IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

  • 284 lượt thi

  • 29 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hàm số y=f(x) có nguyên hàm trên (a;b)  đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:

Xem đáp án

Đặt\[t = f\left( x \right) \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \Rightarrow t = f(a)}\\{x = b \Rightarrow t = f(b)}\end{array}} \right.\)

Khi đó\[I = \mathop \smallint \limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {e^t}dt = 0\](Vì\[f\left( a \right) = f\left( b \right)\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R  và \[\mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 2\] . Mệnh đề nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Dựa vào các đáp án, xét:

\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f(2x)dx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f(2x)d(2x) = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 1\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f(x + 1)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f(x + 1)d(x + 1)}\\{ = \mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 2}\end{array}\]

\[\mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f(x - 2)dx = \mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2) = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 1\]

Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 3:

Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên \[\left[ { - a;a} \right].\]Chọn kết luận đúng:

Xem đáp án

Hàm số\[y = f\left( x \right)\]là hàm số lẻ nếu\[f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\]

Đặt\[x = - t \Rightarrow dx = - dt\]

Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \Rightarrow t = - a}\\{x = - a \Rightarrow t = a}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^{ - a} f\left( { - t} \right)\left( { - dt} \right) = \mathop \smallint \limits_{ - a}^a \left( { - f\left( t \right)} \right)dt = - \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( t \right)dt = - \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx\]

Do đó

\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = - \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx \Leftrightarrow 2\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 4:

Cho \[\mathop \smallint \nolimits_0^4 f(x)dx = - 1\], tính \(I = \mathop \smallint \limits_0^1 f(4x)dx\):

Xem đáp án

Đặt\[4x = t\]khi đó\[4dx = dt\]

Đổi cận với x=0 thì t=0;x=1 thì t=4

\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( {4x} \right)dx = \frac{1}{4}\mathop \smallint \limits_0^4 f(t)dt = - \frac{1}{4}\]

vì tích phân không phụ thuộc vào biến số.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx\] Đặt \[u = 8 + cosx\] thì kết quả nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đặt\[u = 8 + \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx \Rightarrow \sin xdx = - du\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 9}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow I = - \mathop \smallint \limits_9^8 \sqrt u du = \mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 7:

Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx\] bằng phương pháp đổi biến số \[u = \sqrt {{e^x} - 1} \]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Xem đáp án

Đặt\[u = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {u^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2udu = {e^x}dx\] và\[{e^x} = {u^2} + 1\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = ln2 \Rightarrow u = 1}\\{x = ln5 \Rightarrow u = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có

\(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx = 2\int\limits_1^2 {\frac{{({u^2} + 1)udu}}{u}} } = 2\int\limits_1^2 {({u^2} + 1)du} = = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 8:

Biết rằng \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a\] với \[a \in R\]. Khi đó giá trị của a bằng:

Xem đáp án

Đặt\[{x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}\]

Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 1 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{2}\ln \left| t \right|\left| {_1^2} \right. = \frac{1}{2}(ln2 - ln1)\)

\[ = \frac{1}{2}\ln 2 = \ln \sqrt 2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 9:

Cho \[2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0\]. Khi đó \[144{m^2} - 1\;\]bằng:

Xem đáp án

Đặt\[t = {x^4} + 2 \Rightarrow dt = 4{x^3}dx\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 2}\\{x = 1 \Rightarrow t = 3}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:

\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = \int\limits_2^3 {\frac{{dt}}{{{t^2}}}} = \frac{{ - 1}}{t}\left| {_2^3} \right. = \frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\]

\( \Rightarrow 2\sqrt 3 m - \frac{1}{6} \Leftrightarrow m = \frac{1}{{12\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{36}} \Rightarrow 144{m^2} - 1 = - \frac{2}{3}\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 10:

Đổi biến \[u = \ln x\] thì tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx\] thành:

Xem đáp án

Đặt u = lnx ⇒\[ \Rightarrow du = \frac{{dx}}{x}\] và\[x = {e^u}\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow u = 0}\\{x = e \Rightarrow u = 1}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có: \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{1 - u}}{{{e^u}}}du = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 11:

Cho \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx\] và \[t = \sqrt {1 + 3lnx} \;\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Xem đáp án

Đặt

\[t = \sqrt {1 + 3\ln x} \Rightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x \Rightarrow 2tdt = \frac{{3dx}}{x} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{3}tdt\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = e \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt = } \frac{2}{3}\frac{{{t^3}}}{3}\left| {_1^2} \right. = \frac{2}{9}{t^3}\left| {_1^2} \right. = \left( {\frac{2}{9}{t^3} + 2} \right)\left| {_1^2} \right. = \frac{2}{9}(8 - 1) = \frac{{14}}{9}\)

Vậy A sai.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 12:

Kết quả tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx\] có dạng \[I = aln2 + b\;\] với \[a,b \in Q\;\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Cách 1: Đặt\[t = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow dt = 2\ln x\frac{{dx}}{x} \Rightarrow \frac{{\ln xdx}}{x} = \frac{{dt}}{2}\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = e \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{2}\ln \left| t \right|\left| {_1^2} \right. = \frac{1}{2}\ln 2 = aln2 + b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{2}}\\{b = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow 2a + b = 1\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 13:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^{\sqrt 3 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx\]. Nếu đổi biến số \[t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\;\] thì:

Xem đáp án

Đặt

\[\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}\\{ \Rightarrow 2tdt = - \frac{2}{{{x^3}}}dx \Rightarrow tdt = - \frac{{dx}}{{{x^3}}}}\end{array}\]

Và\[{t^2}{x^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2}\left( {{t^2} - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{{{t^2} - 1}} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = - \frac{t}{{{t^2} - 1}}dt\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 }\\{x = \sqrt 3 \Rightarrow t = \frac{2}{{\sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:\[I = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 14:

Đổi biến \[x = 4\sin t\] của tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} } \) ta được:

Xem đáp án

Đặt\[x = 4\sin t \Rightarrow dx = 4\cos tdt\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \sqrt 8 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:

\[I = 4\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sqrt {16 - 16{{\sin }^2}t} \cos tdt = 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos ^2}tdt = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 + \cos 2t} \right)dt\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 15:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\]. Bằng phương pháp đổi biến thích hợp ta đưa được tích phân đã cho về dạng:

Xem đáp án

Đặt \[x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có: \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} dt\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 16:

Tìm a biết \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \frac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\) với a,bb là các số nguyên dương.

Xem đáp án

Đặt \[t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = {e^{ - 1}}}\\{x = 2 \Rightarrow t = {e^2}}\end{array}} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}} {\frac{{dt}}{{t + 2}}} = ln|t + 2|\left| {_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}}} \right. = ln({e^2} + 2) - ln({e^{ - 1}} + 2) = ln\frac{{{e^2} + 2}}{{{e^{ - 1}} + 2}}\\ = \ln \frac{{{e^2} + 2}}{{\frac{1}{e} + 2}} = \ln \frac{{2e + {e^3}}}{{2e + 1}} = \ln \frac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ae + {e^3} = 2e + {e^3}}\\{ae + b = 2e + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

 \[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{{\rm{e}}\ln n}}\ln \left( {p + \frac{{\rm{e}}}{{{\rm{e}} + \pi }}} \right)\] với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng \[S = m + n + p\].

Xem đáp án

Ta có\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {{x^3} + \frac{{{2^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}} \right){\rm{d}}x\]

\( = \frac{{{x^4}}}{4}\left| {_0^1} \right. + \int\limits_0^1 {\frac{{{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}dx} = \frac{1}{4} + \int\limits_0^1 {\frac{{{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}dx = \frac{1}{4} + J} \)

Tính\[J = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{{2^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x\]

Đặt\[\pi + {\rm{e}}{.2^x} = t \Rightarrow {\rm{e}}{.2^x}\ln 2{\rm{d}}x = {\rm{d}}t \Leftrightarrow {2^x}{\rm{d}}x = \frac{1}{{{\rm{e}}.\ln 2}}{\rm{d}}t\]

Đổi cận: Khi x=0 thì \[t = \pi + {\rm{e}}\] khi x=1 thì\[t = \pi + 2{\rm{e}}\]

Khi đó

\[J = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{{2^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{{eln2}}\int\limits_{\pi + e}^{\pi + 2e} {\frac{1}{t}} dt = \frac{1}{{eln2}}\ln \left| t \right|\left| {_{\pi + e}^{\pi + 2e}} \right. = \frac{1}{{eln2}}\ln \left( {1 + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)\]

Suy ra\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{4} + \frac{1}{{{\rm{e}}\ln 2}}\ln \left( {1 + \frac{{\rm{e}}}{{{\rm{e}} + \pi }}} \right) \Rightarrow m = 4,n = 2,p = 1\]

Vậy\[S = 7\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 19:

Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = - \frac{7}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi \,\,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right).\]. Tính \(\frac{b}{c}\).

Xem đáp án

Ta có\[3\sin x + \cos x = A\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) + B\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 3sinx + cosx = (2A - 3B)sinx + (3A + 2B)cosx\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2A - 3B = 3}\\{3A + 2B = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = \frac{9}{{13}}}\\{B = - \frac{7}{{13}}}\end{array}} \right.\)

Nên

\[3\sin x + \cos x = \frac{9}{{13}}\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) - \frac{7}{{13}}\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\]

Từ đó ta có

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3sinx + cosx}}{{2sinx + 3cosx}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\frac{9}{{13}}(2sinx + 3cosx) - \frac{7}{{13}}(2cosx - 3sinx)}}{{2sinx + 3cosx}}dx} \)

\(\begin{array}{l} = \frac{9}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx - \frac{7}{{13}}} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2cosx - 3sinx}}{{2sinx + 3cosx}}} dx\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{2sinx + 3cosx}}} d(2sinx + 3cosx)\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}ln|2sinx + 3cosx|\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}ln2 + \frac{7}{{13}}ln3\end{array}\)

Suy ra\[b = \frac{7}{{13}};c = \frac{9}{{26}} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{{14}}{9}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 20:

Cho \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 1.\]Tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx\]

Xem đáp án

Đặt\[t = \sin 2x \Rightarrow dt = 2\cos 2xdx \Rightarrow - \frac{1}{2}dt = \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)dx\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( t \right)dt = - \frac{1}{2}.1 = - \frac{1}{2}.\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 21:

Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left[ { - 1;2} \right]\]và thỏa mãn điều kiện \[f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\] Tính tích phân \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx\]

Xem đáp án

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)}\\{ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 \sqrt {x + 2} dx + \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx}\\{ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2}}\end{array}\]

Xét tích phân\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 \sqrt {x + 2} dx\]

Đặt\[t = \sqrt {x + 2} \Rightarrow {t^2} = x + 2 \Rightarrow 2tdt = dx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {t.2tdt = } 2\int\limits_1^2 {{t^2}.dt = } \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {_1^2} \right. = \frac{{14}}{3}\)

Xét tích phân\[{I_2} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx\]

Đặt\[u = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdxu = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdx\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow u = 2}\\{x = 2 \Rightarrow u = - 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow {I_2} = \mathop \smallint \limits_2^{ - 1} - \frac{1}{2}f\left( u \right)du = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}I\]

Vậy \[I = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{2}I \Leftrightarrow \frac{1}{2}I = \frac{{14}}{3} \Leftrightarrow I = \frac{{28}}{3}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 22:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \[x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị của \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\] là:

Xem đáp án

Ta có: \[x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2}.f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {{x^2} - 1} \right) = x{e^{{x^2}}}\]

Lấy tích phân tư -1 đến 0 hai vế phương trình ta có:

\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 x{e^{{x^2}}}dx\,\,\left( * \right)\]

Xét\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx\]

Đặt \[t = {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{dt}}{3}\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = - 1}\\{x = 0 \Rightarrow t = 0}\end{array}} \right.\) khi đó ta có\[{I_1} = \frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( t \right)dt = \frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\]

Xét\[{I_2} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx\]

Đặt\[u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow u = 0}\\{x = 0 \Rightarrow u = - 1}\end{array}} \right.\) khi đó ta có\[{I_2} = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^{ - 1} f\left( u \right)du = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\]

Xét \[{I_3} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 x{e^{{x^2}}}dx\]

Đặt\[v = {x^2} \Rightarrow dv = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dv\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow v = 1}\\{x = 0 \Rightarrow v = 0}\end{array}} \right.\)  khi đó ta có

\({I_3} = \frac{1}{2}\int\limits_1^9 {{e^v}dv = \frac{1}{2}} {e^v}\left| {_1^0} \right. = \frac{1}{2} - \frac{e}{2} = \frac{{1 - e}}{2}\)

Thay tất cả vào (*) ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = \frac{{1 - e}}{2}}\\{ \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = \frac{{1 - e}}{2}}\\{ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = 3\left( {e - 1} \right)}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 23:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = 5\] Tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]

Xem đáp án

Ta có:\[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]

Xét \[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]đặt\[t = \pi - x \Rightarrow dt = - dx\]

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}}\\{x = \pi \Rightarrow t = 0}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{I_1} = - \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{2}}^0 \left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin \left( {\pi - t} \right)} \right)\,dt}\\{\,\,\,\,\,\, = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin t} \right)\,dt}\\{\,\,\,\,\,\, = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\pi - x} \right)f\left( {\sin x} \right)\,dx}\\{\,\,\,\,\,\, = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx - \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)\,dx}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)dx + \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx - \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} xf\left( {\sin x} \right)\,dx}\\{ \Rightarrow I = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\,dx = 5\pi .}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 24:

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4,\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2\]. Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right){\rm{d}}x\]

Xem đáp án

Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4\]

Đặt\[t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 9 \Rightarrow t = 3}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có: \[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_1^3 \frac{{f\left( t \right)2tdt}}{t} = 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( t \right)dt = 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx\]

\[ \Rightarrow 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 2\]

Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2\]

Đặt\[u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow u = 0}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( u \right)du = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 2\]

Vậy \[I = \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x + \mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right){\rm{d}}x = 2 + 2 = 4\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 25:

Với mỗi số k, đặt \[{I_k} = \int\limits_{ - \sqrt k }^{\sqrt k } {\sqrt {k - {x^2}} } dx\]. Khi đó \[{I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_{12}}\;\] bằng:

Xem đáp án

Đặt\[x = \sqrt k \sin t \Rightarrow dx = \sqrt k \cos tdt\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \sqrt k \Leftrightarrow sint = - 1 \Leftrightarrow t = - \frac{\pi }{2}}\\{x = \sqrt k \Leftrightarrow sint = 1 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có

\[{I_k} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {k - k{{\sin }^2}t} } .\sqrt k costdt\]


Câu 26:

Biết hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên \[\left[ {0;2} \right],f\left( 0 \right) = \sqrt 5 ,f\left( 2 \right) = \sqrt {11} .\] Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right).f'\left( x \right)dx\] bằng:

Xem đáp án

\[I = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right).f'\left( x \right)dx\]

Đặt\[f\left( x \right) = t \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 5 }\\{x = 2 \Rightarrow t = \sqrt {11} }\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{\sqrt {11} } {tdt = \frac{{{t^2}}}{2}} \left| {_{\sqrt 5 }^{\sqrt {11} }} \right. = \frac{1}{2}(11 - 5) = 3.\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 27:

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 3\mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right)dt = 6\]. Giá trị của \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx\] bằng:

Xem đáp án

Ta có\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f\left( {1 - 2x} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^1 f\left( {2x - 1} \right)dx\]

\[ \Rightarrow I = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} f\left( {1 - 2x} \right)d\left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^1 f\left( {2x - 1} \right)d\left( {2x - 1} \right)\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow I = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_3^0 f\left( t \right)dt + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( t \right)dt}\\{ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^3 f\left( t \right)dt + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( t \right)dt = \frac{1}{2}\left( {2 + 6} \right) = 4}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 28:

Cho f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \[f(x) = f(2020 - x)\;\] và \[\int\limits_3^{2017} {f(x)dx = 4} \]. Khi đó \[\int\limits_3^{2017} {xf(x)dx} \] bằng:

Xem đáp án

Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_3^{2017} xf\left( x \right)dx\]

Đặt\[x = 2020 - t \Rightarrow dx = - dt\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \Rightarrow t = 2017}\\{x = 2017 \Rightarrow t = 3}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:

\[\begin{array}{l}\mathop \smallint \limits_3^{2017} xf\left( x \right)dx = - \int\limits_{2017}^3 {(2020 - t)f(2020 - t)dt} \\ = \mathop \smallint \limits_3^{2017} (2020 - x)f(2020 - x)dx\\ = \mathop \smallint \limits_3^{2017} (2020 - x)f(x)dx\\ = 2020\mathop \smallint \limits_3^{2017} f(x)dx - \mathop \smallint \limits_3^{2017} xf(x)dx\\ \Leftrightarrow 2\mathop \smallint \limits_3^{2017} xf(x)dx = 2020\mathop \smallint \limits_3^{2017} f(x)dx\\ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_3^{2017} xf(x)dx = 1010.4\\ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_3^{2017} xf(x)dx = 4040\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx\]

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính  (ảnh 1)

Xem đáp án

Bước 1: Đổi biến

Đặt\[t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 4}\end{array}} \right.\)

Bước 2:

Khi đó ta có \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^4 2f\left( t \right)dt = 2\mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx\]

\[ = 2\left[ {\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_3^4 f\left( x \right)dx} \right] = 2\left( {4 - 1} \right) = 6\]


Bắt đầu thi ngay