50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề số 24)

Câu 1:

Cho các số thực a,b(a<b) và hàm số y=f(x) có đạo hàm là hàm liên tục trên $ℝ$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

$A . \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$

$B . \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (a) - f (b)$

$C . \int_{a}^{b} f (x) d x = f^{'} (b) - f^{'} (a)$

$D . \int_{a}^{b} f (x) d x = f^{'} (a) - f^{'} (b)$

Xem đáp án

Ta có: $\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{a}^{b} = f (b) - f (a) .$

Chọn A

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 1; 2)$ và B(2;1;-4). Véctơ $\vec{A B}$ có tọa độ

A. (3;0;-2)

B. (-1;-2;6)

C. (1;0;-6)

D. $(1; 2; - 6)$

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A B} = (2 - 1; 1 - (- 1); - 4 - 2) = (1; 2; - 6)$

Chọn D

Câu 3:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 3$ , công sai d=-2. Số hạng $u_{2}$ bằng

A. 5

B. 6

C. -1

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $u_{2} = u_{1} + d = 3 - 2 = 1$

Chọn D

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

A. x=0

B. x=2

C. x=-2

D. x=-3

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên, ta thấy: y' đổi dấu từ âm sang dương, khi x biến thiên qua điểm x=0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

Chọn A

Câu 5:

Cho hình trụ có bán kính đáy r=5 và chiều cao h=7. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

$A . 60 π$

$B . 70 π$

$C . 120 π$

$D . 35 π$

Xem đáp án

Ta có $S_{x q} = 2 π r h = 2 π \cdot 5 \cdot 7 = 70 π$

Chọn B

Câu 6:

Tập xác định của hàm số $y = \ln (- x^{2} + 5 x - 6)$ là

$A . ℝ \ (2; 3)$

B. [2;3]

C. (2;3)

$D . ℝ \ [2; 3]$

Xem đáp án

Điều kiện: $- x^{2} + 5 x - 6 > 0$ .

Bất phương trình tương đương với 2<x<3.

Tập xác định là (2;3).

Chọn C

Câu 7:

Với các số thực a,b bất kỳ, mệnh đề nào sau đây đúng?

$A . \frac{5^{a}}{5^{b}} = 5^{a - b}$

$B . \frac{5^{a}}{5^{b}} = 5^{\frac{a}{b}}$

$C . \frac{5^{a}}{5^{b}} = 5^{a + b}$

$D . \frac{5^{a}}{5^{b}} = 5^{a b}$

Xem đáp án

Vì $\frac{5^{a}}{5^{b}} = 5^{a - b}$ nên ta chọn A.

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 16$ . Tọa độ tâm I của (S):

$A . I (1; - 2; 1 ) $

B. I(-1;-2;-1)

C. I(-1;2;1)

D. I(1;-2;-1)

Xem đáp án

$a = 1, b = - 2, c = - 1$ nên ta có tọa độ tâm I là (1;-2;-1)

Chọn D

Câu 9:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng

A. (0;1)

$B . (3; + \infty)$

C. (1;2)

D. (1;5)

Xem đáp án

Chọn C

Câu 10:

Cho a là số thực dương tùy ý, khi đó $\log_{2} (\frac{a^{5}}{2 \sqrt{2}})$ bằng

$A . 5 \log_{2} a - \frac{3}{2}$

$B . 5 \log_{2} a + \frac{3}{2}$

$C . 5 \log_{2} a - \frac{2}{3}$

$D . \frac{3}{2} - 5 \log_{2} a$

Xem đáp án

Ta có: $\log_{2} (\frac{a^{5}}{2 \sqrt{2}}) = \log_{2} a^{5} - \log_{2} 2 \sqrt{2} = 5 \log_{2} a - \frac{3}{2}$

Chọn A

Câu 11:

Số nghiệm thực của phương trình $9^{x^{2} + 4 x + 3} = 1$ là

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Ta có: $9^{x^{2} + 4 x + 3} = 1 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 3 \end{array}$

Chọn D

Câu 12:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 8 x^{3} + 6 x$ là

$A . 24 x^{2} + 6 + C$

$B . 2 x^{3} + 3 x + C$

$C . 8 x^{4} + 6 x^{2} + C$

$D . 2 x^{4} + 3 x^{2} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int (8 x^{3} + 6 x) d x = 2 x^{4} + 3 x^{2} + C$

Chọn D

Câu 13:

Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và độ dài đường sinh l=4. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

$A . 12 π$

$B . \sqrt{39} π$

$C . 4 \sqrt{3} π$

$D . 8 \sqrt{3} π$

Xem đáp án

Ta có: $S_{x q} = π r l = 4 \sqrt{3} π .$

Chọn C

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{P}} = (2; - 1; 1)$ . Vectơ nào sau đây cũng là vectơ pháp tuyến của (P)?

$A . \vec{n} = (4; 2; - 2)$

$B . \vec{n} = (4; - 2; 2)$

$C . \vec{n} = (- 2; 1; 1)$

$D . \vec{n} = (- 4; 2; 3)$

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{P}} = (2; - 1; 1)$ .

Suy ra: $\vec{n} = 2 \vec{n_{P}} = (4; - 2; 2)$ cũng là vectơ pháp tuyến của (P).

Chọn B

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có diện tích đáy bằng $\sqrt{2} a^{2}$ , chiều cao bằng $\frac{a}{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

$A . \frac{\sqrt{2}}{6} a^{3}$

$B . \frac{\sqrt{2}}{2} a^{3}$

$C . \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$

$D . \frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} . \sqrt{2} a^{2} . \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6} a^{3} .$

Chọn A

Câu 16:

Thể tích khối cầu bán kính a bằng

$A . 2 π a^{3}$

$B . \frac{π a^{3}}{3}$

$C . \frac{4 π a^{3}}{3}$

$D . 4 π a^{3}$

Xem đáp án

Thể tích khối cầu bán kính a: $V = \frac{4 π a^{3}}{3}$

Chọn C

Câu 17:

Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

A. 3125

B. 625

C. 80

D. 120

Xem đáp án

Mỗi cách xếp 5 học sinh là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có 5!=120 cách

Chọn D

Câu 18:

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 trên $ℝ$ .

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 trên $ℝ$

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 trên $ℝ$ .

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $ℝ$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\lim_{x \to - \infty} y = + \infty$ và $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $ℝ$ .

Chọn D

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x + 2}$ . Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

A. y=1;x=-2

B. x+2=0

C. y=-2

D. y=1

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 2\}$ .

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 1}{x + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x (1 + \frac{1}{x})}{x (1 + \frac{2}{x})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 1 \Rightarrow y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn D

Câu 20:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{3} (x^{2} + 2 x) = 1$ là

$A . \{0\}$

$B . \{1; 3\}$

$C . \{1; - 3\}$

$D . \{- 3\}$

Xem đáp án

Ta có $\log_{3} (x^{2} + 2 x) = 1 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array}$

Chọn C

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là

A. (1;0;3)

B. (1;0;0)

C. (1;-2;0)

D. (0;-2;3)

Xem đáp án

Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1;-2;3) lên mặt phẳng (Oyz) ta chỉ cần giữ nguyên tung độ và cao độ, cho hoành độ bằng 0.

Chọn D

Câu 22:

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 3 và độ dài đường cao bằng 4 là

A. 8

B. 12

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Thể tích khối lăng trụ là $V = B . h = 3.4 = 12$ .

Chọn B

Câu 23:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình sau:

Số nghiệm của phương trình $f (x) + 2 = 0$ là

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

$f (x) + 2 = 0 \Leftrightarrow f (x) = - 2$ .

Số nghiệm của phương trình $f (x) + 2 = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=-2. Suy ra số nghiệm của phương trình là 2 nghiệm

Chọn D

Câu 24:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

$A . y = x^{3} - 3 x + 5$

$B . y = x^{3} - 3 x + 5$

$C . y = - x^{4} + x^{2} - 1$

$D . y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Dễ thấy đồ thị hàm số trên là đồ thị hàm số bậc 3, với hệ số a<0. Nên loại các đáp án A, B, C. Chọn đáp án D

Câu 25:

Biết $\int_{1}^{5} f (x) d x = 6$ , $\int_{1}^{5} g (x) d x = 8$ . Tính $\int_{1}^{5} [4 f (x) - g (x)] d x$ bằng

A. 6

B. 5

C. 61

D. 16

Xem đáp án

Ta thấy $\int_{1}^{5} [4 f (x) - g (x)] d x = 4 \int_{1}^{5} f (x) d x - \int_{1}^{5} g (x) d x = 4.6 - 8 = 16.$

Chọn D

Câu 26:

Tập nghiệm của bất phương trình ${5.6}^{x + 1} \leq {2.3}^{x + 1}$ là

$A . (- \infty; \frac{1}{10})$

$B . (- \infty; - \log_{2} 5]$

$C . (- \log_{2} 5; 0)$

$D . [- \log_{2} 5; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có ${5.6}^{x + 1} \leq {2.3}^{x + 1} \Leftrightarrow \frac{6^{x + 1}}{{2.3}^{x + 1}} \leq \frac{1}{5} \Leftrightarrow 2^{x} \leq \frac{1}{5} \Leftrightarrow x \leq \log_{2} (\frac{1}{5}) \Leftrightarrow x \leq - \log_{2} 5$

Chọn B

Câu 27:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên $[- 2; 3]$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình sau

Khi đó hàm số f(x)

A. đạt cực đại tại x=0

B. đạt cực đại tại x=1

C. đạt cực tiểu tại x=-2

D. đạt cực tiểu tại x=3

Xem đáp án

Từ bảng xét dấu suy ra y=f(x) đạt cực đại tại x=0

Chọn A

Câu 28:

Cho $a > 0, a \neq 1$ và $\log_{a} x = - 1$ , $\log_{a} y = 4$ . Giá trị của $\log_{a} (x^{2} y^{3})$ bằng

A. 14

B. 10

C. 18

D. 6

Xem đáp án

Ta có $\log_{a} (x^{2} y^{3}) = 2 \log_{a} x + 3 \log_{a} y = 2. (- 1) + 3.4 = 10$ .

Chọn B

Câu 29:

Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a \sqrt{2}$ . Thể tích của khối nón đã cho bằng

$A . \frac{\sqrt{2} π a^{3}}{12}$

$B . \frac{π a^{3}}{4}$

$C . \frac{\sqrt{7} π a^{3}}{3}$

$D . \frac{\sqrt{2} π a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được tam giác vuông cân SAB có cạnh huyền $A B = a \sqrt{2}$ và đường cao $S O = \frac{A B}{2}$ .

Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π . {(\frac{A B}{2})}^{2} . S O = \frac{1}{3} π . {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2} π}{12}$ .

Chọn A

Câu 30:

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin x + \cos x$ thỏa mãn $F (\frac{π}{2}) = 2$ . Khi đó F(x) bằng

$A . - \cos x + \sin x + 3$

$B . - \cos x + \sin x - 1$

$C . - \cos x + \sin x + 1$

$D . \cos x - \sin x + 3$

Xem đáp án

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; 2; 2)$ , B(3;0;2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

$A . x - y - z + 1 = 0$

$B . x + y - z - 1 = 0$

$C . x - y - 1 = 0$

$D . x + y - 3 = 0$

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (2; - 2; 0)$ .

Gọi I là trung điểm của AB nên $I (2; 1; 2)$ .

Phương trình trung trực của đoạn thẳng AB: x-y-1=0

Chọn C

Câu 32:

Cho $I = \int_{- 1}^{0} \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x}} d x$ . Nếu đặt $t = \sqrt{1 - 2 x}$ thì I bằng

$A . \int_{\sqrt{3}}^{1} \frac{d t}{t}$

$B . \int_{\sqrt{3}}^{1} d t$

$C . \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d t}{t}$

$D . \int_{1}^{\sqrt{3}} d t$

Xem đáp án

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (- 4; 1; - 5)$ , $B (2; - 4; 7)$ , C(3;-2;9). Tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành là

A. D(2;3;-3)

B. D(-3;3;-3)

C. D(-3;-3;3)

D. D(-6;5;-12)

Xem đáp án

Ta có $\vec{B C} = (1; 2; 2)$ .

ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{A D} = \vec{B C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D} + 4 = 1 \\ y_{D} - 1 = 2 \\ z_{D} + 5 = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D} = - 3 \\ y_{D} = 3 \\ z_{D} = - 3 \end{cases}$

Chọn B

Câu 34:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ \ \{- 1; 1\}$ .

Ta có:

$\lim_{x \to 1^{\pm}} (\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}) = \lim_{x \to 1^{\pm}} \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x + 1)} = \lim_{x \to 1^{\pm}} \frac{x - 2}{x + 1} = - \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x \to - 1^{\pm}} (\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}) = \lim_{x \to - 1^{\pm}} \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x + 1)} = \lim_{x \to - 1^{\pm}} \frac{x - 2}{x + 1} = \mp \infty$ .

Hàm số có tiệm cận đứng là x=-1.

Chọn B

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh $S A = a \sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa SC và (ABCD) bằng

$A . 90^{0}$

$B . 45^{0}$

$C . 30^{0}$

$D . 60^{0}$

Xem đáp án

Vì SA vuông góc với mặt đáy nên góc giữa SC và (ABCD) là góc $\hat{S C A}$ .

Do ABCD là hình vuông a, suy ra $A C = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A và có $S A = A C = a \sqrt{2} \Rightarrow$ tam giác SAC vuông cân tại A $\Rightarrow \hat{S C A} = 45^{0}$ .

Chọn B

Câu 36:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ trên [1;3]. Khi đó giá trị $T = 2 M + m$ bằng

A. 3

B. 2

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đạo hàm $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

y'=0 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (L) \\ x = 2 \end{array}$ .

Ta có: y(1)=1, y(2)=-1 và y(3)=3.

Do đó $M = \underset{x \in [1; 3]}{M a x} y = y (3) = 3$ và $m = \underset{x \in [1; 3]}{M i n} y = y (2) = - 1$ . Suy ra $T = 2 M + m = 5$ .

Chọn D

Câu 37:

Cho hàm số $y = (x + 1) (x^{2} - 2)$ có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. (C) cắt trục hoành tại một điểm

B. (C) cắt trục hoành tại ba điểm

C. (C) cắt trục hoành tại hai điểm

D. (C) không cắt trục hoành

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số $y = (x + 1) (x^{2} - 2)$ và trục hoành ta có:

$(x + 1) (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - \sqrt{2} \\ x = \sqrt{2} \end{array}$

Vậy (C) cắt trục hoành tại 3 điểm

Chọn B

Câu 38:

Đạo hàm của hàm số $y = 2^{x^{2} + x}$ là

$A . y^{'} = (2 x + 1) 2^{x^{2} + x} .$

$B . y^{'} = (2 x + 1) 2^{x^{2} + x} . \ln 2.$

$C . y^{'} = 2^{x^{2} + x} . \ln 2.$

$D . y^{'} = 2^{2 x + 1} . \ln 2.$

Xem đáp án

Áp dụng công thức: ${(a^{u})}^{'} = u^{'} . a^{u} . \ln a$

Ta có $y' = {(2^{x^{2} + x})}^{'} = {(x^{2} + x)}^{'} {.2}^{x^{2} + x} . \ln 2 = (2 x + 1) {.2}^{x^{2} + x} . \ln 2.$

Chọn B

Câu 39:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng $a \sqrt{2}$ . Khoảng cách từ tâm O của đáy đến một mặt bên bằng

$A . \frac{2 \sqrt{5} a}{3}$

$B . \frac{\sqrt{5} a}{2}$

$C . \frac{\sqrt{3} a}{2}$

$D . \frac{\sqrt{2} a}{3}$

Xem đáp án

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy ABCD nên $S O ⊥ (A B C D)$ . (1)

Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Ta có $O M ⊥ C D$ , $O M = \frac{A D}{2} = \frac{a}{2}$ .

