Thứ năm, 03/04/2025
IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

  • 547 lượt thi

  • 15 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Với hai số phức bất kì z1,z2, khẳng định nào sau đây đúng:

Xem đáp án
Ta có:||z1||z2|||z1±z2||z1|+|z2|  nên A đúng.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn |z22i|=1. Số phức z−i có mô đun nhỏ nhất là:

Xem đáp án

Ta có:

|zi|=|(z22i)+(i+2)|||z22i||i+2||=|15|=51

Vậy|zi|51nênmin

Đáp án cần chọn là: A


Câu 3:

Xác định số phức z thỏa mãn \left| {z - 2 - 2i} \right| = \sqrt 2  mà \left| z \right|\;đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

\sqrt 2 = |z - 2 - 2i| \ge |z| - | - 2 - 2i| = |z| - 2\sqrt 2 \Rightarrow |z| \le 3\sqrt 2

Suy ra\max |z| = 3\sqrt 2

Kiểm tra các đáp án đã cho chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 4:

Cho số phức z có \left| z \right| = 2\;thì số phức w = z + 3i\; có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là

Xem đáp án

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

\left| {|z| - |3i|} \right| \le |z + 3i| \le \left| {|z| + |3i|} \right| \Leftrightarrow |2 - 3| \le |w| \le |2 + 3| \Leftrightarrow 1 \le |w| \le 5

Nhận thấy vớiz = - 2i thì \left| w \right| = 1 và vớiz = 2i thì\left| w \right| = 5 nên 1 và 5 là GTNN và GTLN của \left| w \right|

Đáp án cần chọn là: D


Câu 5:

Cho số phức z thoả \left| {z - 3 + 4i} \right| = 2\;và w = 2z + 1 - i. Khi đó \left| w \right| có giá trị lớn nhất là:

Xem đáp án

Ta có|z - 3 + 4i| = 2 \Leftrightarrow |2z - 6 + 8i| = 4.

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có

4 = |2z - 6 + 8i| = |(2z + 1 - i) - (7 - 9i)| \ge |2z + 1 - i| - |7 - 9i| = |w| - \sqrt {130}

\Rightarrow |w| - \sqrt {130} \le 4 \Rightarrow |w| \le 4 + \sqrt {130}

Đáp án cần chọn là: D


Câu 6:

Cho số phức z thỏa mãn \left| {{z^2} - i} \right| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của \left| {\overline z } \right|

Xem đáp án

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

1 = \left| {{z^2} - i} \right| \ge \left| {{z^2}} \right| - \left| i \right| = {\left| z \right|^2} - 1 \Rightarrow {\left| z \right|^2} \le 2 \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\bar z} \right| \le \sqrt 2

Đáp án cần chọn là: D


Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn\left| {z - 1 - 2i} \right| = 4. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \left| {z + 2 + i} \right|.Tính S = {M^2} + {m^2}

Xem đáp án

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2 - 4 = m

|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2 = M

Suy ra

{M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2 - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68

Đáp án cần chọn là: C


Câu 8:

Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x - 4y - 3 = 0,\left| z \right|\;nhỏ nhất bằng.

Xem đáp án

Giả sửz = x + yi ta có3x - 4y - 3 = 0suy ray = \frac{3}{4}\left( {x - 1} \right)

Ta có

\begin{array}{l}|z| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + \frac{9}{{16}}{{(x - 1)}^2}} = \frac{1}{4}\sqrt {16{x^2} + 9{{(x - 1)}^2}} \\ = \frac{1}{4}\sqrt {25{x^2} - 18x + 9} = \frac{1}{4}\sqrt {{{\left( {5x - \frac{9}{5}} \right)}^2} + \frac{{144}}{{25}}} \ge \frac{1}{4}.\frac{{12}}{5} = \frac{3}{5}\end{array}

Dấu “=” xảy ra khix = \frac{9}{{25}}y = - \frac{{12}}{{25}}

Đáp án cần chọn là: B


Câu 9:

Cho số phức z thỏa mãn \left| {z + 3} \right| + \left| {z - 3} \right| = 10.Giá trị nhỏ nhất của \left| z \right|\;là:

Xem đáp án

Giả sửz = a + bi theo giả thiết ta có

|a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} = 10

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \le \sqrt {({1^2} + {1^2})[{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}]}

= \sqrt {2.[2{a^2} + 2{b^2} + 18]} = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9}

Suy ra\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \ge 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16

Do đó|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4

Đáp án cần chọn là: B


Câu 10:

Cho {z_1},{z_2}\; thỏa mãn \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3. Tính maxT = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\;

Xem đáp án

Giả sử{z_1} = {x_1} + {y_1}i,{z_2} = {x_2} + {y_2}i

Theo giả thiết|{z_1} - {z_2}| = 1

{({x_1} - {x_2})^2} + {({y_1} - {y_2})^2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 - 2{y_1}{y_2} = 1(1)

Theo giả thiết|{z_1} + {z_2}| = 3

{({x_1} + {x_2})^2} + {({y_1} + {y_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 + 2{y_1}{y_2} = 9(2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có

x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5

Ta có

T = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2}

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

T \le \sqrt {2.(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)} = \sqrt {10}

Đáp án cần chọn là: D


Câu 11:

Tìm giá trị nhỏ nhất của \left| z \right|,biết rằng z thỏa mãn điều kiện \left| {\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1} \right| = 1.

Xem đáp án

\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = 1 + 3i. Đặtz = x + yithì

\frac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1 = (1 + 3i)(x + yi) - 1 = (x - 3y - 1) + (3x + y)i

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành

{(x - 3y - 1)^2} + {(3x + y)^2} = 1

\Leftrightarrow {(x - 3y)^2} - 2(x - 3y) + 1 + {(3x + y)^2} = 1

\Leftrightarrow 10{x^2} + 10{y^2} - 2x + 6y = 0

\Leftrightarrow \left( {{x^2} - \frac{1}{5}x} \right) + \left( {{y^2} + \frac{3}{5}y} \right) = 0

\Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{1}{{10}}

Điểm biểu diễn M(x,y) của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm M(x,y) thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất.

Vì đường tròn này qua O nên min OM=0 khi M \equiv O hay M(0,0), do đó z=0 hay min\left| z \right| = 0

Đáp án cần chọn là: B


Câu 12:

Tìm giá trị lớn nhất của \left| z \right|,biết rằng z thỏa mãn điều kiện \left| {\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1} \right| = 1.

Xem đáp án

\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} = - i.Đặtz = x + yithì

\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 = - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành{(y + 1)^2} + {x^2} = 1

Điểm biểu diễn M(x,y) của z chạy trên đường tròn (*) có tâm I(0,−1), bán kính bằng 1.

Cần tìm điểm M(x,y) thuộc đường tròn này để OM lớn nhất.

Vì O nằm trên đường tròn nên OM lớn nhất khi OM là đường kính của (*) ⇔I là trung điểm của OM  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2{x_I}}\\{y = 2{y_I}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)

Suy raz = - 2i \Leftrightarrow |z| = 2

Vậy \max \left| z \right| = 2Đáp án cần chọn là: C


Câu 13:

Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| {z - 4 + 3i} \right| = 3, gọi {z_0} là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \left| {{z_0}} \right|\;

Xem đáp án

Gọiz = x + yi

Khi đóz - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i

\Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9

Vậy quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(4;−3);R=3.

Đặt  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3sint + 4}\\{y = 3cost - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2}

= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34

Mà 24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30 (theo bunhiacopxki)

\Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8

Đáp án cần chọn là: D


Câu 14:

Trong các số phức z thỏa mãn \left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\;, gọi {z_0} là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:

Xem đáp án

Giả sửz = a + bi\left( {a,b \in R} \right) ta có:\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(−3;−4) và bán kính r=2

Trong các số phức z thỏa mãn  (ảnh 1)

Từ hình vẽ ta thấy số phức {z_0} có mô đun nhỏ nhất nếu {z_0} có điểm biểu diễn là M.

Ta có\overrightarrow {OI} = ( - 3; - 4) nên đường thẳng đi qua O và I là OI:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 4t}\end{array}} \right. \Rightarrow M(3t;4t)

Mặt khácM \in \left( C \right) nên:

{(3t + 3)^2} + {(4t + 4)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{ - 3}}{5}}\\{t = \frac{{ - 7}}{5}}\end{array}} \right.

M\left( {\frac{{ - 9}}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right) hoặcM\left( {\frac{{ - 21}}{5};\frac{{ - 28}}{5}} \right)

M\left( {\frac{{ - 9}}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right) thuộc (C)  và gần O nhất.

\Rightarrow z = \frac{{ - 9}}{5} - \frac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3

Đáp án cần chọn là: D


Câu 15:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Xét các số phức z,w thỏa mãn \left| z \right| = 1\;và \left| w \right| = 2. Khi \left| {z + i\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right| đạt giá trị nhỏ nhất, \left| {z - w} \right|\; bằng? 

Xem đáp án

Cách 1: Dùng phương pháp hình học →→ Kỹ năng dồn số phức.

P = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\bar w} \right)} \right| = \left| {u - v} \right|

Trong đó:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = z - 6 - 8i}\\{v = - i\overline {\rm{w}} }\end{array}} \right. u có điểm biểu diễn là A, v có điểm biểu diễn là B.

\Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow Cần đạt Min.

\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) + 6 + 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 + 8i} \right| = 1

⇒ Tập hợp điểm A biểu diễn số phức uu là đường tròn: \left( {{C_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I( - 6; - 8)}\\{{R_1} = 1}\end{array}} \right.

\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\bar w} \right| = \left| { - i} \right|.2 \Rightarrow \left| { - i\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2

⇒ Tập hợp điểm B biểu diễn số phức v là đường tròn\;({C_2}):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{O(0;0)}\\{{R_2} = 2}\end{array}} \right.

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{IA = {R_1} = 1}\\{OB = {R_2} = 2}\\{OI = 10}\end{array}} \right.

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101Xét các số phức z,w thỏa mãn (ảnh 1)

 

\Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7

Min đạt được khi:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {OA} = \frac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 27}}{5};\frac{{ - 36}}{5}} \right) \Rightarrow u = - \frac{{27}}{5} - \frac{{36}}{5}i}\\{\overrightarrow {OB} = \frac{1}{5}\overrightarrow {OI} \Rightarrow B\left( {\frac{{ - 6}}{5};\frac{{ - 8}}{5}} \right) \Rightarrow v = - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}\end{array}} \right.

\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = u + 6 + 8i = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{ - i\overline {\rm{w}} = v \Rightarrow \overline {\rm{w}} = \frac{v}{{ - i}} = \frac{{ - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}}{{ - i + \frac{6}{5}i}} = \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5}}\end{array}} \right.

\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}

Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ

Ta có BĐT cho 3 vectơ\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec cthì\left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right|

Dấu “=” xảy ra ⇔\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|}\\{\overrightarrow a = k\overrightarrow b }\\{\overrightarrow a = m\overrightarrow c }\end{array}} \right.(k;m < 0)

* ĐặtP = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\underbrace {\left( { - 6 - 8i} \right)}_{ = \overrightarrow a } + \underbrace z_{ = \overrightarrow b } + \underbrace {i\overline {\rm{w}} }_{ = \overrightarrow c }} \right|

Đặt\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{( - 6 - 8i) \Leftrightarrow \overrightarrow a ( - 6; - 8) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 10}\\{z \Leftrightarrow \overrightarrow b \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = 1}\\{i\overline {\rm{w}} \Leftrightarrow \overrightarrow c \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {i\overline {\rm{w}} } \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 2}\end{array}} \right.

\Rightarrow P = \left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right| = 10 - 1 - 2 = 7

\Rightarrow {P_{\min }} = 7đạt Min khi\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|(dung\,do10 > 1 + 2)}\\{\overrightarrow a = - 10\overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow b = - \frac{1}{{10}}\overrightarrow a = \left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)}\\{\overrightarrow a = - 5\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow c = - \frac{1}{5}\overrightarrow a = \left( {\frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)}\end{array}} \right.

\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{i\overline {\rm{w}} = \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5} + \frac{6}{5}i}\end{array}} \right.

\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}

Đáp án cần chọn là: D


Bắt đầu thi ngay