50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án - đề 12

Câu 1:

Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón là:

A. $S_{x q} = π r h$

B. $S_{x q} = 2 π r l$

C. $S_{x q} = π r l$

D. $S_{x q} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{x - 3}{x - 2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số nghịch biến trên R

D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq 2 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Câu 3:

Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là:

A. $ℝ$ .

B. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

C. $ℝ \ \{k π, k \in ℤ\}$ .

D. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \Rightarrow$

TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

Câu 4:

Cho hàm số $y = x^{3} + x + 2$ có đồ thị (C). Số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2 là:

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$x^{3} + x + 2 = 2 \Leftrightarrow x^{3} + x = 0 \Leftrightarrow x (x^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Câu 5:

Tập nghiệm S của phương trình $\log_{2} (x + 4) = 4$ là:

A. $S = \{- 4, 12\}$ .

B. $S = \{4\}$ .

C. $S = \{4, 8\}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\Leftrightarrow x + 4 = 2^{4} \Leftrightarrow x = 16 - 4 = 12$

Câu 6:

Cho a là số thực dương. Biểu thức $a^{2} . \sqrt[3]{a}$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

A. $a^{\frac{4}{3}}$ .

B. $a^{\frac{7}{3}}$ .

C. $a^{\frac{5}{3}}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$a^{2} \sqrt[3]{a} = a^{2} . a^{\frac{1}{3}} = a^{2 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{3}}$

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.

C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.

D. Hàm số đạt cực đại tại x=1 và đạt cực tiểu tại x=3.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 8:

Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?

A. Vô số.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án D

Có 5 loại khối đa diện đều: Tứ diện đều, lập phương, bát diện đầu, 12 mặt đều, 20 mặt đều

Câu 9:

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 5)}^{\sqrt{3}}$ là

A. $(- \infty; 5)$ .

B. $ℝ \ \{5\}$ .

C. $[5; + \infty)$ .

D. $(5; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện $x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > 5 \Rightarrow$ TXĐ: $D = (5; + \infty)$

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA=3a và SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là:

A. $\hat{S A D}$ .

B. $\hat{A S D}$ .

C. $\hat{S D A}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $(S D; (A B C D)) = \overset{⏜}{S D A}$

Câu 11:

Cho $a > 0, b > 0$ thỏa mãn $a^{2} + 9 b^{2} = 10 a b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\log (a + 1) + \log b = 1$ .

B. $\log \frac{a + 3 b}{4} = \frac{\log a + \log b}{2}$

C. $3 \log (a + 3 b) = \log a - \log b$

D. $2 \log (a + 3 b) = 2 \log a + \log b$

Xem đáp án

Đáp án B

$a^{2} + 9 b^{2} = 10 a b \Leftrightarrow {(a + 3 b)}^{2} = 16 a b \Leftrightarrow \frac{a + 3 b}{4} = \sqrt{a b} \Rightarrow \log \frac{a + 3 b}{4} = \frac{\log a + \log b}{2}$

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $\sqrt{3} \cos x + \sin x = - 2$ là:

A. $[\begin{array}{l} - \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

B. $x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$ .

C. $x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$ .

D. $x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = - 1 \Leftrightarrow x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$

Câu 13:

Phương trình $\tan (3 x - 30^{0}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ có tập nghiệm là:

A. $\{k 180^{0}, k \in ℤ\}$ .

B. $\{k 60^{0}, k \in ℤ\}$ .

C. $\{k 360^{0}, k \in ℤ\}$ .

D. $\{k 90^{0}, k \in ℤ\}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow 3 x - 30 ° = - 30 ° + k 180 ° \Leftrightarrow x = k 60 ° (k \in ℤ)$

Câu 14:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ .

B. $y = \frac{- 2 x + 5}{- x - 1}$ .

C. $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ .

D. $y = \frac{2 x + 5}{x + 1}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 15:

Cho hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết $A C = 2 \sqrt{3} a$ và góc $\hat{A C B} = 45^{0}$ . Diện tích toàn phần $S_{t p}$ của hình trụ (T) là:

A. $12 π a^{2}$ .

B. $8 π a^{2}$ .

C. $24 π a^{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Vì ABCD là hình chữ nhật và $\overset{⏜}{A C B} = 45 °$ nên ABCD là hình vuông.

