IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Vi phân- đạo hàm cấp cao có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Vi phân- đạo hàm cấp cao có đáp án

Dạng 2: Đạo hàm cấp cao

  • 452 lượt thi

  • 35 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y=cos2x.
Xem đáp án
Ta có y=cos2x=121+cos2xy'=sin2x
y''=2cos2xy'''=4sin2x

Câu 2:

Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y=3x1x+2.

Xem đáp án

Ta có  y'=7x+22y''=7x+22'x+24=14x+23

 y'''=14x+23'x+26=42x+24y4=42x+24'x+28=168x+25.


Câu 3:

Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y=sin22x.

Xem đáp án

Ta có  y=sin22x=121cos4x

y'=2sin4xy''=8cos4xy'''=32sin4x

 y4=128cos4xy5=512sin4x


Câu 4:

Tìm đạo hàm cấp của hàm số

 y=sinxn*.

Xem đáp án

Ta có: y'=cosx=sinx+1.π2;

y''=sinx=sinx+2.π2;

yn=sinx+nπ2,n*


Câu 5:

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số  y=3x+1x2 .

Xem đáp án

Ta có: y'=7x22,y''=7.2x23,y'''=7.2.3x24 .

Bằng quy nạp ta chứng minh  yn=1n.7.n!x2n+1 .  2

Với  n=1 ta thấy  2 đúng.

Giả sử  2 đúng với  n=k, tức là  yk=1k.7.k!x2k+1 .

Ta có:   yk+1=1k.7.kx2k+1'=1k.7.k!.k+1x2k+2=1k+1.7.k+1!x2k+2.

Do đó  2 đúng với mọi số tự nhiên n.

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số

 y=3x+1x2 là  yn=1n.7.n!x2n+1 .


Câu 6:

Cho hàm số y=xsinx

Chứng minh  x.y''2y'sinx+xy=0.

Xem đáp án

Ta có

  y'=xsinx'y'=x'.sinx+x.sinx'

y'=sinx+xcosx

y''=sinx+xcosx'=sinx'+xcosx'

=cosx+x'.cosx+x.cosx'=2cosxxsinx.

Ta có  x.y''2y'sinx+xy=0

x2cosxxsinx2sinx+xcosxsinx+x2sinx=0

2xcosxx2sinx2xcosx+x2sinx=0

0=0

(điều phải chứng minh).


Câu 7:

Cho hàm số  y=2xx2. Chứng minh  y3.y''+1=0.

Xem đáp án

Ta có:  y'=2xx2'y'=122xx2.2xx2'=1x2xx2.

y''=1x'.2xx22xx2'.1x2xx22

=2xx21x2xx2.1x2xx22

=2xx21x22xx2.2xx22=12xx23.

Ta có y3.y''+1=02xx23.12xx23+1=01+1=0

(điều phải chứng minh).


Câu 8:

 Cho hàm số y=sin3x+cos3x1sinx.cosx . Chứng minh  y''+y=0.

Xem đáp án

Ta có:  y=sinx+cosxsin2x+cos2xsinxcosx1sinxcosx

=sinxcosx1sinxcosx1sinxcosx=sinx+cosx

y'=cosxsinxy''=sinxcosx.

Ta có  y''+y=0sinxcosx+sinx+cosx=00=0 (điều phải chứng minh).


Câu 9:

Cho hàm số  y=2x+4x2+4x+3. Giải phương trình  y''=0.

Xem đáp án

Ta có:   y=2x+4x2+4x+3=2x+2x+221

y'=2x+2x+221'=2x+2222x+2.2x+2x+2212=2x+222x+2212

y''=2x+222x+2212'

=4x+2x+22122x+222.2x+2212x+2x+2214

=4x+2x+221x+22+1+2x+22+2x+2214

=4x+2x+221x+22+3x+2214

y''=04x+2x+221x+22+3x+2214=0

x+2210

y''=0x+2=0x=2


Câu 10:

Đạo hàm cấp hai của hàm số  fx=x3x24 tại điểm  x=1 

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có  f'x=3x22x.

