Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
-
476 lượt thi
-
28 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên \[\left[ {1;3} \right]\;\]là M=−2. Chọn khẳng định đúng:
Nếu M=−2 là GTLN của hàm số y=f(x) trên \[\left[ {1;3} \right]\]thì
Đáp án cần chọn là: D
Câu 2:
Cho hàm số f(x) xác định trên \[\left[ {0;2} \right]\;\]và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:
Đáp án cần chọn là: B
Câu 3:
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx trên đoạn \[[ - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}]\] lần lượt là
Ta có\[y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Do\[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]\]nên\[k = - 1\]hay\[x = - \frac{\pi }{2}\]
Suy ra
\[y( - \frac{\pi }{2}) = - 1;y( - \frac{\pi }{3}) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - 1}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 4:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2x + \cos x\] trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]là :
Ta có\[y' = 2 - \sin x > 0\forall x \in R \Rightarrow \]Hàm số luôn đồng biến trên\[\left[ {0;1} \right]\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 5:
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - \infty \] , khi đó:
Hàm số\[y = f\left( x \right)\] có\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \] thì không có GTLN, GTNN trên R vì không tồn tại số\[M,m\] để
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6:
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
Ta có:
\[\mathop { + )\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3\] nên A sai.
+) \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 7\] nên B đúng.
+) Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \] nên không tồn tại\[\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right)\] nên C sai.
+)\[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3\] nên D sai.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 7:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A sai vì y=3 là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.
B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)\]
C sai vì x=2 là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.
D đúng vì trên đoạn \[\left[ {0;4} \right]\]thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng −1 đạt được tại x=2.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 8:
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y=3 là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.
Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là y=0 nên B đúng và C sai.
Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \].
Đáp án cần chọn là: B
Câu 9:
Cho hàm số y=f(x)) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y=f(x) trên đoạn \[\left[ { - 2;2} \right]\]
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \mathop {min}\limits_{[ - 2;2]} f(x) = - 5}\\{M = \mathop {max}\limits_{[ - 2;2]} f(x) = - 1}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: A
Câu 10:
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên đoạn \[\left[ {0;3} \right],\]hàm số \[y = - {x^3} + 3x\;\] đạt giá trị lớn nhất tại điểm
Khảo sát hàm số\[y = - {x^3} + 3x\] trên\[\left[ {0;3} \right]\]
\[ + y' = - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
+ BBT:
⇒ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=1.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 11:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[y = {x^3} - 5{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 1\] trên đoạn \[\left[ {2;4} \right]\]
\[y\prime = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \in [2;4]}\\{x = \frac{1}{3} \notin [2;4]}\end{array}} \right.\]
\[f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5\]
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số\[y = {x^3} - 5{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 1\]trên đoạn\[\left[ {2;4} \right]\]là M=−5
Đáp án cần chọn là: C
Câu 12:
Giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{6 - 8{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}}\] trên tập xác định của nó là:
TXĐ:\[D = R\]
Ta có:\[f'\left( x \right) = \frac{{8{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} - 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]
\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\]hoặc\[x = - \frac{1}{2}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0\]
Bảng biến thiên
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y=8 tại \[x = - \frac{1}{2}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 13:
Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^4} + 2{x^2} - 1\;\] trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\;\]lần lượt là M và m. Khi đó giá trị của M.m là:
TXĐ: \[D = R\]
Ta có:\[y' = 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right]\]
\[f( - 1) = 2,{\rm{\;f(0)\; = \;}} - 1,{\rm{\;f(2)\; = \; 23}}\]Ta thấy GTLN và GTNN lần lượt là\[M = 23,m = - 1 \Rightarrow M.m = 23.\left( { - 1} \right) = - 23\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 14:
Cho hàm số \[y = x + \frac{1}{x}.\] Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\;\]là:
TXĐ: \[R \setminus \left\{ 0 \right\}\]
\[y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1(tm)\]hoặc\[x = - 1(ktm)\]
Bảng biến thiên:
\[ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} \,y = f\left( 1 \right) = 2\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 15:
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3m{x^2} + 6\], giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \[\left[ {0;3} \right]\;\]bằng 2 khi:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
\[y' = 3{x^2} - 6mx.\]
Ta có:\[y\prime = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow y = 6}\\{x = 2m \Rightarrow y = - 4{m^3} + 6}\end{array}} \right.\]
Xét TH1: m=0. Hàm số đồng biến trên\[\left[ {0;3} \right] \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow \] loại.
Xét TH2: Khi đó, hàm số nghịch biến trên\[\left[ {0;3} \right] \subset \left[ {0;2m} \right]\]\[ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 33 - 27m = 2 \Rightarrow m = \frac{{31}}{{27}} < \frac{3}{2}\](loại)
Xét TH3: \[\frac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2m > 0\]thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;6) và điểm cực tiểu là \[\left( {2m, - 4{m^3} + 6} \right).\]Khi đó , GTNN trên\[\left[ {0;3} \right]\]là \[y\left( {2m} \right) = - 4{m^3} + 6\]
\[ \Rightarrow - 4{m^3} + 6 = 2 \Leftrightarrow {m^3} = 1 \Leftrightarrow m = 1\](thỏa mãn)
Xét TH4: \[m < 0 \Rightarrow \left( {0;6} \right)\]là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên \[\left[ {0;3} \right]\]hàm số đồng biến.\[ \Rightarrow {y_{min}} = 6 \Rightarrow \]loại.
Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 16:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Gọi a,A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x+1) trên đoạn \[\left[ { - 1;0} \right].\;\]Giá trị a+A bằng:
Đặt\[x + 1 = t.\]Khi đó:\[x \in \left[ { - 1;\,\,0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\]
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \mathop {Min}\limits_{[0;1]} f(t) = 0\,khi\,t = 0 \Rightarrow x = - 1}\\{A = \mathop {Max}\limits_{[0;1]} f(t) = 3\,khi\,t = 1 \Rightarrow x = 0}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow a + A = 0 + 3 = 3.\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 17:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ { - 1;4} \right]\;\]và có đồ thị như hình vẽ
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \[\left[ { - 10;10} \right]\;\]để bất phương trình \[|f(x) + m| < 2m\;\]đúng với mọi x thuộc đoạn \[\left[ { - 1;4} \right]?\]
Ta có:\[\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\]
\[ \Leftrightarrow - 2m < f\left( x \right) + m < 2m\]
\[ \Leftrightarrow - 3m < f\left( x \right) < m\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3m < \mathop {min}\limits_{[ - 1;4]} f(x)}\\{\mathop {max}\limits_{[ - 1;4]} f(x) < m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3m < - 2}\\{3 < m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{2}{3}}\\{m > 3}\end{array}} \right.\)</>
\[ \Leftrightarrow m > 3\]
Kết hợp điều kiện đề bài\[ \Rightarrow m \in \left( {3;10} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\]
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 18:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \[y = f\prime (x)\;\] như hình vẽ. Đặt \[g(x) = 2f(x) - {x^2}\]. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn \[\left[ { - 2;4} \right]\;\]là:
Ta có \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2} \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2x\]
Cho\[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x\,\,\,\left( 1 \right)\]
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
\[y = f'\left( x \right);\,\,y = x.\]
Vẽ đường thẳng y=xy=x và đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] trên cùng hệ trục tọa độ:
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số\[y = f'\left( x \right);\,\,y = x\] cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là \[ - 2;2;4.\]
\[ \Rightarrow g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.\]Bảng biến thiên đồ thị hàm số\[y = g\left( x \right)\]
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn \[\left[ { - 2;4} \right]\;\]là g(2).
Đáp án cần chọn là: B
Câu 19:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số \[g\left( x \right) = f({x^3} + 2x) + m\]. Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]bằng 9 là:
Ta có :\[g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 2} \right).f'\left( {{x^3} + 2x} \right)\]
\[g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + 2 = 0}\\{f\prime ({x^3} + 2x) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow f\prime ({x^3} + 2x) = 0\](Do phương trình \[3{x^2} + 2 = 0\;\]vô nghiệm).
Từ đồ thị hàm số f(x) đã cho ta có
\[f\prime ({x^3} + 2x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 2x = 0}\\{{x^3} + 2x = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = {x_0} \approx 0,77}\end{array}} \right.\]
Hàm số g(x) trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\]có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) + m = m + 1}\\{g\left( {{x_0}} \right) = f\left( 2 \right) + m = m - 3}\\{g\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) + m = m + 1}\end{array}\]
Do đó,\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = m + 1\]
Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên \[\left[ {0;1} \right]\]bằng 9 nên\[m + 1 = 9 \Leftrightarrow m = 8\]
Vậy m=8.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 20:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f(1 - 2cosx)\] trên \[\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right].\]Giá trị của M+m bằng
Đặt\[t = 1 - 2\cos x\]Với \[x \in \left[ {0;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\]thì\[\cos x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 1 - 2\cos x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;3} \right].\]
Khi đó ta có \[y = f\left( t \right)\]với \[t \in \left[ { - 1;3} \right]\]
Quan sát đồ thị hàm số\[y = f\left( t \right)\]trên đoạn\[\left[ { - 1;3} \right]\]ta thấy GTLN của hàm số là 2, GTNN của hàm số là \[ - \frac{3}{2}\]
\[ \Rightarrow M = 2,\,\,m = - \frac{3}{2} \Rightarrow M + m = \frac{1}{2}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 21:
Có bao nhiêu số nguyên \[m \in [ - 5;5]\;\] để \[\mathop {min}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \mid {x^3} - 3{x^2} + m\mid \ge 2.\]
Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m\] trên\[\left[ {1;3} \right]\] có
\[f\prime (x) = 3{x^2} - 6x,f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0(L)}\\{x = 2}\end{array}} \right.\]
Bảng biến thiên:
\[\mathop {min}\limits_{[1;3]} \mid {x^3} - 3{x^2} + m\mid \ge 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 4 > 0}\\{m < 0}\end{array}} \right.\]
TH1: \[m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4\]
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow m - 4 \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 6\]
Mà\[m \in \left[ { - 5;5} \right] \Rightarrow m \in \emptyset \]
TH2: m<0
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 2\]
Mà \[m \in \left[ { - 5;5} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\] : 4 giá trị.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 22:
Cho f(x) mà đồ thị hàm số \[y = f\prime (x)\;\] như hình vẽ bên
Bất phương trình \[f(x) > sin\frac{{\pi x}}{2} + m\;\] nghiệm đúng với mọi \[x \in [ - 1;3]\] khi và chỉ khi:
\[f(x) > sin\frac{{\pi x}}{2} + m\forall x \in [ - 1;3] \Leftrightarrow g(x) = f(x) - sin\frac{{\pi x}}{2} > m\forall x \in [ - 1;3] \Rightarrow m < \mathop {min}\limits_{[ - 1;3]} g(x)\]
Từ đồ thị hàm số\[y = f'\left( x \right)\] ta suy ra BBT đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] như sau:
Dựa vào BBT ta thấy\[f\left( x \right) \ge f\left( 1 \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow \frac{{\pi x}}{2} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow - 1 \le \sin \frac{{\pi x}}{2} \le 1}\\{ \Leftrightarrow - 1 \le - \sin \frac{{\pi x}}{2} \le 1}\end{array}\]
\[ \Rightarrow f\left( 1 \right) - 1 \le f\left( x \right) - \sin \frac{{\pi x}}{2} \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge f\left( 1 \right) - 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( x \right) = f\left( 1 \right) - 1\]
Vậy\[m < f\left( 1 \right) - 1\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 23:
Cho \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x\] Gọi \[M = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f(x);\;m = \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)\] Khi đó M−m bằng:
Ta có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x}\\{f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2} - 4x}}{4}}\end{array}\]
Đặt\[t = {x^2} - 4x + 5\] với \[x \in \left[ {0;3} \right]\] ta có\[t' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]\]
Ta có \[t\left( 0 \right) = 5;\,\,t\left( 2 \right) = 1,\,\,t\left( 3 \right) = 2\]
⇒ Với\[x \in \left[ {0;3} \right]\] thì\[t \in \left[ {1;5} \right]\] khi đó hàm số trở thành\[f\left( t \right) = \frac{1}{t} - \frac{{t - 5}}{4}\] với\[t \in \left[ {1;5} \right]\]
Ta có\[f'\left( t \right) = - \frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{4} < 0\,\,\forall t \in \left[ {1;5} \right]\]
⇒ Hàm số\[y = f\left( t \right)\] nghịch biến trên\[\left[ {1;5} \right]\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {max}\limits_{[0;3]} f(x) = \mathop {max}\limits_{[1;5]} f(t) = f(1) = 2 = M}\\{\mathop {min}\limits_{[0;3]} f(x) = \mathop {min}\limits_{[1;5]} f(t) = f(5) = \frac{1}{5} = m}\end{array}} \right.\)
Vậy \[M - m = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 24:
Cho hàm số f(x). Biết hàm số f′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn \[\left[ { - 4;3} \right],\]hàm số \[g(x) = 2f(x) + {(1 - x)^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
Ta có:\[g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {1 - x} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {1 - x} \right)} \right]\]
Xét \[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - x\] số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] và đường thẳng\[y = 1 - x\]
Ta biểu diễn đường thẳng\[y = 1 - x\] trên hình vẽ:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy\[f\prime (x) = 1 - x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4}\\{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\]
Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu g′(x) như sau:
Vậy hàm số đạt GTNN tại x=−1
Đáp án cần chọn là: A
Câu 25:
Cho hàm số \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] có đồ thị như hình bên:
Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số \[y = f(|x| - m)\;\] đồng biến trên khoảng \[\left( {10; + \infty } \right)\;\]là:
Ta có\[y = f\left( {\left| x \right| - m} \right) = f\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right)\]
\[ \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right)\]
Để hàm số đồng biến trên\[\left( {10; + \infty } \right)\]thì\[y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]
\[ \Rightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]
\[ \Rightarrow f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\]
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên \[\left( {1; + \infty } \right)\]và\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]
Do đó (∗)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{x^2}} - m \ge 1\forall x \in (10; + \infty )\,\,\,\,(1)}\\{\sqrt {{x^2}} - m \le - 1\forall x \in (10; + \infty )\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)
Xét (1) ta có\[m \le \sqrt {{x^2}} - 1\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right) \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} - 1} \right)\]
Xét \[g\left( x \right) = \sqrt {{x^2}} - 1\]trên khoảng\[\left( {10; + \infty } \right)\]ta có
\[g'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }} > 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]do đó hàm số đồng biến trên\[\left( {10; + \infty } \right)\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} - 1} \right) = g\left( {10} \right) = 9 \Leftrightarrow m \le 9\]
Xét (2) ta có: \[m \ge \sqrt {{x^2}} + 1\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right) \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} + 1} \right)\]
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2}} + 1} \right) = + \infty \] nên hàm số đã cho không có GTLN trên\[\left[ {10; + \infty } \right)\]do đó không tồn tại m thỏa mãn (2).
Vậy \[m \le 9\] nên giá trị nguyên lớn nhất của m bằng 9.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 26:
Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1\] và hàm số \[f(t) = {t^4} - {t^2} + 2\]. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[Q = f\left( {\frac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right)\] Tính M+m?
Ta có: \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} = 1\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = sin\alpha }\\{y = cos\alpha }\end{array}} \right.\) Ta có:\[Q = f\left( {\frac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right) = f\left( {\frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}} \right)\]
Đặt\[t = \frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}\] Ta có:\[Q = f\left( {\frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}} \right) = f\left( t \right)\]
\[\begin{array}{l}t = \frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}\,\,\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow t\sin \alpha + t{\rm{cos}}\,\alpha - 2t = \sin \alpha + 1 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\sin \alpha + t\,{\rm{cos}}\,\alpha = 2t + 1\end{array}\](*)
Để phương trình (*) tồn tại nghiệm \[\alpha \] thì\[{\left( {t - 1} \right)^2} + {t^2} \ge {\left( {2t + 1} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 + {t^2} \ge 4{t^2} + 4t + 1 \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le t \le 0\]
Xét\[Q = f\left( t \right) = {t^4} - {t^2} + 2\] trên đoạn\[\left[ { - 3;0} \right]\] có:
\[f\prime (t) = 4{t^3} - 2t,f\prime (t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = \pm \sqrt {\frac{1}{2}} }\end{array}} \right.\]
Hàm số \[f\left( t \right)\] liên tục trên\[\left[ { - 3;0} \right]\] có\[f\left( { - 3} \right) = 74,\,f\left( { - \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) = \frac{7}{4},\,f\left( 0 \right) = 2\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = \frac{7}{4},\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = 74\]
⇒M + m\[ = \frac{7}{4} + 74 = \frac{{303}}{4}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 27:
Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt bên và có thể tích bằng 16cm3. Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng bao nhiêu cm2? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.)
Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là \[S.ABCD\]. Gọi\[O = AC \cap BD\] đặt\[AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\] tính SO theo x.
Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD Gọi\[O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\]
Đặt\[AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\] ta có \[{S_{ABCD}} = {x^2}\]
\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{x^2} = 16 \Leftrightarrow SO = \frac{{48}}{{{x^2}}}\]
Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD. Tính SM theo x, từ đó tính \[{S_{{\rm{\Delta }}SCD}}\] theo x.
Gọi M là trung điểm của CD ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot OM}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SOM) \Rightarrow CD \bot SM\)
Ta có\[OM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2}\] áp dụng định lí Pytago ta có:
\[SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{48}}{{{x^2}}}} \right)}^2} + \frac{{{x^2}}}{4}} \]
\[ \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}SCD}} = \frac{1}{2}SM.CD = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{{48}}{{{x^2}}}} \right)}^2} + \frac{{{x^2}}}{4}} .x = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4}} \]
Bước 3: Tìm GTNN của diện tích mạ vàng
Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì\[{S_{{\rm{\Delta }}SCD}}\] nhỏ nhất\[ \Rightarrow \frac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4}\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có
\[\frac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4} = \frac{{1152}}{{{x^2}}} + \frac{{1152}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{1152}}{{{x^2}}} + \frac{{1152}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4}}}\]
\[ \ge 3.\sqrt[3]{{331776}}\] (BĐT Cô-si).
Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là \[4.3.\sqrt[3]{{331776}} \approx 831\,c{m^3}\]
Câu 28:
Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích V=6m3 dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp và các mặt xung quanh đều được đổ bê tông cốt thép. Phần nắp bể để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \(\frac{2}{9}\) diện tích nắp bể. Biết rằng chi phí cho 1m2 bê tông cốt thép là 1.000.000d. Tính chi phí thấp nhất mà cô Ngọc phải trả khi xây bể (làm tròn đến hàng trăm nghìn và các chữ số viết liền)?
Bước 1: Gọi x(m),3x(m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể. Tính chiều cao của bể.
Gọi x(m),3x(m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể, h là chiều cao của bể.
Theo bài ra ta có: \[V = x.3x.h = 6 \Rightarrow h = \frac{6}{{3{x^2}}} = \frac{2}{{{x^2}}}\,\,\left( m \right)\]
Bước 2: Tính tổng diện tích các mặt làm bê tông.
Khi đó tổng diện tích các mặt bể được làm bê tông là:
\[2x.\frac{2}{{{x^2}}} + 2.3x.\frac{2}{{{x^2}}} + 2x.3x - x.3x.\frac{2}{9} = \frac{{16{x^2}}}{3} + \frac{{16}}{x}\]
Bước 3: Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương để tính số tiền ít nhất cần tìm
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\[\frac{{16{x^2}}}{3} + \frac{{16}}{x} = \frac{{16{x^2}}}{3} + \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{16{x^2}}}{3}.\frac{8}{x}.\frac{8}{x}}} = 8\sqrt[3]{{18}}\]
Dấu “=” xảy ra khi\[\frac{{16{x^2}}}{3} = \frac{8}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{3}{2}}}\]
Vậy số tiền ít nhất mà cô Ngọc cần bỏ ra là \[8\sqrt[3]{{18}}{.10^6} \approx 21.000.000d\]