Phương trình mặt cầu
-
564 lượt thi
-
22 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\]. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
Xem đáp án
Phương trình có dạng \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\]với\[a = - 1,b = 2,c = 1,d = - 3\]
Ta có công thức\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)} = 3\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20\].
Xem đáp án
Phương trình có dạng\[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\]với\[a = 1,b = - 2,c = 4\]và \[R = 2\sqrt 5 \]có tâm\[I\left( {1; - 2;4} \right)\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3:
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\]
Xem đáp án
Phương trình có dạng\[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\]với\[a = - 4,b = 1,c = 0,d = 1\]
có tâm \[I( - a, - b, - c) = (4, - 1,0)\]
có \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = 4\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 4:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
Xem đáp án
Phương trình đáp án B có dạng\[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\]với\[a = - 1,b = 2,c = 1\]và R=3 là phương trình mặt cầu.
Phương trình đáp án A có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\]với\[a = - 1,b = - 1,c = - 1,d = - 8\]có\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {11} \]là một phương trình mặt cầu.
Xét phương án C có
\[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\]
Phương trình có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\]với\[a = 1,b = - \frac{1}{2},c = - \frac{1}{2},d = 8\] có\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 8 < 0.\]
Không phải là phương trình mặt cầu.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 5:
Mặt cầu tâm I(0;0;1) bán kính \(R = \sqrt 2 \) có phương trình:
Xem đáp án
Mặt cầu tâm I(0;0;1) bán kính\[R = \sqrt 2 \]có phương trình
\[{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tập tất cả giá trị của tham số m để mặt cầu (S) có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\] đi qua điểm A(1;1;1).
Xem đáp án
(S) có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] với\[a = - 1,b = m,c = - 2\]
và\[d = m + 5\]
(S) là phương trình mặt cầu khi ta có
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\]
Điểm A(1,1,1) thuộc phương trình mặt cầu
\[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\] thì ta có
\[{1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}\]
(thỏa mãn)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0\] là phương trình của một mặt cầu.
Xem đáp án
(S) có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] với\[a = - 1,b = - 1,c = - 2\] và d=m
(S)là phương trình mặt cầu khi ta có \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(1,2,−3) và đi qua điểm A(1,0,4) có phương trình là
Xem đáp án
Mặt cầu (S) có tâm I(1,2,−3) và đi qua điểm A(1,0,4) có bán kính
\[R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}} = \sqrt {53} \]
Do đó\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;−2;3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm I, bán kính IM?
Xem đáp án
I là hình chiếu vuông góc của M(1,−2,3) trên trục Ox. Suy ra I(1,0,0).
Ta có\[\overrightarrow {IM} = (0, - 2,3) \Rightarrow R = IM = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \]
Suy ra phương trình mặt cầu:\[{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 10:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\;\] và điểm A(5,4,−2). Phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy) là
Xem đáp án
Giả sử M là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy).
Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\)
Ta có M thuộc d nên\[M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)\]
Vì M thuộc \[\left( {Oxy} \right):z = 0\]nên có \[ - t - 1 = 0\] hay t=−1, suy ra M(−1,−1,0).
Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm M(−1,−1,0), bán kính
\[MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {65} \]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 11:
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(−3,1,2),B(1,−1,0). Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính có tọa độ tâm là:
Xem đáp án
Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tọa độ tâm I là trung điểm của AB. Suy ra ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{v}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = - 1}\\{{y_I} = 0}\\{{z_I} = 1}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 12:
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho hai điểm E(2,1,1),F(0,3,−1). Mặt cầu (S) đường kính EF có phương trình là:
Xem đáp án
Ta có\[EF = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{(1 + 1)}^2}} = 2\sqrt 3 \]
Mặt cầu (S) đường kính EF nhận trung điểm I của EF là tâm, có I(1,2,0) và bán kính
\[R = \frac{1}{2}EF = \sqrt 3 \]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm M(2;3;3),N(2;−1;−1),P(−2;−1;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (α):2x+3y−z+2=0.
Xem đáp án
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâm\[{I_A}(1, - 1,1)\]và\[{R_A} = \sqrt {13} \]
+ B cho mặt cầu tâm\[{I_B}(2, - 1,3)\]và\[{R_B} = 4\]
+ C cho mặt cầu tâm\[{I_C}( - 2,1, - 3)\]và\[{R_C} = 2\sqrt 3 \]
+ D cho mặt cầu tâm\[{I_D}(1, - 1,1)\]và\[{R_D} = \sqrt 5 \]
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \[(\alpha )\]hay không. Loại được đáp án C.
- Ta thấy\[{I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\],nên ta tính bán kính\[R = IM\]rồi so sánh với\[{R_A},{R_D}\]
Có \[IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {21} \].Ta thấy\[IM \ne {R_A} \ne {R_D}\] Loại A và D
Đáp án cần chọn là: B
Câu 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,1,−1) và B(1,0,1). Mặt cầu đi qua hai điểm A,B và có tâm thuộc trục Oy có đường kính là
Xem đáp án
Giả sử tâm I của mặt cầu (S) thuộc Oy, ta có I(0,t,0). Vì mặt cầu (S) qua A và B nên ta có\[IA = IB = R\]
Từ giả thiết IA=IB ta có\[I{A^2} = I{B^2}\]
\[ \Leftrightarrow {2^2} + {(t - 1)^2} + {( - 1)^2} = {1^2} + {t^2} + {1^2}\]
\[ \Leftrightarrow - 2t + 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow t = 2\]
Suy ra I(0,2,0) . Do đó \[R = IA = \sqrt 6 \]
Do đó, đường kính mặt cầu là\[2R = 2\sqrt 6 \]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 15:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh là A(1,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2) và D(2,2,1). Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là
Xem đáp án
- Thử từng tọa độ các điểm A,B,C,D vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D
+ Thay A(1,1,1) vào phương trình cho ở đáp án A có
\[{1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 - 6 \ne 0\]Loại A
Thay A(1,1,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
\[{1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 + 6 = 0\]
Thay B(1,2,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
\[{1^2} + {2^2} + {1^2} - 3 - 6 - 3 + 6 = 0\]
Thay C(1,1,2) vào phương trình cho ở đáp án B có
\[{1^2} + {1^2} + {2^2} - 3 - 3 - 6 + 6 = 0\]
Thay D(2,2,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
\[{2^2} + {2^2} + {1^2} - 6 - 6 - 3 + 6 = 0\]
Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 16:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\] có bán kính nhỏ nhất khi m bằng
Xem đáp án
S) có tâm\[I\left( {2m, - 2, - m} \right)\]
Bán kính\[R = \sqrt {4{m^2} + 4 + {m^2} - {m^2} - 4m} = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} = \sqrt {{{(2m - 1)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \]
Dấu = xảy ra khi\[2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 17:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z - m = 0\;\]có bán kính R=5. Tìm giá trị của m?
Xem đáp án
Ta có: \[I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m} = \sqrt {9 + m} \]
Ta có:\[R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 18:
Cho mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 16\] và điểm A(1;2;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu sao cho độ dài đoạn AM là lớn nhất.
Xem đáp án
Tâm I(1;2;−5)
Ta có\[\overrightarrow {AI} = (0;0; - 4) = \overrightarrow {IM} = (a - 1;b - 2;b + 5) \Rightarrow M(1;2; - 9)\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 19:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0\]. Tính diện tích của mặt cầu (S).
Xem đáp án
Mặt cầu\[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0\]có bán kính
\[R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {0^2} - 1} = 2\]
Vậy diện tích của mặt cầu (S) là: \[4\pi {.2^2} = 16\pi \]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 20:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3),B(4;−7;−9), tập hợp các điểm M thỏa mãn \[2M{A^2} + M{B^2} = 165\] là mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R. Giá trị biểu thức \[T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2}\] bằng:
Xem đáp án
Gọi M(x;y;z).
Theo bài ra ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\,2M{A^2} + M{B^2} = 165}\\{ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165}\\{ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0}\end{array}\]
Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm\[I\left( {2; - 1; - 1} \right)\]
\[ \Rightarrow a = 2,\,\,b = - 1,\,\,c = - 1\], bán kính\[R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3} = \sqrt 3 \]
Vậy\[T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 21:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \[{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 9\]. Gọi I là tâm mặt cầu, tọa độ hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz là:
Xem đáp án
Mặt cầu\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\]có tâm I(2;−1;−2).
Hình chiếu của I(2;−1;−2) lên trục Oz là I′(0;0;−2).
Đáp án cần chọn là: D
Câu 22:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\]. Trong các điểm O(0;0;0), A(1;2;3), B(2;−1;−1) có bao nhiêu điểm thuộc mặt cầu (S)?
Xem đáp án
Thay tọa độ điểm O(0;0;0) vào phương trình mặt cầu ta có:
\[{0^2} + {0^2} + {0^2} - 2.0 - 4.0 - 6.0 = 0 \Rightarrow O \in \left( S \right)\]
Thay tọa độ điểm A(1;2;3) vào phương trình mặt cầu ta có:
\[{1^2} + {2^2} + {3^2} - 2.1 - 4.2 - 6.3 = - 14 \ne 0 \Rightarrow A \notin \left( S \right)\]
Thay tọa độ điểm B(2;−1;−1) vào phương trình mặt cầu ta có:
\[{2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2.2 - 4.\left( { - 1} \right) - 6.\left( { - 1} \right) = 12 \ne 0 \Rightarrow B \notin \left( S \right)\]
Vậy có 1 điểm thuộc mặt cầu (S).
Đáp án cần chọn là: A