Ta có: $2. A B^{2} = {(2 \sqrt{3} a)}^{2} \Leftrightarrow A B = \sqrt{6} a$

$S_{t p} = 2 π B C^{2} + 2 π . B C = 2 π . B C . A B = 2 π . {(\sqrt{6} a)}^{2} + 2 π . {(\sqrt{6} a)}^{2} = 24 π a^{2}$

Câu 16:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) bằng $60^{0}$ . Thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' tính theo a là:

A. $3 \sqrt{3} a^{3}$ .

B. $\sqrt{3} a^{3}$ .

C. $3 a^{3}$ .

D. $2 \sqrt{3} a^{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$A I = \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3}; A A' = A I \tan 60 ° = a \sqrt{3} . \sqrt{3} = 3 a$

Thể tích lăng trụ là:

$V = A A' . S_{A B C} = 3 a . \frac{1}{2} {(2 a)}^{2} \sin 60 ° = 3 \sqrt{3} a^{3}$

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a, BC=a , SA vuông góc với mặt đáy, cạnh SC hợp đáy một góc $30^{0}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a là:

A. $\frac{2 \sqrt{15} a^{3}}{3}$ .

B. $\frac{\sqrt{15} a^{3}}{3}$ .

C. $\frac{2 \sqrt{15} a^{3}}{9}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $A C = \sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} = a \sqrt{5}; S A = A C \tan 30 °$

$= a \sqrt{5} . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{3}} .2 a . a = \frac{2 \sqrt{15} a^{3}}{9}$

Câu 18:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$ .

B. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 5$ .

C. $y = - x^{3} + x^{2} - 2 x - 1$ .

D. $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 4$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 19:

Tiếp tuyến với đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ song song với đường thẳng $(d) : y = 9 x + 3$ có phương trình là:

A. $y = 9 x - 29$ và $y = 9 x + 3$ .

B. $y = 9 x - 29$ .

C. $y = 9 x - 25$ .

D. $y = 9 x - 25$ và $y = 9 x + 15$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $Δ$ là tiếp tuyến với (C) tại $M (x_{0}; y_{0})$ thỏa mãn đề bài.

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} - 6 x_{0} = k_{Δ}$ là hệ số góc của $Δ$

$Δ / / (d) \Rightarrow k_{Δ} = 9 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 6 x_{0} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = - 1 \Rightarrow Δ : y = 9 (x + 1) + y (- 1) \Leftrightarrow y = 9 x + 3 (l o a i) \\ x_{0} = 3 \Rightarrow Δ : y = 9 (x - 3) + y (3) \Leftrightarrow y = 9 x - 29 \end{array}$

Câu 20:

Cho hàm số $y = (x - 1) (x^{2} + m x + m)$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

A. $0 < m < 4$

B. $[\begin{array}{l} m > 4 \\ - \frac{1}{2} \neq m < 0 \end{array}$

C. $m > 4$

D. $- \frac{1}{2} \neq m < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số căt trục hoành tại ba điểm phân biệt $(x - 1) (x^{2} + m x + m) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $1 + m + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt

Suy ra $\{\begin{cases} Δ > 0 \\ 1 + m + m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 4 m > 0 \\ m \neq - \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > 4 \\ m < 0 \end{array} \\ m \neq - \frac{1}{2} \end{cases}$

Câu 21:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Thể tích khối chóp S.ABC tính theo a là:

A. $\frac{\sqrt{26} a^{3}}{12}$

B. $\frac{\sqrt{78} a^{3}}{12}$

C. $\frac{\sqrt{26} a^{3}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{78} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD)

Ta có: $A H = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3};$

$S H = \sqrt{{(3 a)}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \sqrt{\frac{26}{3}} a$

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \sqrt{\frac{26}{3}} a . \frac{1}{2} a^{2} \sin 60 ° = \frac{\sqrt{26} a^{3}}{12}$

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết $S A ⊥ (A B C)$ và AB=2a, AC=3a, SA=4a. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

A. $d = \frac{12 a \sqrt{61}}{61}$

B. $d = \frac{2 a}{\sqrt{11}}$

C. $d = \frac{a \sqrt{43}}{12}$

D. $d = \frac{6 a \sqrt{29}}{29}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của A lên BC và SI

Ta có: $\frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{{(2 a)}^{2}} + \frac{1}{{(3 a)}^{2}} = \frac{13}{36 a^{2}}$

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{{(4 a)}^{2}} + \frac{1}{36 a^{2}} = \frac{61}{144 a^{2}}$

$\Rightarrow A I = \frac{12 a}{\sqrt{61}} \Rightarrow d = A I = \frac{12 a}{\sqrt{61}}$

Câu 23:

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{2} . e^{- x}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ . Tính tổng M+N.

A. $M + N = 3 e$

B. $M + N = e$

C. $M + N = 2 e - 1$

D. $M + N = 2 e + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = e^{- x} (2 x - x^{2}) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Suy ra: $y (- 1) = e, y (0) = 0, y (1) = \frac{1}{e}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} M = e \\ N = 0 \end{cases} \Rightarrow M + N = e$

Câu 24:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ bằng:

A. $2 \sqrt{2}$

B. 1

C. $\sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y^{2} (x^{2} + 1) = {(x + 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} (y^{2} - 1) - 2 x + y^{2} - 1 = 0 (1)$

Ta có: $Δ' (1) = 1 - {(y^{2} - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq y^{2} - 1 \leq 1$

$\Rightarrow y^{2} \leq 2 \Rightarrow y \leq \sqrt{2} \Rightarrow \max y = \sqrt{2}$

Câu 25:

Cho $a = \log_{3} 15, b = \log_{3} 10$ . Tính $\log_{\sqrt{3}} 50$ theo a và b.

A. $\log_{\sqrt{3}} 50 = 2 (a + b - 1)$

B. $\log_{\sqrt{3}} 50 = 4 (a + b + 1)$

C. $\log_{\sqrt{3}} 50 = a + b - 1$

D. $\log_{\sqrt{3}} 50 = 3 (a + b + 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\log_{\sqrt{3}} 50 = 2 (\log_{3} 5 + \log_{3} 10)$

$= 2 (\log_{3} 15 + \log_{3} 10 - 1) = 2 (a + b - 1)$

Câu 26:

Phương trình $3^{2 x + 1} - {4.3}^{x} + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ trong đó $x_{1} < x_{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $x_{1} x_{2} = 2$ .

B. $x_{1} + 2 x_{2} = - 1$ .

C. $2 x_{1} + x_{2} = - 1$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow 3 {(3^{x})}^{2} - {4.3}^{x} + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x} = 1 \\ 3^{x} = \frac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow x_{1} + 2 x_{2} = - 1$

Câu 27:

Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x + 1} . \ln x$ là:

A. $y' = \frac{x \ln x + 2 (x + 1)}{2 x \sqrt{x + 1}}$ .

B. $y' = \frac{1}{2 x \sqrt{x + 1}}$ .

C. $y' = \frac{x + \sqrt{x + 1}}{x \sqrt{x + 1}}$ .

D. $y' = \frac{3 x + 2}{2 x \sqrt{x + 1}}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$y' = \frac{\ln x}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{x} = \frac{x \ln x + 2 (x + 1)}{2 x \sqrt{x + 1}}$

Câu 28:

Cho hàm số $y = \frac{a x - b}{b x + 1}$ có đồ thị (C). Nếu (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2 và tiệm cận đứng là đường thẳng $x = \frac{1}{3}$ thì các giá trị của a và b lần lượt là :

A. $- \frac{1}{2}$ và $- \frac{1}{6}$

B. -3 và -6

C. $- \frac{1}{6}$ và $- \frac{1}{2}$

D. -6 và -3

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 29:

Nghiệm của phương trình $c o s 2 x - 5 \sin x - 3 = 0$ là:

A. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

B. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{3} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

C. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k π \\ x = \frac{7 π}{6} + k π \end{array}, k \in ℤ$ .

D. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{3} + k π \\ x = \frac{7 π}{3} + k π \end{array}, k \in ℤ$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow 1 - 2 \sin^{2} x - 5 \sin x - 3 \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 5 \sin x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - \frac{1}{2} \\ \sin x = - 2 \end{array}$

$\Rightarrow \sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Câu 30:

Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng $2 π a^{2}$ là:

A. $π a^{3} \sqrt{3}$

B. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 31:

Số nghiệm của phương trình $\sqrt{4 - x^{2}} . \cos 3 x = 0$ là:

A. 7.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $4 - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 2 (*)$

Với điều kiện (*) thì phương trình đã cho

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{4 - x^{2}} = 0 \\ \cos 3 x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 2 \\ 3 x = \frac{π}{2} + k π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 2 \\ x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, k \in ℤ \end{array}$

Từ điều kiện (*) ta có: $k \in \{- 2; - 1; 0; 1\} \Rightarrow$ Phương trình có 6 nghiệm

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn OA và $\hat{(S D, (A B C D))} = 60^{0}$ . Gọi $α$ là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Tính $\tan α$ .