Suy ra:  f''x=6x2. Suy ra  f''1=4.


Câu 11:

Đạo hàm cấp hai của hàm số  y=3x+1x+2 

Xem đáp án

Đáp án D

y=35x+2y'=5x+22y''=10x+23


Câu 12:

Cho  fx=sin3x. Giá trị của  f''π2 bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có  f'x=3sin3x, suy ra  f''x=9sin3x.

Do đó  f''π2=9sin3π2=9.


Câu 13:

Đạo hàm cấp hai của hàm số  y=cos2x 

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có  y'=f'x=xsinx3'=sinx+xcosx

Vậy  y''=f''x=sinx+xcosx'=2cosxxsinx.


Câu 14:

Cho hàm số y=f(x)=sinx . Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

y'=cosx=sinx+π2y''=sinx+π2+π2=sinx+πy'''=sinx+π+π2=sinx+3π2

y4=sinx+3π2+π2=sinx+2π=sinx.

Ta có  sin2πx=sinxy4.


Câu 15:

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=sin5xcos2x là
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:  y=sin5xcos2x=12sin7x+sin3x.

Do đó y'=127cos7x+3cos3x y''=1249sin7x9sin3x.

Câu 16:

Cho hàm số y=sin2x. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:  y'=2cos2xy''=4sin2x.

Xét đáp án A,  4yy''=4sin2x+4sin2x.

Xét đáp án B,  4y+y''=4sin2x4sin2x=0.

Xét đáp án C,  y'tan2x=2cos2x.sin2xcos2x=2sin2xy.

Xét đáp án D,  y2+y'2=sin22x+4cos22x4.


Câu 17:

Cho hàm số  y=2x2+3x1x. Đạo hàm cấp hai của f 

Xem đáp án

Đáp án By=fx=2x2+3x1x=2x1+11xy'=f'x=2+11x2y''=f''=21x3


Câu 18:

Cho hàm sốy=x33x2+x+1. Phương trình y"=0 có nghiệm là
Xem đáp án

Đáp án C

Tập xác định:  D=.

Ta có  y'=3x26x+1y''=6x6y''=0x=1.


Câu 19:

Cho  fx=x4cos2x. Tìm  f4x.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:  f'x=4x3+2sin2x, suy ra  f''x=12x2+4cos2xf'''x=24x8sin2x.

Do đó:  f4x=f'''x'=2416cos2x.


Câu 20:

Cho hàm số  y=x2+1 khẳng định nào đúng?

Iy.y'=2x

IIy2.y''=y'

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:  y'=xx2+1y''=1x2+1x2+1.

Xét  y.y'=x2+1.xx2+1=x, do đó khẳng định (I) sai.

Xét   y2.y''=x2+1.1x2+1x2+1=1x2+1y', do đó khẳng định (II) sai.


Câu 21:

Cho hàm số  y=1+3xx2. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

y=1+3xx2y2=1+3xx22y.y'=32x2.y'2+2y.y''=2y'2+y.y''=1.


Câu 22:

Cho hàm số  fx=2x1.Giá trị của  f'''1 bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

fx=2x1f'x=2x1'22x1=12x1f''x=2x1'2x1=12x12x1=12x13.

f'''x=2x13'2x13=32x122x132x13=32x15.

Vậy  f'''1=3.


Câu 23:

Cho hàm số  fx=cos2x. Tính  P=f''π.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:  f'x=2sin2xf''x=4cos2x.

Do đó:  f''π=4.


Câu 24:

Xét hàm số  y=cos2xπ3. Nghiệm  x0;π2của phương trình  f4x=8 

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: f'x=2sin2xπ3

 f''x=4cos2xπ3

 f'''x=8sin2xπ3

 f4x=16cos2xπ3.

Xét phương trình

 f4x=8cos2xπ3=122xπ3=2π3+k2π2xπ3=2π3+k2πx=π2+kπx=π6+kπ.

x0;π2 nên chỉ có giá trị  x=π2 thỏa mãn.


Câu 25:

Cho hàm số  y=1x. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có  y'=1x2y''=2x3.

Xét đáp án A,  y''y3+2=02x3.1x3+2=02x6+2=0 (vô lí).

Xét đáp án B,  y''y+2y'2=02x3.1x+21x22=04x4=0 (vô lí).

Xét đáp án C,  y''y3=22x3.1x3=22x6=2 (vô lí).

Xét đáp án D,  y''y=2y'22x3.1x=21x222x4=2x4 (đúng).


Câu 26:

Cho hàm số  y=sin22x. Giá trị của biểu thức  y3+y''+16y'+16y8 

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:  y=sin22xy=1cos4x2y'=2sin4xy''=8cos4xy3=32sin4x.

Khi đó  y3+y''+16y'+16y8=32sin4x+8cos4x+32sin4x+81cos4x8=0.


Câu 27:

Đạo hàm cấp n của hàm số y=cos2x là
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có  y'=2cos2x+π2;y''=22cos2x+2π2;y'''=23cos2x+3π2.

Bằng quy nạp ta chứng minh được  yn=2ncos2x+nπ2.


Câu 28:

Đạo hàm cấp n của hàm số  y=2x+1 

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có  y'=12x+1,y''=12x+13,y'''=32x+15.

Bằng quy nạp ta chứng minh được  yn=1n+1.3.5...2n32x+12n1.


Câu 29:

Đạo hàm cấp n của hàm số  y=2x+1x23x+2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:  y=5x23x1.

Bằng quy nạp ta chứng minh được  yn=5.1n.n!x2n+13.1n.n!x1n+1.


Câu 30:

Đạo hàm cấp n của hàm số  y=xx2+5x+6 

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:  x=3x+22x+3;x2+5x+6=x+2x+3.

Suy ra  y=3x+32x+2.

Mà  1x+2n=1n.1n.n!x+2n+1=1n.n!x+2n+1,1x+3n=1n.n!x+3n+1 

nên ta có  yn=1n.3.n!x+3n+11n.2.n!x+2n+1.


Câu 31:

Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f(x)=cos(x+a) là
Xem đáp án

Đáp án C

Ta có  f'x=sinx+a=cosx+a+π2;

f''x=sinx+a+π2=cosx+a+2π2;

f2021x=cosx+a+2021π2=cosx+a+π2.


Câu 32:

Đạo hàm cấp n của hàm số y=sin2x là
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:  y'=2sin2x+π2,y''=22sin2x+2π2,y'''=23sin2x+3π2;...

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được  yn=2nsin2x+nπ2.


Câu 33:

Cho hàm số y=sin3x.cosx-sin2x . Giá trị của  y10π3 gần nhất với số nào dưới đây?
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có  y=sin3x.cosxsin2x=12sin4x+sin2xsin2x=12sin4xsin2x.

Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được  sinaxn=1n1ansinnπ2ax.

Do đó  y10x=1219410.sin5π4x19.210.sin5π2x=12410.sin4x+210sin2x

y10π3454490,13


Câu 34:

Cho hàm số  y=sinx2. Đạo hàm  yn 

Xem đáp án

Đáp án A


Câu 35:

Cho hàm số fx=3x22x19 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.
Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử  fx=a0+a1x+a2x2+...+a18x18.

Khi đó  f6x=6!.a6+b7x+b8x2+...+b18x12f60=720a6.

Ta có  3x22x19=1+2x3x29=k=09C9k2x3x2k

=k=09C9ki=0kCki2xki3x2i=k=09i=0kC9kCki2ki3ixk+i

Số hạng chứa x6 ứng với k,i thỏa mãn 0ik9k+i=6k;i6;0,5;1,4;2,3;3

a6=C96C602630+C95C51243+C94C422232+C93C332033=84f60=720.64=60480.

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương