$\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = \frac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}} > 9 \Leftrightarrow {3^x} > {{9.7}^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {3^x} > {3^2}{{.7}^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_3}{3^{x - 2}} > {{\log }_3}{7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow x - 2 > ({x^2} - 4){{\log }_3}7}\end{array}$

Từ đó dựa vào các đáp án ta thấy A đúng.

$\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}}\\{ \Leftrightarrow \ln {3^{x - 2}} > \ln {7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\ln 3 > ({x^2} - 4)\ln 7}\end{array}$=> B đúng

$\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}}\\{ \Leftrightarrow \log {3^{x - 2}} > \log {7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\log 3 > ({x^2} - 4)\log 7}\end{array}$=> C đúng

$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > 7{x^{2 - 4}}\\ \Leftrightarrow lo{g_{0,2}}{3^{x - 2}} < lo{g_{0,2}}7{x^{2 - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)lo{g_{0,2}}3 < ({x^2} - 4)lo{g_{0,2}}7\end{array}$=> D sai</>

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

Ta có ${5^x} < 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} + 2x - 7 < 0$

Ta có${5^x} > 0$với$\forall x$nên $\left( {7 - 2x} \right) > 0 \Leftrightarrow x < \frac{7}{2}$

Xét hàm$f\left( x \right) = {5^x} + 2x - 7$trên$\left( { - \infty ;\frac{7}{2}} \right)$

Có$f'\left( x \right) = {5^x}\ln 5 + 2 > 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{7}{2}} \right)$

Do đó hàm số đồng biến trên$\left( { - \infty ;\frac{7}{2}} \right)$hay$f\left( x \right) < f\left( 1 \right) = 0,\forall x < 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là$\left( { - \infty ;1} \right)$

Đáp án cần chọn là: B

${3^{3x - 2}} + \frac{1}{{{{27}^x}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{{3^{3x}}}}{9} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} \le \frac{2}{3}$

 Đặt$t = {3^{3x}}\left( {t > 0} \right)$

Bpt $\Leftrightarrow \frac{t}{9} + \frac{1}{t} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 9 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow t = 3$

Khi đó${3^{3x}} = 3 \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

${e^x} + {e^{ - x}} < \frac{5}{2} \Leftrightarrow {e^{2x}} + 1 < \frac{5}{2}{e^x} \Leftrightarrow 2{e^{2x}} - 5{e^x} + 2 < 0$

$\Leftrightarrow \left( {{e^x} - 2} \right)\left( {2{e^x} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < {e^x} < 2 \Leftrightarrow - \ln 2 < x < \ln 2$

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: A

${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge 2 \Leftrightarrow {2^{ - x}} \ge 2 \Leftrightarrow - x \ge 1 \leftrightarrow x \le - 1 \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - 1} \right]$

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Vì $0 < \frac{1}{3} < 1$ nên ta có

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x - 2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3x - 10} < x - 2$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 3x - 10 < {{(x - 2)}^2}}\\{{x^2} - 3x - 10 \ge 0}\\{x - 2 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 5 \le x < 14$

$\Rightarrow x = \{ 5,6,7,8,9,10,11,12,13\}$

Đáp án cần chọn là: CCâu 12. Tìm tập nghiệm của bất phương trình $0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09$

A.$\left( { - \infty ; - 2} \right)$

B. $\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$

C. $\left( { - 2;1} \right)$

D. $\left( {1; + \infty } \right)$Trả lời:

$0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09 \Leftrightarrow 0,{3^{{x^2} + x}} > 0,{3^2} \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2{\rm{x}}}} \ge \frac{1}{{125}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2{\rm{x}}}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le {\rm{x}} \le 3\end{array}$

Số nghiệm nguyên là 5.

Đáp án cần chọn là: D

$\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) > 1 \Leftrightarrow {5^x}{{.9}^{{x^3}}} > 1 \Leftrightarrow \ln \left( {{5^x}{{.9}^{{x^3}}}} \right) > 0 \Leftrightarrow x\ln 5 + {x^3}\ln 9 > 0}\\{ \Leftrightarrow x.\frac{{\ln 5}}{{\ln 9}} + {x^3} > 0 \Leftrightarrow x{{\log }_9}5 + {x^3} > 0}\\{ \Leftrightarrow x + {x^3}.\frac{1}{{{{\log }_9}5}} > 0 \Leftrightarrow x + {x^3}{{\log }_5}9 > 0}\end{array}$

Do đó B, C, D đúng

Đáp án cần chọn là: A

${\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1$

Lấy loganepe hai vế ta có$\ln {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < \ln 1\,\,\left( * \right)$

Vì

${x^2} + x + 1 = {(x + \frac{1}{2})^2} + 34 > 0 \Rightarrow ( * ) \Leftrightarrow xln$

$({x^2} + x + 1) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{ln({x^2} + x + 1) > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{ln({x^2} + x + 1) < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{{x^2} + x + 1 > 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{x^2} + x + 1 < 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{{x^2} + x > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{x^2} + x < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x < - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{ - 1 < x < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x < - 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là$\left( { - \infty ; - 1} \right)$

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

Theo đề bài ta có : $f\left( x \right) < {e^x} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^x} < m$

Đặt$g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x}.$  Khi đó :

$\begin{array}{l}f(x) < {e^x} + m\forall x \in ( - 1;1)\\ \Rightarrow g(x) = f(x) - {e^x} < m\forall x \in ( - 1;1)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{[ - 1;1]} g(x)\\g\prime (x) = f\prime (x) - {e^x}\end{array}$

 Trên (−1;1) ta có $f'\left( x \right) < 0;\,\,{e^x} > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)$

⇒g(x) nghịch biến trên (−1;1).

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}}\\{ \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}.}\end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:${4^x} - {5.2^x} + 4 < 0\,\,\,\left( * \right)$

Đặt$t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow ( * ) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 < 0\\ \Leftrightarrow (t - 1)(t - 4) < 0\\ \Leftrightarrow 1 < t < 4\\ \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 4\\ \Leftrightarrow 0 < x < 2\end{array}$

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 1.$

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên.

Đáp án cần chọn là: A

$\left( {{3^{{x^2} - x}} - 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - m} \right) \le 0$

TH1: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{{x^2} - x}} - 9 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{2^{{x^2}}} - m \ge 0\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\left( I \right)$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {3^{{x^2} - x}} \le {3^2} \Leftrightarrow {x^2} - x \le 2 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2$

⇒ Số nghiệm nguyên của bất phương trình (1) là  4 nghiệm, gồm $\left\{ { - 1;0;1;2} \right\}$

Như vậy hệ có tối đa 4 nghiệm nguyên, hay bất phương trình ban đầu cũng chỉ có tối đa 4 nghiệm nguyên (Loại).

TH2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{{x^2} - x}} - 9 \ge 0\,\,\,\,\left( {1'} \right)}\\{{2^{{x^2}}} - m \le 0\,\,\,\,\left( {2'} \right)}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\left( {II} \right)$

$(1\prime ) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 2}\\{x \le - 1}\end{array}} \right.$

$\left( {2'} \right) \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} \le m \Leftrightarrow {x^2} \le {\log _2}m \Leftrightarrow - \sqrt {{{\log }_2}m} \le x \le \sqrt {{{\log }_2}m}$

Để (II) có nghiệm thì$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {lo{g_2}m} \le - 1}\\{\sqrt {lo{g_2}m} \ge 2}\end{array}} \right.$

Mà bất phương trình ban đầu có 5 nghiệm nguyên nên các nghiệm đó bắt buộc phải là -3, -2, -1, 2, 3.

Do đó

$3 \le \sqrt {{{\log }_2}m} < 4 \Leftrightarrow 9 \le {\log _2}m < 16 \Leftrightarrow 512 \le m < 65536$

Vậy có$65535 - 512 + 1 = 65024$giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Đáp án cần chọn là: B

$\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < \ln {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right) < n\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right)}}{n} < \frac{{\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)}}{{2020}}\end{array}$

Xét hàm đặc trưng$f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{x}\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$ta có:

$\begin{array}{l}f\prime (x) = \frac{{\frac{{({2^x} + {3^x})\prime }}{{{2^x} + {3^x}}}.x - ln({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\\f\prime (x) = \frac{{({2^x}ln2 + {3^x}ln3)x - ({2^x} + {3^x}).ln({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\\ = \frac{{{2^x}ln2.x - {2^x}ln({2^x} + {3^x}) + {3^x}ln3.x - {3^x}ln({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\\f\prime (x) = \frac{{{2^x}(xln2 - ln({2^x} + {3^x})) + {3^x}(xln3 - ln({2^x} + {3^x}))}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\\f\prime (x) = \frac{{{2^x}[ln{2^x} - ln({2^x} + {3^x})] + {3^x}[ln{3^x} - ln({2^x} + {3^x})]}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\end{array}$

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow ln{2^x} < ln({2^x} + {3^x})}\\{{3^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow ln{3^x} < ln({2^x} + {3^x})}\end{array}} \right. \Rightarrow f\prime (x) < 0\forall x \in \mathbb{N} *$

⇒ Hàm số$y = f\left( x \right)$nghịch biến trên${\mathbb{N}^ * }$

Lại có: $f\left( n \right) < f\left( {2020} \right) \Leftrightarrow n > 2020$</>

Kết hợp điều kiện đề bài ta có$2020 < n \le 9999,\,\,n \in {\mathbb{N}^ * }$

Vậy có$\frac{{9999 - 2021}}{1} + 1 = 7979$giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{xy - {y^2}}}}\\{ \Leftrightarrow Pxy - P{y^2} = {x^2} + 3{y^2}}\\{ \Leftrightarrow \left( {P + 3} \right){y^2} - Pxy + {x^2} = 0}\end{array}$

Phương trình trên có nghiệm khi

$\begin{array}{l}\Delta = {P^2}{x^2} - 4(P + 3){x^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 4P - 12 \ge 0\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{P \ge 6}\\{P \le - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow MinP = 6\end{array}$

Dấu bằng xáy ra khi$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{Px}}{{2(P + 3)}} = \frac{x}{3}}\\{\frac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{xy - {y^2}}} = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 3y$

Dễ thấy x=3y thỏa mãn điều kiện bài cho vì:

$\begin{array}{l}{\left( {{2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}}} \right)^y} < {\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)^{3y}}\\ \Leftrightarrow {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} < {\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} < {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} + {3.2^y}.\frac{1}{{{2^y}}}.\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < 3\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)\end{array}$

Bđt trên luôn đúng với mọi y>0.

Đáp án cần chọn là: D

${4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Đặt${2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right).$

Khi đó bất phương trình đã cho$\Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + m < 0\,\,\,\left( * \right).$

TH1:$m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} < 0$=> bất phương trình vô nghiệm.</>

⇒m=1 thỏa mãn.

TH2: $m \ne 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - mt - t + m < 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - t - \left( {mt - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 1} \right) - m\left( {t - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - m} \right) < 0\,\,\,\end{array}$

+) Với m>1⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {1;\,\,m} \right) \subset \left( {0; + \infty } \right)$

⇒ Bất phương trình  (∗) luôn có nghiệm t>0

⇒(1) luôn có nghiệm xx ⇒m>1 không thỏa mãn.

+) Với m<1 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là:$S = \left( {m;\,\,1} \right)$

⇒ Bất phương trình  (∗) luôn có nghiệm 0<t<1

⇒(1) luôn có nghiệm x ⇒m<1 không thỏa mãn.

Vậy chỉ có m=1 thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C