A. $\tan α = \frac{4 \sqrt{15}}{9}$ .

B. $\tan α = \frac{\sqrt{30}}{12}$ .

C. $\tan α = \frac{\sqrt{10}}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 33:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f (x) = x^{4} + x^{3} - m x^{2}$ có 3 điểm cực trị?

A. $m \in (0; + \infty)$ .

B. $m \in (- \frac{9}{2}; + \infty) \ \{0\}$ .

C. $m \in (- \infty; 0)$ .

D. $m \in (- \frac{9}{32}; + \infty) \ \{0\}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 m x = x (4 x^{2} + 3 x - 2 m)$

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình $4 x^{2} + 3 x - 2 m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = 9 + 32 m > 0 \\ - 2 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \in (- \frac{9}{32}; + \infty) \ \{0\}$

Câu 34:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y = x^{3} + 6 m x^{2} + 6 x - 6$ đồng biến trên R?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 12 m x + 6$ . Để hàm số đồng biến trên R thì $y' > 0, \forall x \in ℝ$

$Δ' = 36 m^{2} - 18 < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{\sqrt{2}} < m < \frac{1}{\sqrt{2}}$ Mà $m \in ℤ$ nên $m = 0$

Câu 35:

Cho hàm số $y = (x + 1) . e^{3 x}$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $y'' + 6 y' + 9 y = 0$ .

B. $y'' - 6 y' + 9 y = 0$ .

C. $y'' + 6 y' + 9 y = 10 x e^{x}$ .

D. $y'' - 6 y' + 9 y = e^{x}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = e^{3 x} + 3 (x + 1) e^{3 x} = e^{3 x} (3 x + 4)$

$\Rightarrow y'' = 3 e^{3 x} (3 x + 4) + 3 e^{3 x} = 3 e^{3 x} (3 x + 5)$

$y'' - 6 y' + 9 y = 0$

Câu 36:

Gọi n là số nguyên dương sao cho $\frac{1}{\log_{3} x} + \frac{1}{\log_{3^{2}} x} + \frac{1}{\log_{3^{3}} x} + ... + \frac{1}{\log_{3^{n}} x} = \frac{210}{\log_{3} x}$ đúng với mọi x dương. Tìm giá trị của biểu thức $P = 2 n + 3$ .

A. $P = 32$ .

B. $P = 40$ .

C. $P = 43$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\frac{1}{\log_{3} x} + \frac{2}{\log_{3} x} + \frac{3}{\log_{3} x} + ... + \frac{n}{\log_{3} x} = \frac{210}{\log_{3} x}$

$\frac{n (n + 1)}{2 \log_{3} x} = \frac{210}{\log_{3} x} \Leftrightarrow n (n + 1) = 420 \Leftrightarrow n = 20 \Rightarrow P = 2.20 + 3 = 43$

Câu 37:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $4^{x} - m {.2}^{x + 1} + 2 m = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 3$ ?

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = 2^{x} > 0$ . Khi đó phương trình đã cho trở thành $t^{2} - 2 m t + 2 m = 0, t > 0 (1)$

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2}$ thì (1) có 2 nghiệm t>0 và thỏa mãn $t_{1} t_{2} = 2^{x_{1}} 2^{x_{2}} = 2^{3} = 8$

Khi đó ta có: $\{\begin{cases} Δ' = m^{2} - 2 m \geq 0 \\ S = 2 m > 0 \\ P = 2 m = 8 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = 4$ Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài cho

Câu 38:

Cho hàm số $y = \frac{m x + 1}{x + m}$ , với m là tham số. Các hình nào dưới đây không thể là đồ thị của hàm số đã cho với mọi $m \in ℝ$ ?

A. Hình (III).

B. Hình (II).

C. Hình (I) và (III).

D. Hình (I).

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y = \frac{m x + 1}{x + m} (C)$ có tiệm cận đứng $x = - m$ ,TCN $y = m$ (với $m \neq - 1$ )

Giao điểm với trục hoành $(- \frac{1}{m}; 0)$ , giao điểm với trục tung $(0; \frac{1}{m})$

Hình (I) ứng với $m = \frac{1}{2}$

Hình (II) với thõa mãn tiệm cận khi đó đồ thị hàm số không cắt Ox(loại)

Hình (II) ứng với

Câu 39:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng (ABB'A') là tâm của hình bình hành ABB'A'. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' tính theo a là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 40:

Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB=1, đáy lớn CD=3, cạnh bên $B C = D A = \sqrt{2}$ . Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng:

A. $\frac{4}{3} π$ .

B. $\frac{5}{3} π$ .

C. $\frac{2}{3} π$ .

D. $\frac{7}{3} π$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $A E = B F = 1$

Khi đó: $D E = \sqrt{A D^{2} - A E^{2}} = 1$

Khi quay hình chữ nhật DEFC quanh trục AB ta được hình trụ có thể tích là:

$V_{1} = π D E^{2} . D C = π {.1}^{2} .3 = 3 π$

Khi quay tam giác AED quanh trục AB ta được hình nón có thể tích là:

$V_{2} = \frac{1}{3} π D E^{2} . A E = \frac{1}{3} π {.1}^{2} .1 = \frac{π}{3}$

Do đó thể tích vận tròn xoay tạo thành khi cho hình thang quay quanh AB là:

$V = V_{1} - 2 V_{2} = \frac{7 π}{3}$

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, $S C = S D = a \sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$ .

B. $V = \frac{a^{3}}{6}$ .

C. $V = a^{3} \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi M, N lần lược là trung điểm của $A B, C D \Rightarrow (S M N) ⊥ (A B C D)$

Câu 42:

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1, a \neq \frac{1}{b}$ và $\log_{a} b = \sqrt{5}$ . Tính $P = \log_{\sqrt{a b}} \frac{b}{\sqrt{a}}$ .

A. $P = \frac{11 - 3 \sqrt{5}}{4}$

B. $P = \frac{11 + 3 \sqrt{5}}{4}$

C. $P = \frac{11 - 2 \sqrt{5}}{4}$

D. $P = \frac{11 + 3 \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $P = \log_{\sqrt{a b}} \frac{b}{\sqrt{a}} = 2 \log_{a b} \frac{b}{\sqrt{a}}$

$= 2 (\log_{a b} b - \log_{a b} \sqrt{a}) = 2 (\frac{1}{\log_{b} a b} - \frac{1}{2} \log_{a b} a)$

$= 2 (\frac{1}{1 + \log_{b} a} - \frac{1}{2} . \frac{1}{\log_{a} a b}) = 2 (\frac{1}{1 + \frac{1}{\log_{a} b}} - \frac{1}{2} . \frac{1}{1 + \log_{a} b}) = 2 (\frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{5}}} - \frac{1}{2} . \frac{1}{1 + \sqrt{5}}) = \frac{11 - 3 \sqrt{5}}{4}$

Câu 43:

Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - 1 + 2 c o s x [(2 - \sqrt{3}) \sin x + c o s x]$ trên R. Biểu thức $M + N + 2$ có giá trị bằng:

A. 0.

B. $4 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

C. 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y = - 1 + (2 - \sqrt{3}) .2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$

$= (2 - \sqrt{3}) . \sin 2 x + \cos 2 x$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có:

${[(2 - \sqrt{3}) . \sin 2 x + \cos 2 x]}^{2} \leq [{(2 - \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}] . (\sin^{2} 2 x + \cos^{2} 2 x) = 8 - 4 \sqrt{3}$

Suy ra $y^{2} \leq 8 - 4 \sqrt{3} \Leftrightarrow - \sqrt{8 - 4 \sqrt{3}} \leq y \leq \sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

Vậy $M + N + 2 = 2$

Câu 44:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: $\cos 4 x = \cos^{2} 3 x + m \sin^{2} x$ có nghiệm $x \in (0; \frac{π}{12})$ .

A. $m \in (0; \frac{1}{2})$ .

B. $m \in (\frac{1}{2}; 2)$ .

C. $m \in (0; 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\cos^{2} 3 x \frac{1 + \cos 6 x}{2} = \frac{4 \cos^{3} 2 x - 3 \cos 2 x + 1}{2}$ và $\cos 4 x = 2 \cos^{2} 2 x - 1$

Khi đó, phương trình đã cho

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} 2 x - 1 = \frac{4 \cos^{3} 2 x - 3 \cos 2 x + 1}{2} + \frac{1 - \cos 2 x}{2} m$

$\Leftrightarrow 4 \cos^{2} 2 x - 2 = 4 \cos^{3} 2 x - 3 \cos 2 x + 1 + (1 - \cos 2 x) m$

$\Leftrightarrow (\cos 2 x - 1) m = 4 \cos^{3} 2 x - 4 \cos^{2} 2 x - 3 \cos 2 x + 3$

Đặt $t = \cos 2 x,$ với $x \in (0; \frac{π}{12}) \to t \in (\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$ do đó: $(*) \Leftrightarrow m \frac{4 t^{3} - 4 t^{2} - 3 t + 3}{t - 1} = 4 t^{2} - 3$

Xét hàm số $f (t) = 4 t^{2} - 3$ trên khoảng $(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1) \to \{\begin{cases} \min f (t) = 0 \\ \max f (t) = 1 \end{cases}$

Vậy để phương trình $m = f (t)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m \in (0; 1)$

Câu 45:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} + 2 m x^{2} - \frac{3 m}{2}$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác nội tiếp được. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. $2 - 2 \sqrt{3}$ .

B. $- 2 - \sqrt{3}$ .

C. -1.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 4 x (2 x^{2} + m)$ đổi dấu 3 lần $\Leftrightarrow m < 0$

Khi đó, gọi $A (0; - \frac{3 m}{2}), B (\sqrt{- \frac{m}{2}; \frac{- m^{2} - 3 m}{2}})$ và $C (- \sqrt{- \frac{m}{2}}; \frac{- m^{2} - 3 m}{2})$ là 3 điểm cực trị

Vì $y_{A} > y_{B} = y_{C}$ nên yêu cầu bài toán

<=> Tứ giác ABOC nội tiếp (I)

Vì $\{\begin{cases} A B = A C \\ O B = O C \end{cases} \to O A$ là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Suy ra OA là đường kính của (I)

=> $(I) \Rightarrow \vec{O B} . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow - \frac{m}{2} + \frac{m^{2}}{2} . \frac{m^{2} + 3 m}{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$

Vậy tổng các giá trị của tham số m là $- 2 - \sqrt{3}$

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABC có $A B = B C = C A = a, S A = S B = S C = a \sqrt{3}$ , Mlà điểm bất kì trong không gian. Gọi d là tổng các khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB, BC, CA, SA, SB, SC. Giá trị nhỏ nhất của d bằng:

A. $d = 2 a \sqrt{3}$ .

B. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

C. $a \sqrt{6}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi E và F là trung điểm của BC và AB và O là trọng tâm tam giác ABC ta có: $S O ⊥ (A B C)$

Do $\{\begin{cases} A E = B C \\ S O = B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A E)$ . Dựng $E K ⊥ A$ suy ra EK là đoạn vuông góc cung của SA và BC. Tương tự dựng FI; RL là các đoạn vuông góc chung của 2 cạnh đối diện.

Do tính chất đối xứng ta dễ dàng suy ra EK, FI, RL đồng quy tại điểm M

Như vậy $d \geq E K + F I + R L = 3 E K$

Mặc khác $O A = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow \cos \overset{⏜}{S A O} = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin \overset{⏜}{S A O} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Do đó: $K E = A E \sin A = \frac{a \sqrt{3}}{2} - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Do vậy $d_{\min} = a \sqrt{6}$

Câu 47:

Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được $220500 c m^{3}$ nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.

A. $2220 c m^{2}$ .

B. $1880 c m^{2}$ .

C. $2100 c m^{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi a, b, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật

Theo bài ra, ta có: $\frac{h}{a} = 3 \Leftrightarrow h = 3 a$ và thể tích

$V = a b h = 220500 \Rightarrow a^{2} b = 73500 \Leftrightarrow b = \frac{73500}{a^{2}}$

Diện tích cần làm bể là:

$S = a b + 2 a h + 2 b h = a . \frac{73500}{a^{2}} + 2 a .3 a + 2. \frac{73500}{a^{2}} .3 a$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 6 a^{2} = \frac{257250}{a} \Leftrightarrow a = 35 \to b = 60$

Vậy $S = a . b = 2100 c m^{2}$

Câu 48:

Có bao nhiêu số nguyên dương a (a là tham số) để phương trình

$(3 a^{2} + 12 a + 15) \log_{27} (2 x - x^{2}) + (\frac{9}{2} a^{2} - 3 a + 1) \log_{\sqrt{11}} (1 - \frac{x^{2}}{2})$

$= 2 \log_{9} (2 x - x^{2}) + \log_{11} (\frac{2 - x^{2}}{2})$

có nghiệm duy nhất?

A. 2.

B. 0.

C. Vô số.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $\{\begin{cases} 2 x - x^{2} > 0 \\ 2 - x^{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < x < \sqrt{2} \Rightarrow D = (0; \sqrt{2})$

Phương trình

$\Leftrightarrow (a^{2} + 4 a + 5) \log_{3} (2 x - x^{2}) + (9 a^{2} - 6 a + 2) \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2})$

$= \log_{3} (2 x - x^{2}) + \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2})$

$\Leftrightarrow f (x) = {(a + 2)}^{2} \log_{3} (2 x - x^{2}) + {(3 a - 1)}^{2} \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2}) = 0$

$\Leftrightarrow f (x) = (a^{2} + 4 a + 4) \log_{3} (2 x - x^{2}) + (9 a^{2} - 6 a + 2) \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2})$

$= \log_{3} (2 x - x^{2}) + \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2}) = 0 (x \in (0; \sqrt{2}))$

$\Leftrightarrow f (x) = {(a + 2)}^{2} \log_{3} (2 x - x^{2}) + {(3 a - 1)}^{2} \log_{11} (1 - \frac{x^{2}}{2}) = 0$

Ta có:

$f' (x) = {(a + 2)}^{2} . \frac{2 - 2 x}{(2 x - x^{2}) \ln 3} + {(3 a - 1)}^{2} . \frac{1 - x}{(1 = \frac{x^{2}}{2}) \ln 11} = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$

Ta có:

$\lim_{x \to 0} f (x) = - \infty; f (1) = - {(3 a - 1)}^{2} \log_{11} 2; \lim_{x \to \sqrt{2}} f (x) = - \infty \Rightarrow$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $- {(3 a - 1)}^{2} \log_{11} 2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3} \notin ℤ$

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA=BC=x, SB=AC=y, SC=AB=z thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12$ . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là:

A. $V = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

B. $V = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. $V = \frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $V = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Thể tích khối chóp S.ABC là:

$V_{S . A B C} = \frac{\sqrt{2}}{12} . \sqrt{(x^{2} + y^{2} - z^{2}) (y^{2} + z^{2} - x^{2}) (x^{2} + z^{2} - y^{2})}$

Mà: $(x^{2} + y^{2} - z^{2}) (y^{2} + z^{2} - x^{2}) (x^{2} + z^{2} - y^{2})$

$\leq \frac{(x^{2} + y^{2} - z^{2} + y^{2} + z^{2} - x^{2} + x^{2} + z^{2} - y^{2})}{27}$

$= \frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{3}}{27}$

Suy ra: $S . A B C \leq \frac{\sqrt{2}}{12} . \sqrt{\frac{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}{27}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{12} . \sqrt{\frac{12^{3}}{27}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vậy: $V_{\max} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 50:

Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r = 30cm, chiều cao h = 120cm. Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ.

Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V.

A. $V = 0, 16 π (m^{3})$ .

B. $V = 0, 024 π (m^{3})$ .

C. $V = 0, 36 π (m^{3})$ .

D. $V = 0, 016 π (m^{3})$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $r_{0}; h_{0}$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Theo giả thuyết, ta có:

$\frac{r_{0}}{r} = \frac{h - h_{0}}{h} \Leftrightarrow r_{0} = 30. \frac{120 - h_{0}}{120} = 30 - \frac{h_{0}}{4}$

Suy ra thể tích khối trụ là:

$V = π r_{0}^{2} . h_{0} = π {(30 - \frac{h_{0}}{4})}^{2} . h_{0} = π . \frac{{(120 - h_{0})}^{2} . h_{0}}{16}$

Xét hàm số $f (t) = t {(120 - t)}^{2}$ với $t \in (0; 120)$ suy ra: $\max_{(0; 120)} f (t) = 256000$

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là:

$V_{\max} = π \frac{256000}{16} . \frac{1}{100^{3}} = 0, 016 π c m^{3}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án

Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án - đề 12

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan