Bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
-
547 lượt thi
-
15 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Với hai số phức bất kì z1,z2, khẳng định nào sau đây đúng:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2:
Cho số phức z thỏa mãn |z−2−2i|=1. Số phức z−i có mô đun nhỏ nhất là:
Ta có:
|z−i|=|(z−2−2i)+(i+2)|≥||z−2−2i|−|i+2||=|1−√5|=√5−1
Vậy|z−i|≥√5−1nênmin
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3:
Xác định số phức z thỏa mãn \left| {z - 2 - 2i} \right| = \sqrt 2 mà \left| z \right|\;đạt giá trị lớn nhất.
Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
\sqrt 2 = |z - 2 - 2i| \ge |z| - | - 2 - 2i| = |z| - 2\sqrt 2 \Rightarrow |z| \le 3\sqrt 2
Suy ra\max |z| = 3\sqrt 2
Kiểm tra các đáp án đã cho chỉ có đáp án C thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 4:
Cho số phức z có \left| z \right| = 2\;thì số phức w = z + 3i\; có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là
Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
\left| {|z| - |3i|} \right| \le |z + 3i| \le \left| {|z| + |3i|} \right| \Leftrightarrow |2 - 3| \le |w| \le |2 + 3| \Leftrightarrow 1 \le |w| \le 5
Nhận thấy vớiz = - 2i thì \left| w \right| = 1 và vớiz = 2i thì\left| w \right| = 5 nên 1 và 5 là GTNN và GTLN của \left| w \right|
Đáp án cần chọn là: D
Câu 5:
Cho số phức z thoả \left| {z - 3 + 4i} \right| = 2\;và w = 2z + 1 - i. Khi đó \left| w \right| có giá trị lớn nhất là:
Ta có|z - 3 + 4i| = 2 \Leftrightarrow |2z - 6 + 8i| = 4.
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có
4 = |2z - 6 + 8i| = |(2z + 1 - i) - (7 - 9i)| \ge |2z + 1 - i| - |7 - 9i| = |w| - \sqrt {130}
\Rightarrow |w| - \sqrt {130} \le 4 \Rightarrow |w| \le 4 + \sqrt {130}
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn \left| {{z^2} - i} \right| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của \left| {\overline z } \right|
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
1 = \left| {{z^2} - i} \right| \ge \left| {{z^2}} \right| - \left| i \right| = {\left| z \right|^2} - 1 \Rightarrow {\left| z \right|^2} \le 2 \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\bar z} \right| \le \sqrt 2
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7:
Cho số phức z thỏa mãn\left| {z - 1 - 2i} \right| = 4. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \left| {z + 2 + i} \right|.Tính S = {M^2} + {m^2}
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2 - 4 = m
|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2 = M
Suy ra
{M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2 - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68
Đáp án cần chọn là: C
Câu 8:
Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x - 4y - 3 = 0,\left| z \right|\;nhỏ nhất bằng.
Giả sửz = x + yi ta có3x - 4y - 3 = 0suy ray = \frac{3}{4}\left( {x - 1} \right)
Ta có
\begin{array}{l}|z| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + \frac{9}{{16}}{{(x - 1)}^2}} = \frac{1}{4}\sqrt {16{x^2} + 9{{(x - 1)}^2}} \\ = \frac{1}{4}\sqrt {25{x^2} - 18x + 9} = \frac{1}{4}\sqrt {{{\left( {5x - \frac{9}{5}} \right)}^2} + \frac{{144}}{{25}}} \ge \frac{1}{4}.\frac{{12}}{5} = \frac{3}{5}\end{array}
Dấu “=” xảy ra khix = \frac{9}{{25}}vày = - \frac{{12}}{{25}}
Đáp án cần chọn là: B
Câu 9:
Cho số phức z thỏa mãn \left| {z + 3} \right| + \left| {z - 3} \right| = 10.Giá trị nhỏ nhất của \left| z \right|\;là:
Giả sửz = a + bi theo giả thiết ta có
|a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} = 10
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \le \sqrt {({1^2} + {1^2})[{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}]}
= \sqrt {2.[2{a^2} + 2{b^2} + 18]} = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9}
Suy ra\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \ge 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16
Do đó|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4
Đáp án cần chọn là: B
Câu 10:
Cho {z_1},{z_2}\; thỏa mãn \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\;và \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3. Tính maxT = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\;
Giả sử{z_1} = {x_1} + {y_1}i,{z_2} = {x_2} + {y_2}i
Theo giả thiết|{z_1} - {z_2}| = 1 có
{({x_1} - {x_2})^2} + {({y_1} - {y_2})^2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 - 2{y_1}{y_2} = 1(1)
Theo giả thiết|{z_1} + {z_2}| = 3 có
{({x_1} + {x_2})^2} + {({y_1} + {y_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 + 2{y_1}{y_2} = 9(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có
x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5
Ta có
T = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2}
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
T \le \sqrt {2.(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)} = \sqrt {10}
Đáp án cần chọn là: D
Câu 11:
Tìm giá trị nhỏ nhất của \left| z \right|,biết rằng z thỏa mãn điều kiện \left| {\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1} \right| = 1.
Có\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = 1 + 3i. Đặtz = x + yithì
\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1 = (1 + 3i)(x + yi) - 1 = (x - 3y - 1) + (3x + y)i
Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành
{(x - 3y - 1)^2} + {(3x + y)^2} = 1
\Leftrightarrow {(x - 3y)^2} - 2(x - 3y) + 1 + {(3x + y)^2} = 1
\Leftrightarrow 10{x^2} + 10{y^2} - 2x + 6y = 0
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - \frac{1}{5}x} \right) + \left( {{y^2} + \frac{3}{5}y} \right) = 0
\Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{1}{{10}}
Điểm biểu diễn M(x,y) của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm M(x,y) thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất.
Vì đường tròn này qua O nên min OM=0 khi M \equiv O hay M(0,0), do đó z=0 hay min\left| z \right| = 0
Đáp án cần chọn là: B
Câu 12:
Tìm giá trị lớn nhất của \left| z \right|,biết rằng z thỏa mãn điều kiện \left| {\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1} \right| = 1.
Có\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} = - i.Đặtz = x + yithì
\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 = - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi
Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành{(y + 1)^2} + {x^2} = 1
Điểm biểu diễn M(x,y) của z chạy trên đường tròn (*) có tâm I(0,−1), bán kính bằng 1.
Cần tìm điểm M(x,y) thuộc đường tròn này để OM lớn nhất.
Vì O nằm trên đường tròn nên OM lớn nhất khi OM là đường kính của (*) ⇔I là trung điểm của OM \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2{x_I}}\\{y = 2{y_I}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)
Suy raz = - 2i \Leftrightarrow |z| = 2
Vậy \max \left| z \right| = 2Đáp án cần chọn là: C
Câu 13:
Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| {z - 4 + 3i} \right| = 3, gọi {z_0} là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \left| {{z_0}} \right|\;là
Gọiz = x + yi
Khi đóz - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i
\Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9
Vậy quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(4;−3);R=3.
Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3sint + 4}\\{y = 3cost - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2}
= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34
Mà 24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30 (theo bunhiacopxki)
\Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8
Đáp án cần chọn là: D
Câu 14:
Trong các số phức z thỏa mãn \left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\;, gọi {z_0} là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
Giả sửz = a + bi\left( {a,b \in R} \right) ta có:\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(−3;−4) và bán kính r=2
Từ hình vẽ ta thấy số phức {z_0} có mô đun nhỏ nhất nếu {z_0} có điểm biểu diễn là M.
Ta có\overrightarrow {OI} = ( - 3; - 4) nên đường thẳng đi qua O và I là OI:
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 4t}\end{array}} \right. \Rightarrow M(3t;4t)
Mặt khácM \in \left( C \right) nên:
{(3t + 3)^2} + {(4t + 4)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{ - 3}}{5}}\\{t = \frac{{ - 7}}{5}}\end{array}} \right.
M\left( {\frac{{ - 9}}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right) hoặcM\left( {\frac{{ - 21}}{5};\frac{{ - 28}}{5}} \right)
M\left( {\frac{{ - 9}}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right) thuộc (C) và gần O nhất.
\Rightarrow z = \frac{{ - 9}}{5} - \frac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3
Đáp án cần chọn là: D
Câu 15:
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Xét các số phức z,w thỏa mãn \left| z \right| = 1\;và \left| w \right| = 2. Khi \left| {z + i\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right| đạt giá trị nhỏ nhất, \left| {z - w} \right|\; bằng?
Cách 1: Dùng phương pháp hình học →→ Kỹ năng dồn số phức.
P = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\bar w} \right)} \right| = \left| {u - v} \right|
Trong đó:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = z - 6 - 8i}\\{v = - i\overline {\rm{w}} }\end{array}} \right. u có điểm biểu diễn là A, v có điểm biểu diễn là B.
\Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow Cần đạt Min.
\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) + 6 + 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 + 8i} \right| = 1
⇒ Tập hợp điểm A biểu diễn số phức uu là đường tròn: \left( {{C_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I( - 6; - 8)}\\{{R_1} = 1}\end{array}} \right.
\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\bar w} \right| = \left| { - i} \right|.2 \Rightarrow \left| { - i\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2
⇒ Tập hợp điểm B biểu diễn số phức v là đường tròn\;({C_2}):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{O(0;0)}\\{{R_2} = 2}\end{array}} \right.
Có\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{IA = {R_1} = 1}\\{OB = {R_2} = 2}\\{OI = 10}\end{array}} \right.
\Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7
Min đạt được khi:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {OA} = \frac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 27}}{5};\frac{{ - 36}}{5}} \right) \Rightarrow u = - \frac{{27}}{5} - \frac{{36}}{5}i}\\{\overrightarrow {OB} = \frac{1}{5}\overrightarrow {OI} \Rightarrow B\left( {\frac{{ - 6}}{5};\frac{{ - 8}}{5}} \right) \Rightarrow v = - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}\end{array}} \right.
\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = u + 6 + 8i = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{ - i\overline {\rm{w}} = v \Rightarrow \overline {\rm{w}} = \frac{v}{{ - i}} = \frac{{ - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}}{{ - i + \frac{6}{5}i}} = \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5}}\end{array}} \right.
\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}
Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ
Ta có BĐT cho 3 vectơ\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec cthì\left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right|
Dấu “=” xảy ra ⇔\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|}\\{\overrightarrow a = k\overrightarrow b }\\{\overrightarrow a = m\overrightarrow c }\end{array}} \right.(k;m < 0)
* ĐặtP = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\underbrace {\left( { - 6 - 8i} \right)}_{ = \overrightarrow a } + \underbrace z_{ = \overrightarrow b } + \underbrace {i\overline {\rm{w}} }_{ = \overrightarrow c }} \right|
Đặt\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{( - 6 - 8i) \Leftrightarrow \overrightarrow a ( - 6; - 8) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 10}\\{z \Leftrightarrow \overrightarrow b \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = 1}\\{i\overline {\rm{w}} \Leftrightarrow \overrightarrow c \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {i\overline {\rm{w}} } \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 2}\end{array}} \right.
\Rightarrow P = \left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right| = 10 - 1 - 2 = 7
\Rightarrow {P_{\min }} = 7đạt Min khi\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|(dung\,do10 > 1 + 2)}\\{\overrightarrow a = - 10\overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow b = - \frac{1}{{10}}\overrightarrow a = \left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)}\\{\overrightarrow a = - 5\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow c = - \frac{1}{5}\overrightarrow a = \left( {\frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)}\end{array}} \right.
\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{i\overline {\rm{w}} = \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5} + \frac{6}{5}i}\end{array}} \right.
\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}
Đáp án cần chọn là: D