Thứ bảy, 23/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu

Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu

Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu

  • 643 lượt thi

  • 21 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;−1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α)  có phương trình 2x−2y−z+3=0. Bán kính của (S) là:

Xem đáp án

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng \[(\alpha )\]nên ta có \[R = d(I,\alpha )\]

Suy ra\[R = d(I,\alpha ) = \frac{{\left| {2.2 - 2.1 - ( - 1) + 3} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{6}{3} = 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;−1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

Xem đáp án

Ta có\[\overrightarrow {AI} = \left( {1;1; - 3} \right)\]

Vì (P) tiếp xúc với (S) tại A.

\[ \Leftrightarrow IA \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {{n_P}} \]

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có dạng\[x + y - 3z + d = 0\left( * \right)\]

Mặt khác, vì \[A \in (P)\] nên ta có\[2 + 1 - 3.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 3\]

Vậy ta có\[(P):x + y - 3z + 3 = 0\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\] và 2 đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Một phương trình mặt phẳng (P) song song với \[{\Delta _1},{\Delta _2}\;\] và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

Xem đáp án

(S) có tâm\[I(1; - 1; - 2);R = 2\]

Vì (P) song song với \[{{\rm{\Delta }}_1},{{\rm{\Delta }}_2}\] có vtcp tương ứng là\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;1} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1; - 1} \right)\]

 ta có \[\overrightarrow {{n_P}} = [\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = (0;1;1)\]

Gọi\[(P):y + z + d = 0\]

\[d(I;P) = \frac{{| - 1 - 2 + d|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{|d - 3|}}{{\sqrt 2 }}\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{|d - 3|}}{{\sqrt 2 }} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d - 3 = 2\sqrt 2 }\\{d - 3 = - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 3 + 2\sqrt 2 }\\{d = 3 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + z + 3 + 2\sqrt 2 = 0}\\{y + z + 3 - 2\sqrt 2 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−1;0),B(1;1;−1) và mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\]. Mặt phẳng (P) đi qua A,B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

Xem đáp án

\[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\]có tâm I(1;−2;1) và bán kính R=3.

Do (P) đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên (P) đi qua tâm I của (S)

Ta có:\[\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right);\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)\]

Phương trình mặt phẳng\[(P):1(x--0)--2(y + 1)--3(z--0) = 0\]hay\[x--2y--3z--2 = 0\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 4)^2} = 10\] và mặt phẳng \[(P): - 2x + y + \sqrt 5 z + 9 = 0\;\]. Gọi (Q) là tiếp diện của (S) tại M(5;0;4) . Tính góc giữa (P) và (Q).

Xem đáp án

Gọi mặt cầu tâm I(2;−1;4).

Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) (tâm I, bán kính R) tại điểm M chính là mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với bán kính IM tại tiếp điểm M

Mặt phẳng qua M(5;0;4) vuông góc với\[IM\left( {\overrightarrow {IM} = (3;1;0)} \right)\]có phương trình:

\[(Q):3\left( {x - 5} \right) + {\rm{\;}}y\; = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 15 = 0\]

Có:\[{\vec n_P}( - 2;1;\sqrt 5 );{\vec n_Q}(3;1;0)\]

Nên ta có: 

\[\cos \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = \left| {\cos \widehat {\left( {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)}} \right| = \frac{{\left| { - 6 + 1} \right|}}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = {60^0}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\;\]và mặt phẳng  \[(P):2x - 2y + z + 3 = 0\]. Gọi M(a;b;c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó:

Xem đáp án

Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=3.Gọi \[\Delta \] là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(P).

\( \Rightarrow \Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng \[\Delta \] cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B. Toạ độ A,B là nghiệm của hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - 2t}\\\begin{array}{l}z = 3 + t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A(3;0;4)}\\{B( - 1;4;2)}\end{array}} \right.\)

Ta có:\[d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 2.0 + 4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \frac{{13}}{3}\]

và\[d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) - 2.4 + 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \frac{5}{3}\]

Do đó điểm cần tìm là điểm\[A \equiv M \Rightarrow a + b + c = 3 + 0 + 4 = 7\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 7:

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu  \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 64\;\]với mặt phẳng\[\left( \alpha \right):2x + 2y + z + 10 = 0\].

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (ảnh 1)

(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=8.

Tâm đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P).

Đường thẳng \[\Delta \] qua I và vuông góc với  (P) có phương trình là

\[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\]

Do\[H \in \Delta \] nên\[H(2t + 1;2t + 1;t + 1)\]

Ta có\[H \in (P)\] nên:

\[2(2t + 1) + 2(2t + 1) + t + 1 + 10 = 0 \Leftrightarrow 9t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{3}\]

\( \Rightarrow H(\frac{{ - 7}}{3};\frac{{ - 7}}{3};\frac{{ - 2}}{3})\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 8:

Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình \[\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\;\]và điểm B(1;1;−9). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử \[\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)\;\]là véctơ pháp tuyến của (P). Lúc đó:

Xem đáp án

(S) có tâm I(5;−3;7) và bán kính\[R = 6\sqrt 2 \]

Theo đề bài ta có phương trình (P) có dạng\[x + m(y - 8) + n(z - 2) = 0\]

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

\[{\rm{d}}(I,(P)) = \frac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \frac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 \]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }\\{ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})}\\{ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0}\\{ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)}\\{{\rm{\Delta '}} = 3025{{(n + 1)}^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0}\end{array}\]

Phương trình (*) luôn có  nghiệm

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}(B,(P)) = \frac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}}\\{ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}}\end{array}\]

Mặt khác\[\frac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \]

\[\frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }} = \frac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)}\\{ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)}\\{ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)}\end{array}\]Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow m.n = \frac{{276}}{{49}}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Mặt phẳng (Oyz) cắt mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 4z - 3 = 0\] theo một đường tròn có tọa độ tâm là

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng\[(Oyz):x = 0\]nên ta loại được đáp án A.

Véc tơ pháp tuyến của\[\left( {Oyz} \right):\vec n = (1;0;0)\]

Tọa độ của mặt cầu (S) là \[I\left( { - 1;1; - 2} \right)\]

Gọi điểm O là điểm cần tìm có\[O\left( {0;b;c} \right)\]

Do IO vuông góc với (Oyz) nên\[\overrightarrow {OI} \]cùng phương với\[\vec n = (1;0;0)\]

Suy ra\[b = 1;c = - 2\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 10:

Viết  phương trình mặt cầu có tâm I(−1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0

Xem đáp án

Khoảng cách từ I đến (P)  được tính theo công thức

\[d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2 - 2.3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\]

Phương trình mặt cầu cần tìm là \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;2;1);B(3;2;3), có tâm thuộc mặt phẳng (P):x−y−3=0 , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)?

Xem đáp án

Gọi I là tâm mặt cầu\[\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)\]

Suy ra\[a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)\]

\[I{A^2} = I{B^2} = {R^2} \Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {{\left( {b + 2} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2} = {b^2} + {{\left( {c - 3} \right)}^2}}\\{ \Leftrightarrow {b^2} + 4b + 4 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + {c^2} - 6c + 9}\\{ \Leftrightarrow 4b + 4c - 4 = 0}\\{ \Leftrightarrow b + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - b}\end{array}\]

\[{R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^2} = 3{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2 \]

\[\min R = 2\sqrt 2 \]khi b=0

Đáp án cần chọn là: D


Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,(α) cắt mặt cầu (S) tâm I(1;−3;3) theo giao tuyến là đường tròn tâm H(2;0;1) , bán kính r=2 . Phương trình (S) là:

Xem đáp án

Gọi E là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có\[IH = d\left( {I,(\alpha )} \right);\,R = IE;\,r = HE\]

\[IH = \sqrt {1 + {3^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {14} \]

Tam giác IHE vuông tại H nên\[IE = \sqrt {I{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {14 + 4} = \sqrt {18} \]

Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:

\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(−3;2;−4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?

Xem đáp án

Vì mặt cầu có tâm\[I( - 3;2; - 4)\]tiếp xúc với mp(Oxz) nên r=2.

Phương trình mặt cầu cần tìm là : \[{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 25\]  và mặt phẳng \[(\alpha ):2x + y - 2z + m = \;0\]. Tìm các giá trị của m để \[\left( \alpha \right)\;\]và (S) không có điểm chung.

Xem đáp án

Mặt cầu (S)  có tâm I(−1;2;3) bán kính R=5.

Để mặt cầu với mặt phẳng không có điểm chung thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu.

Ta có

\[d(I,(\alpha )) > 5 \Leftrightarrow \frac{{|2.( - 1) + 2 - 2.3 + m|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} > 5\]

\[ \Leftrightarrow |m - 6| > 15 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 6 > 15}\\{m - 6 < - 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 21}\\{m < - 9}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 15:

Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng \[(P):2x - 2y - z + 10 = 0\;\]theo thiết diện là hình tròn có diện tích \[3\pi \]. Phương trình của (S) là:

Xem đáp án

Gọi O là tâm của đường tròn thiết diện, E là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có: \[IO = d\left( {I,(P)} \right);R = IE\]

\[IO = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{|2.( - 1) - 2.2 + 5 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = 3\]

\[S = 3\pi = \pi .O{E^2} \Leftrightarrow O{E^2} = 3\]

Tam giác IOE vuông tại O nên\[{R^2} = I{E^2} = I{O^2} + O{E^2} = 3 + 9 = 12.\]

Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:

\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12\]

hay\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\]

Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng  (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 16:

Trong không gian vớ hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;−1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

Xem đáp án

(P) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nếu và chỉ nếu (P) đi qua A và\[\overrightarrow {IA} \bot \left( P \right)\]

Ta có:\[\overrightarrow {IA} = ( - 1; - 1;3)\] là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Mà (P)  lại đi qua A(2;1;2) nên:\[\left( P \right): - 1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3z + 3 = 0\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \[(P):x - 2y + 2z - 3 = 0\;\]và mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\]. Giả sử \[M \in \left( P \right)\;\] và \[N \in \left( S \right)\;\] sao cho \(\overrightarrow {MN} \)cùng phương với vectơ \[\overrightarrow u = \left( {1;0;1} \right)\;\]và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN 

Xem đáp án

(S) có tâm I(–1;2;1) và R=1.

Gọi \[\vec v\left( {t;0;t} \right)\] là vectơ cùng phương với vectơ\[\vec u\left( {1;0;1} \right)\] sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành (S′) tiếp xúc với (P)

Phép tịnh tiến vectơ \[\vec v\left( {t;0;t} \right)\] biến I thành\[I'(--1 + t;2;1 + t)\]

Suy ra (S′) có tâm I′ và bán kính\[R' = R = 1\]

(S′) tiếp xúc (P)

\[ \Leftrightarrow d(I;(P)) = 1 \Leftrightarrow \frac{{| - 1 + t - 2.2 + 2(1 + t) - 3|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1\]

\[ \Leftrightarrow |3t - 6| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3}\\{t = 1}\end{array}} \right.\]

Với \[t = 3 \Rightarrow \vec v\left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = 3\sqrt 2 \]

Với\[t = 1 \Rightarrow \vec v\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = \sqrt 2 \]

Vậy giá trị lớn nhất của MN là \[3\sqrt 2 \]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0\]. Tiếp diện của (S) tại điểm M(−1;2;0) có phương trình là:

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−3) và bán kính R=3

Ta có : \[M( - 1;2;0) \in \left( S \right)\]

Gọi \[\left( \alpha \right)\]là mặt phẳng tiếp diện của (S)  tại M.

Khi đó \[\left( \alpha \right)\]  đi qua M và nhận\[\overrightarrow {IM} \left( {0;0;3} \right)\] làm véctơ pháp tuyến

Vậy\[\left( \alpha \right):0(x + 1) + 0(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 4z + 9 - {m^2} = 0\]. Gọi T là tập các giá trị của m để mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tích các giá trị của mm trong T bằng:

Xem đáp án

Mặt cầu\[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 4z + 9 - {m^2} = 0\]có tâm\[I\left( { - 3;0;2} \right)\]và bán kính \[R = \sqrt {{m^2} + 4} \]

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là \[x = 0 \Rightarrow d\left( {I;\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{1} = 3\]

\[ \Rightarrow R = \sqrt {{m^2} + 4} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5 \]

Tích các giá trị của m là\[\sqrt 5 .\left( { - \sqrt 5 } \right) = - 5\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] và mặt phẳng \[(P):2x - y + z - 3 = 0\]. Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc Δ và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;−1;0). Phương trình của (S) là:

Xem đáp án

Vì\[I \in {\rm{\Delta }}:\,\,\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\]nên ta gọi \[I\left( {1 - 2t;\,\,2t;\,\,2 + t} \right)\]

Vì (S) tiếp xúc với\[\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\]tại điểm H(1;−1;0) nên ta có:\[d\left( {I;\left( P \right)} \right) = IH = R\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.\left( {1 - 2t} \right) - 2t + 2 + t - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}} \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 5t + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {9{t^2} + 8t + 5} \]

\[ \Leftrightarrow 25{t^2} - 10t + 1 = 54{t^2} + 48t + 30\]

\[ \Leftrightarrow 29{t^2} + 58t + 29 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow t = - 1\]

\[ \Rightarrow I\left( {3; - 2;1} \right)\]và \[R = IH = \sqrt 6 \]

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 21:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0\;\]và đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\]. Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\;\]vuông góc với \[\Delta \] và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính lớn nhất. Phương trình \[\left( \alpha \right)\;\]là:

Xem đáp án

Đường thẳng\[{\rm{\Delta }}:\,\,\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\] có 1 VTCP là\[\vec u = \left( {3; - 2; - 1} \right)\]

Vì\[\left( \alpha \right) \bot {\rm{\Delta }}\] nên mặt phẳng\[\left( \alpha \right)\] có 1 VTPT là\[\vec n = \vec u = \left( {3; - 2; - 1} \right)\]. Khi đó phương trình mặt phẳng\[\left( \alpha \right)\] có dạng\[3x - 2y - z + d = 0\]

Mặt cầu\[\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0\] có tâm\[I\left( {4; - 1; - 1} \right)\] bán kính\[R = \sqrt {16 + 1 + 1 + 3} = \sqrt {21} \]

Gọi r là bán kính đường tròn \[\left( C \right),d = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)\]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  (ảnh 1)

Áp dụng định lí Pytago ta có:\[{R^2} = {r^2} + {d^2}\], do đó để rr đạt GTLN thì dd phải đạt GTNN (vì\[R = \sqrt {21} \] không đổi).

Ta có:\[d = \frac{{\left| {3.4 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {15 + d} \right|}}{{\sqrt {14} }} \ge 0\] suy ra\[{d_{\min }} = 0 \Leftrightarrow d = - 15\]

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]cần tìm là:\[3x - 2y - z - 15 = 0\]

Đáp án cần chọn là: D


Bắt đầu thi ngay