trình trên có 2 nghiệm thỏa: \[{x_1} \le - 1 < {x_2}\]

Nếu có \[{x_1} = - 1 \to 1 - (2 - m) + 1 = 0 \to m = 0\] thay lại vô lý

\[{x_1} < - 1 < {x_2} \to ({x_1} + 1)({x_2} + 1) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 \to 1 + m - 2 + 1 < 0 \Leftrightarrow m < 0.\]

Như vậy sẽ có các giá trị \[ - 2017; - 2016; \ldots \ldots - 1\] và 4.

Có 2018 giá trị.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 10:

Gọi \[{x_1},{x_2}\] là các nghiệm của phương trình \[{\left( {{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right)^2} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3 = 0\]. Khi đó tích \[{x_1},{x_2}\] bằng:

Xem đáp án

\[{\left( {{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right)^2} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3 = 0\]điều kiện của phương trình là x>0

\[ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3 = 0\]

Đặt \[t = {\log _3}x\] phương trình trở thành:

\[{t^2} - (\sqrt 3 + 1)t + \sqrt 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{lo{g_3}x = 1}\\{lo{g_3}x = \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = {3^{\sqrt 3 }}}\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {3.3^{\sqrt 3 }} = {3^{\sqrt 3 + 1}}\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 11:

Giả sử m là số thực sao cho phương trình \[log_3^2x - (m + 2)lo{g_3}x + 3m - 2 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] phân biệt thỏa mãn \[{x_1}.{x_2} = 9\].

Khi đó m thỏa mãn tính chất nào sau đây?

Xem đáp án

Đặt \[t = {\log _3}x\]  suy ra phương trình trở thành\[{t^2} - (m + 2)t + 3m - 2 = 0\left( * \right)\]

Để phương trình có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] thì (*) cũng có hai nghiệm \[{t_1};{t_2}\] .

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \[{t_1};{t_2}\]

\[ \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {(m + 2)^2} - 4(3m - 2) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 6}\\{m < 2}\end{array}} \right.\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = {3^{{t_1}}}}\\{{x_2} = {3^{{t_2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {3^{{t_1} + {t_2}}} = 9 \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 2.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \[{t_1} + {t_2} = m + 2\]

\[ \Rightarrow m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0\]Suy ra \[m \in \left( { - 1;1} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 12:

Giải phương trình \[{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{2^{x + 1}} - 2} \right) = 1\] Ta có nghiệm:

Xem đáp án

Phương trình đã cho tương đương với:

\[\begin{array}{l}lo{g_2}({2^x} - 1)[lo{g_4}2 + lo{g_4}({2^x} - 1)] = 1\\ \Leftrightarrow lo{g_2}({2^x} - 1)\left[ {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}lo{g_2}({2^x} - 1)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow lo{g_2}({2^x} - 1)\left[ {1 + lo{g_2}({2^x} - 1)} \right] = 2\\ \Leftrightarrow \log _2^2({2^x} - 1) + lo{g_2}({2^x} - 1) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{lo{g_2}({2^x} - 1) = 1}\\{lo{g_2}({2^x} - 1) = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} - 1 = 1}\\{{2^x} - 1 = \frac{1}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 3}\\{{2^x} = \frac{5}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = lo{g_2}3}\\{x = lo{g_2}\frac{5}{4}}\end{array}} \right.\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 13:

Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn \[lo{g_4}a = lo{g_6}b = lo{g_9}\left( {a + b} \right).\] Tính tỉ số \(\frac{a}{b}\).

Xem đáp án

Đặt

\[lo{g_4}a = lo{g_6}b = lo{g_9}(a + b) = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {4^x}}\\{b = {6^x}}\\{a + b = {9^x}}\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{b} = {{\left( {\frac{4}{6}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} > 0}\\{{4^x} + {6^x} = {9^x}\,\,\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\)

\[\begin{array}{l}{4^x} + {6^x} = {9^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{2x}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}\\{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{2x}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < 0\left( {loai} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 14:

Phương trình \[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1\] có hai nghiệm là \[{x_1};{x_2}\;\] thì tổng \[{x_1} + {x_2}\;\] là:

Xem đáp án

\[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1 \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {4^{x - 1}} \Leftrightarrow {4^x} - {12.2^x} + 4 = 0\]

Đặt \[t = {2^x}\] khi đó phương trình trở thành \[{t^2} - 12t + 4 = 0\] phương trình có hai nghiệm\[{t_1},{t_2}\] thỏa mãn\[{t_1}{t_2} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^2} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 15:

Cho phương trình \[{\log _3}x.{\log _5}x = {\log _3}x + {\log _5}x\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Điều kiện x>0

Ta đặt\[{\log _3}x = u;{\log _5}x = v \Rightarrow u.v = u + v\]

Khi đó\[x = {3^u} = {5^v}\] suy ra\[{\log _3}{3^u} = {\log _3}{5^v} \Leftrightarrow u = v{\log _3}5\]

\[ \Rightarrow uv = u + v \Leftrightarrow {v^2}{\log _3}5 = v{\log _3}5 + v \Leftrightarrow {v^2}{\log _3}5 - v\left( {{{\log }_3}5 + 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow v\left( {v{{\log }_3}5 - {{\log }_3}5 - 1} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{v = 0}\\{vlo{g_3}5 - lo{g_3}5 - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{v = 0}\\{v = \frac{{lo{g_3}5 + 1}}{{lo{g_3}5}}}\end{array}} \right. = 1 + \frac{1}{{lo{g_3}5}}\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 0}\\{u = 1 + lo{g_3}5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1(TM)}\\{x = {3^{1 + lo{g_3}5}} = 15(TM)}\end{array}} \right.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = 1,{x_2} = 15\] và tổng hai nghiệm bằng 16 là một số chính phương.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 16:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[2lo{g_2}|x| + lo{g_2}|x + 3| = m\;\] có 3 nghiệm thực phân biệt.

Xem đáp án

TXĐ : D=R.

\[2{\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m \Leftrightarrow {\log _2}{\left| x \right|^2} + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m\]

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\left| x \right|}^2}.\left| {x + 3} \right|} \right) = m \Leftrightarrow {\left| x \right|^2}.\left| {x + 3} \right| = {2^m}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2}.\left| {x + 3} \right| = {2^m}\]

Xét hàm\[f(x) = {x^2}.\left| {x + 3} \right|\]Ta có : \[f(x) = {x^2}.\left| {x + 3} \right| = \left| {{x^3} + 3{x^2}} \right|\]

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình  (ảnh 1)

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì \[{2^m} = 4 \Leftrightarrow m = 2\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 17:

Cho a, b, x là các số thực dương khác 1 thỏa: \[4\log _a^2x + 3\log _b^2x = 8{\log _a}x.{\log _b}x\quad (1)\] Mệnh đề (1) tương đương với mệnh đề nào sau đây:

Xem đáp án

\[4\log _a^2x - 8{\log _b}x.{\log _a}x + 3\log _b^2x = 0\]

Ta có:

\[\;\Delta \prime = {(4lo{g_b}x)^2} - 3.4.lo{g_b}x = 4log_b^2x > 0\]

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{lo{g_a}x = \frac{3}{2}lo{g_b}x}\\{lo{g_a}x = \frac{1}{2}lo{g_b}x}\end{array}} \right.\)

Suy ra

\[{\log _a}x = \frac{3}{2}{\log _b}x \Rightarrow {\log _a}x = {\log _{\sqrt[3]{{{b^2}}}}}x \Rightarrow a = \sqrt[3]{{{b^2}}} \Rightarrow {a^3} = {b^2}\]

\[{\log _a}x = \frac{1}{2}{\log _b}x \Rightarrow {\log _a}x = {\log _{{b^2}}}x \Rightarrow a = {b^2}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 18:

Cho x>0; \[x \ne 1\] thỏa mãn biểu thức \[\frac{1}{{lo{g_2}x}} + \frac{1}{{lo{g_3}x}} + ... + \frac{1}{{lo{g_{2017}}x}} = M\;\]. Khi đó x bằng:

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{VT = {{\log }_x}2 + {{\log }_x}3 + {{\log }_x}4 + ... + {{\log }_x}2017 = {{\log }_x}(2.3.4...2017)}\\{ \Rightarrow {x^M} = 2017! \Rightarrow x = \sqrt[M]{{2017!}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 19:

Tìm tập nghiệm của phương trình  \[{\log _3}x + \frac{1}{{{{\log }_9}x}} = 3\]

Xem đáp án

Điều kiện:\[x > 0;x \ne 1\]

\[{\log _3}x + \frac{1}{{{{\log }_9}x}} = 3 \Leftrightarrow {\log _3}x + \frac{2}{{{{\log }_3}x}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} - 3{\log _3}x + 2 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{lo{g_3}x = 1}\\{lo{g_3}x = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = {3^2} = 9}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 20:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  \[lo{g_2}x - lo{g_2}(x - 2) = m\] có nghiệm

Xem đáp án

Phương trình đã cho tương đương với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{lo{g_2}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right) = m}\\{x > 2}\end{array}} \right.\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số\[y = {\log _2}f\left( x \right)\] với \[f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 2}}\] trên khoảng\[\left( {2; + \infty } \right)\]

Có\[f'\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x > 2\] và\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\] nên ta có các tập giá trị của các hàm số là \[f\left( x \right) \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow {\log _2}f\left( x \right) \in \left( {0; + \infty } \right)\]</>

Vậy\[0 < m < + \infty \]Đáp án cần chọn là: D


Câu 21:

Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)\] là

Xem đáp án

Đặt \[{x^2} - \sqrt 2 x = t\]  khi đó\[{\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)(t > - 2;t \ne 0)\]

Đặt\[\;lo{g_3}|t| = lo{g_5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|t| = {3^a}}\\{t + 2 = {5^a}}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow |{5^a} - 2| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^a} - 2 = - {3^a}}\\{{5^a} - 2 = {3^a}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^a} + {3^a} = 2\left( 1 \right)}\\{{5^a} = {3^a} + 2\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]

Xét (1):\[f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0(\forall a \in R)\] nên hàm số đồng biến trên R

Mặt khác\[f(0) = 2\]  do đó phương trình\[f(a) = f(0)\] có 1 nghiệm duy nhất\[a = 0 \Rightarrow t = - 1\]

Suy ra: \[{x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0\] (vô nghiệm)

Xét (2) \[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a} = 1\]

Đặt

\[g(a) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^a}\ln \frac{3}{5} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^a}\ln \frac{1}{5} < 0(\forall a \in R)\]

Nên hàm số g(a) nghịch biến trên R do đó phương trình g(a)=1 có tối đa 1 nghiệm.

Mà g(a)=g(1) nên a=1

Suy ra \[t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0\] có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 22:

Giải phương trình: \[\mathop \smallint \limits_0^2 \left( {t - {{\log }_2}x} \right)dt = 2{\log _2}\frac{2}{x}\] (ẩn x)

Xem đáp án

Ta có:\[\;\int\limits_0^2 {(t - lo{g_2}x)dt} = \left( {\frac{{{t^2}}}{2} - lo{g_2}x.t} \right)\left| {_0^2} \right. = 2 - 2lo{g_2}x\]

Phương trình:\[2 - 2{\log _2}x = 2{\log _2}\frac{2}{x}\]  có điều kiện là x>0

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{2}{x} + {\log _2}x = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{2}{x}.x} \right) = 1\] (luôn đúng)

Vậy tập nghiệm của phương trình là\[(0; + \infty )\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 23:

Hỏi phương trình \[2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\]có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \[\left( {0;2017\pi } \right).\]

Xem đáp án

Điều kiện : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{cotx > 0}\\{cosx > 0}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)

Ta có :\[2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t\]

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(cotx)}^2} = {3^t}}\\{co{s^2}x = {4^t}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{co{s^2}x}}{{si{n^2}x}} = {3^t}}\\{co{s^2}x = {4^t}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} - {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} + {4^t} = 1\]

Đặt \[f(t) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} + {\left( 4 \right)^t} \Rightarrow f'(t) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t}\ln \frac{4}{3} + {\left( 4 \right)^t}\ln 4 > 0\]suy ra\[f(t) = 1\]có tối đa 1 nghiệm.

Nhận thấy t=−1 là nghiệm của phương trình

\[ \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) = - 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]( do đk (1)).

Ta có : \[0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi < 2017\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{{3025}}{3}\]Do k nguyên nên\[k = 0,1, \ldots ,1008\]

Vậy phương trình có 1009 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 24:

Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm\[\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_3}x + {{\log }_4}x + ... + {{\log }_{19}}x - \log _{20}^2x} \right) = 0\]

Xem đáp án

\[({x^2} - 4)({\log _2}x + {\log _3}x + {\log _4}x + ... + {\log _{19}}x - \log _{20}^2x) = 0( * )\]

Đkxđ: x>0

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2(tm)}\\{x = - 2(ktm)}\\{{{\log }_2}x + {{\log }_3}x + {{\log }_4}x + ... + {{\log }_{19}}x - \log _{20}^2x = 0\left( {**} \right)}\end{array}} \right.\)

\[( * * ) \Leftrightarrow \frac{{logx}}{{log2}} + \frac{{logx}}{{log3}} + \frac{{logx}}{{log4}} + ... + \frac{{logx}}{{log19}} - {\left( {\frac{{logx}}{{log20}}} \right)^2}\]

\[( * * ) \Leftrightarrow \frac{{logx}}{{log2}} + \frac{{logx}}{{log3}} + \frac{{logx}}{{log4}} + ... + \frac{{logx}}{{log19}} - {\left( {\frac{{logx}}{{log20}}} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow logx\left( {\frac{1}{{log2}} + \frac{1}{{log3}} + \frac{1}{{log4}} + ... + \frac{1}{{log19}} - \frac{{logx}}{{lo{g^2}20}}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{logx = 0}\\{\frac{1}{{log2}} + \frac{1}{{log3}} + \frac{1}{{log4}} + ... + \frac{1}{{log19}} - \frac{{logx}}{{lo{g^2}20}} = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\frac{1}{{log2}} + \frac{1}{{log3}} + \frac{1}{{log4}} + ... + \frac{1}{{log19}} = \frac{{logx}}{{lo{g^2}20}}}\end{array}} \right.\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{\left( {\frac{1}{{log2}} + \frac{1}{{log3}} + \frac{1}{{log4}} + ... + \frac{1}{{log19}}} \right)lo{g^2}20 = \log x}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\left( {tm} \right)}\\{x = {{10}^{\left( {\frac{1}{{log2}} + \frac{1}{{log3}} + \frac{1}{{log4}} + ... + \frac{1}{{log19}}} \right)lo{g^2}20}}\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\]

Phương trình (*) có 3 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 25:

Tìm m để phương trình \[mln(1 - x) - lnx = m\] có nghiệm \[x \in \left( {0;1} \right)\]

Xem đáp án

+ Cô lập\[m:m(\ln (1 - x) - 1) = \ln x \Rightarrow m = \frac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}}\] với 1>x>0 .

+ Nhận xét đáp án: ta thấy \[\frac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}} > 0,\forall 0 < x < 1\] Loại C và D

+ Tính giới hạn của\[y = \frac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}}\] khi x tiến dần tới 1 thì thấy y dần tiến tới 0 . Loại B. 

Đáp án cần chọn là: A


Câu 26:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {7 - {3^x}} \right) = 2 - x\] bằng:

Xem đáp án

\[{\log _3}\left( {7 - {3^x}} \right) = 2 - x\]

Điều kiện:\[7 - {3^x} > 0\]

\[pt \Leftrightarrow 7 - {3^x} = {3^{2 - x}} \Leftrightarrow 7 - {3^x} = \frac{9}{{{3^x}}} \Leftrightarrow {7.3^x} - {\left( {{3^x}} \right)^2} = 9\, \Leftrightarrow {3^{2x}} - {7.3^x} + 9 = 0\,\,\left( * \right)\]

Đặt \[t = {3^x}\;\;\left( {t > 0} \right) \Rightarrow x = {\log _3}t\] Thay vào phương trình (*) ta có:\[ \Leftrightarrow {t^2} - 7t + 9 = 0\,\,\,\,\left( { * * } \right)\]

Nhận thấy (**) có: \[{\rm{\Delta }} = 13 > 0,\;\;S = 7 > 0,\;\;P = 9 > 0 \Rightarrow \] phương trình (**) có 2 nghiệm dương phân biệt giả sử là: \[{t_1};{t_2}\]

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình  (**)  ta được:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 7}\\{{t_1}{t_2} = 9}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có: \[{x_1} + {x_2} = {\log _3}{t_1} + {\log _3}{t_2} = {\log _3}\left( {{t_1}{t_2}} \right) = {\log _3}9 = 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 27:

Cho \[0 \le x \le 2020\]và \[lo{g_2}(2x + 2) + x - 3y = {8^y}\]. Có bao nhiêu cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

Xem đáp án

Ta có:

\[{\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x - 3y = {8^y} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {2^{3y}} + 3y\left( * \right)\]

Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = {2^x} + x\] có\[f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]=>  Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

⇒ Phương trình (*)\[ \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3y\]

Do \[0 \le x \le 2020\] nên \[0 \le {\log _2}\left( {x + 1} \right) \le {\log _2}2021 \Rightarrow 0 \le 3y \le {\log _2}2021\]

\[ \Leftrightarrow 0 \le y \le \frac{{{{\log }_2}2021}}{3} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\]Với mỗi giá trị y vừa tìm được đều tìm được đúng 1 giá trị x nguyên thỏa mãn

⇒Có 4 cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 28:

Có bao nhiêu số nguyên \[a \in \left( { - 2019;2019} \right)\] để phương trình \[\frac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{{3^x} - 1}} = x + a\] có hai nghiệm phân biệt?

Xem đáp án

\[\frac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{{3^x} - 1}} = x + a \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{{3^x} - 1}} - x = a\,\,\left( * \right)\]

Xét hàm số\[f\left( x \right) = \frac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{{3^x} - 1}} - x\]

ĐKXĐ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 > 0}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ln(x + 5) \ne 0}\\{{3^x} - 1 \ne 0}\end{array}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 5}\\{x + 5 \ne 1}\\{{3^x} \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 5}\\{x \ne - 4}\\{x \ne 0}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow D = \left( { - 5; - 4} \right) \cup \left( { - 4;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\]

Ta có:

\[f'\left( x \right) = - \frac{1}{{\left( {x + 5} \right){{\ln }^2}\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{{3^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x} - 1} \right)}^2}}} - 1 < 0,\forall x \in D\]

BBT:

Có bao nhiêu số nguyên  (ảnh 1)

Từ BBT suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm \[ \Leftrightarrow a \ge 4\]

Kết hợp ĐK \[ \Rightarrow a \in \left\{ {4;...;2018} \right\}\]Vậy có 2015 giá trị của a thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 29:

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \[lo{g_2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = (x + y - 1)(2x + 2y - 1) - 4\left( {xy + 1} \right)\] Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}}\;\] bằng:

Xem đáp án

\[lo{g_2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = (x + y - 1)(2x + 2y - 1) - 4\left( {xy + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = (x + y - 1)[2(x + y) - 1] - 4(xy + 1)\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2{(x + y)^2} - 3(x + y) + 1 - 4(xy + 1)\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2({x^2} + {y^2}) + 4xy - (3x + 3y) + 1 - 4xy - 4\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) - lo{g_2}({x^2} + {y^2}) = 2({x^2} + {y^2}) - (3x + 3y + 4) + 1\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) + (3x + 3y + 4) = lo{g_2}({x^2} + {y^2}) + 2({x^2} + {y^2}) + lo{g_2}2\]

\[ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 3y + 4) + (3x + 3y + 4) = lo{g_2}(2{x^2} + 2{y^2}) + (2{x^2} + 2{y^2})( * )\]

Xét hàm số đặc trưng \[f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\] ta có

\[f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\]

⇒ Hàm số y=f(t) luôn đồng biến trên\[\left( {0; + \infty } \right)\]

Do đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow 3x + 3y + 4 = 2{x^2} + 2{y^2}\]Ta có:\[{\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3x + 3y + 4\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x + y \le 4\]

Kết hợp điều kiện đề bài ta có\[0 < x + y \le 4\]

Xét biểu thức

\[P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}} = \frac{{2\left( {2x + y + 1} \right) + x + y - 4}}{{2x + y + 1}} = 2 + \frac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}}\]

Do  \[x + y \le 4 \Leftrightarrow x + y - 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}} \le 0 \Rightarrow P \le 2\]

Vậy\[{P_{max}} = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{x = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 30:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right).\] Phương trình \[f\prime \left( x \right) = 0\;\] có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \[\left( {0;2020\pi } \right)?\]

Xem đáp án

ĐKXĐ: \[\cos x > 0\]

Ta có: \[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}}\]

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\]

Với k chẵn, đặt\[k = 2m\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\]khi đó ta có\[x = m2\pi \,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\]

Với k lẻ, đặt\[k = 2n + 1\,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\]khi đó ta có\[x = \left( {2n + 1} \right)\pi = \pi + n2\pi \,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\]

Kiểm tra ĐKXĐ:

\[x = m2\pi \Rightarrow \cos x = 1 > 0\]thỏa mãn.

\[x = \pi + k2\pi \Rightarrow \cos x = - 1 < 0\] loại.

Suy ra nghiệm của phương trình là\[x = m2\pi ,\,\,m \in \mathbb{Z}\]

Theo bài ra ta có: \[x \in \left( {0;2020\pi } \right) \Rightarrow 0 < m2\pi < 2020\pi \Leftrightarrow 0 < m < 1010 \Rightarrow \]Có 1009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Vậy phương trình \[f'\left( x \right) = 0\]có 1009 nghiệm trong khoảng\[\left( {0;2020\pi } \right)\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 31:

Cho a,b,c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn \[\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\frac{c}{b} - 2{\log _b}\frac{c}{b} - 3\]. Gọi \[M,m\;\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[P = lo{g_a}b - lo{g_b}c\]. Giá trị của biểu thức \[S = m - 3M\;\] bằng

Xem đáp án

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c = {{\log }_a}\frac{c}{b} - 2{{\log }_b}\frac{c}{b} - 3}\\{ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {{\log }_a}c - {{\log }_a}b - 2{{\log }_b}c - 1}\\{ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {{\log }_b}c.{{\log }_a}b - {{\log }_a}b - 2{{\log }_b}c - 1\,\,\left( * \right)}\end{array}\]

Đặt\[{\log _a}b = x \Rightarrow {\log _b}c = x - P\]

Phương trình \[\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = \left( {x - P} \right)x - x - 2\left( {x - P} \right) - 1\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 2{x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 3x + 2P - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\,\left( { * * } \right)}\end{array}\]

Ta có:\[{\rm{\Delta }} = {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) = - 3{P^2} + 2P + 5\]

Phương trình (**) có nghiệm

\[ \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le P \le \frac{5}{3}\]

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 1}\\{M = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy\[S = m - 3M = - 1 - 3.\frac{5}{3} = - 6\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 32:

Cho các số thực a,b,c thuộc khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\;\]và thỏa mãn \[\,\,\,\,\,\,\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\frac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\]. Giá trị của biểu thức \[lo{g_a}b + lo{g_b}{c^2}\;\] bằng:

Xem đáp án

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\log _{\sqrt a }^2b + {{\log }_b}c.{{\log }_b}\left( {\frac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{{\log }_a}c = 4{{\log }_a}b}\\{ \Leftrightarrow 4\log _a^2b + {{\log }_b}c.\left( {2{{\log }_b}c - 1} \right) + 9{{\log }_a}c = 4{{\log }_a}b}\\{ \Leftrightarrow 4\log _a^2b + 2\log _b^2c - {{\log }_b}c + 9{{\log }_a}b.{{\log }_b}c = 4{{\log }_a}b\,\,\left( * \right)}\end{array}\]

Đặt \[x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\] ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = lo{g_a}b > lo{g_a}1 = 0}\\{y = lo{g_b}c > lo{g_b}1 = 0}\end{array}} \right.(do\,\,\,a,b,c > 1)\)

Khi đó phương trình (*) trở thành:

\[4{x^2} + 2{y^2} - y + 9xy = 4x\]

\[ \Leftrightarrow 4{x^2} + xy + 8xy + 2{y^2} - y - 4x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x(4x + y) + 2y(4x + y) - (4x + y) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (4x + y)(x + 2y - 1) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + y = 0}\\{x + 2y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)

TH1:\[y = - 4x\] loại do x,y>0.

TH2: \[x + 2y - 1 = 0 \Leftrightarrow x + 2y = 1\] khi đó ta có:\[{\log _a}b + {\log _b}{c^2} = x + 2y = 1\]Đáp án cần chọn là: A


Câu 33:

Cho phương trình: \[{4^{ - \left| {x - m} \right|}}.{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{2x - {x^2}}}.{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\] với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là:

Xem đáp án

Ta có:

\[{4^{ - \left| {x - m} \right|}}.{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{2x - {x^2}}}.{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow {2^{ - 2|x - m|}}.2.lo{g_2}({x^2} - 2x + 3) - {2^{2x - {x^2}}}.lo{g_2}(2|x - m| + 2) = 0\]

\[ \Leftrightarrow {2^{ - 2|x - m| + 1}}.lo{g_2}({x^2} - 2x + 3) = {2^{2x - {x^2}}}.lo{g_2}(2|x - m| + 2)\]

\[ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x}}.lo{g_2}({x^2} - 2x + 3) = {2^{2|x - m| - 1}}.lo{g_2}(2|x - m| + 2)\]

\[ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x}} + 2.lo{g_2}({x^2} - 2x + 3) = {2^{2|x - m| + 2}}.lo{g_2}(2|x - m| + 2)\]

Xét hàm đặc trưng\[f\left( t \right) = {2^t}.{\log _2}t\,\,\left( {t \ge 2} \right)\] ta có

\[f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2.{\log _2}t + {2^t}.\frac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t \ge 2\] do đó hàm số đồng biến trên\[\left[ {2; + \infty } \right)\]

Lại có\[f\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = f\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 2\left| {x - m} \right| + 2}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 2\left| {x - m} \right|}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {x - 1} \right)}^2} = 2\left| {x - m} \right|\,\,\left( * \right)}\end{array}\]

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Cho phương trình: 4^− | x − m | . log căn bậc hai của 2 ( x^2 − 2 x + 3 ) + 2^2 x − x^2 . log 1/2 ( 2 | x − m | + 2 ) = 0   với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là: (ảnh 1)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \[m = \frac{1}{2},\,\,m = 1,\,\,m = \frac{3}{2}\]  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 34:

Cho các số thực dương a,b,c  khác 1 thỏa mãn 

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = lo{g_a}ab - lo{g_b}bc\]. Tính giá trị của biểu thức \[S = 2{m^2} + 9{M^2}\].

Xem đáp án

Ta có:

\[\begin{array}{l}\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\frac{c}{b} = {\log _a}\frac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left( {{a^3}b} \right)\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.{\log _b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\left( 1 \right)\end{array}\]

Đặt \[x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\]  khi đó ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = {{\log }_a}ab - {{\log }_b}bc}\\{P = 1 + {{\log }_a}b - 1 - {{\log }_b}c}\\{P = x - y \Rightarrow y = x - P}\end{array}\]Thay x,y vào (1) ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {{\left( {x - P} \right)}^2} = x\left( {x - P} \right) - 2\left( {x - P} \right) - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)}\end{array}\]

Để tồn tại các số a,b,c thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {\rm{\Delta }} \ge 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {P - 3} \right)}^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) \ge 0}\\{ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0}\\{ \Leftrightarrow - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0}\\{ \Leftrightarrow - 1 \le P \le \frac{5}{3}}\end{array}\]

Vậy\[m = - 1,\,\,M = \frac{5}{3} \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} = 27\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 35:

Cho phương trình \[{11^x} + m = {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\]với mm là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in \left( { - 205;205} \right)\] để phương trình đã cho có nghiệm?

Xem đáp án

Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng.

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\,{{11}^x} + m = {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{11}^x} + x = x - m + {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{11}^x} + x = {{11}^{{{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}} + {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)\,\,\left( * \right)}\end{array}\]

Xét hàm số\[f\left( t \right) = {11^t} + t \Rightarrow y' = {11^t}.\ln 11 + 1 > 0\,\,\,\forall t\] Khi đó hàm số\[y = f\left( t \right)\] đồng biến trên\(\mathbb{R}\)

Do đó\[\left( * \right) \Leftrightarrow x = {\log _{11}}\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow {11^x} = x - m \Leftrightarrow m = x - {11^x}\]

Bước 2: Khảo sát hàm số\[g(x) = x - {11^x}\]

Xét hàm số \[g\left( x \right) = x - {11^x}\] ta có

\[g'\left( x \right) = 1 - {11^x}.\ln 11 = 0 \Rightarrow x = {\log _{11}}\frac{1}{{\ln 11}} = {x_0}\]

Bảng biến thiên:

Cho phương trình 11^x + m = log 11 ( x − m )  với mm là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của  m thuộc ( − 205 ; 205 )  để phương trình đã cho có nghiệm? (ảnh 1)

Bước 3: Biện luận nghiệm theo m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì\[m < g\left( {{x_0}} \right) \approx - 0,78\]

Kết hợp điều kiện đề bài ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 205 < m \le - 1}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\)

Vậy có 204 giá trị của nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 


Bắt đầu thi ngay