Từ (1) suy ra $S O ⊥ C D$ . Cho nên $(S O M) ⊥ C D$ . (2)

Trong mặt phẳng (SOM), hạ $O H ⊥ S M$ . Khi đó từ (2) suy ra $O H ⊥ C D$ .

Do đó $O H ⊥ (S C D) \Rightarrow O H = d (O; (S C D))$ . (3)

Trong tam giác vuông SAM, có $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O M^{2}} \Rightarrow O H = \frac{S O . O M}{\sqrt{S O^{2} + O M^{2}}} = \frac{a \sqrt{2} . \frac{a}{2}}{\sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{3} a$ . (4)

Từ (3) và (4) suy ra $d (O; (S C D)) = \frac{\sqrt{2}}{3} a$ .

Vậy khoảng cách từ tâm O của đáy đến một mặt bên bằng $\frac{\sqrt{2}}{3} a$ .

Chọn D

Câu 40:

Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp đó. Xác suất thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3 bằng

A. 0,3

B. 0,15

C. 0,5

D. 0,2

Xem đáp án

Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp chứa 20 thẻ nên mỗi phần tử của không gian mẫu là một tổ hợp chập 1 của 20 phần tử. Suy ra $n (Ω) = C_{20}^{1} = 20$ .

Gọi A: “Thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3”.

Vì trong hộp chứa 3 thẻ ${3; 9; 15}$ ghi số lẻ và chia hết cho 3 nên $n (A) = C_{3}^{1} = 3$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{3}{20} = 0, 15$ .

Chọn B

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-2;4). Gọi $(α)$ là mặt phẳng đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 2. Khoảng cách từ O đến $(α)$ bằng

$A . \frac{1}{\sqrt{21}}$

$B . \frac{3}{\sqrt{21}}$

$C . \frac{4}{\sqrt{21}}$

$D . \frac{2}{\sqrt{21}}$

Xem đáp án

Ba điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 2 nên A(a;0;0), B(0;2a;0), C(0;0;4a) với a>0.

Khi đó $(α)$ có phương trình theo đoạn chắn là $\frac{x}{a} + \frac{y}{2 a} + \frac{z}{4 a} = 1 \Leftrightarrow 4 x + 2 y + z - 4 a = 0$ .

Vì $(α)$ đi qua M(1;-2;4) nên ta có $4.1 + 2. (- 2) + 4 - 4 a = 0 \Leftrightarrow a = 1$ (TM).

Do đó $(α)$ có phương trình $4 x + 2 y + z - 4 = 0$ .

Vậy $d (O; (α)) = \frac{|4.0 + 2.0 + 0 - 4|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{21}}$ .

Chọn C

Câu 42:

Cho hình thang cân ABCD, AB//CD, AB=6, CD=2, $A D = B C = \sqrt{13}$ . Quay hình thang ABCD xung quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó bằng

$A . 12 π$

$B . 30 π$

$C . 18 π$

$D . 24 π$

Xem đáp án

Gọi H,K là hình chiếu của D,C lên AB.

Khi quay hình thang ABCD xung quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn, gồm:

+) hai khối nón bằng nhau có đỉnh lần lượt là A và B, đường cao lần lượt là AH=BK=2, đáy lần lượt là các hình tròn có bán kính là $D H = C K = \sqrt{13 - 4} = 3$ .

+) một khối trụ có đường cao bằng DC=2, hai đáy là hai hình tròn có bán kính bằng $D H = C K = \sqrt{13 - 4} = 3$ .

Do đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là: $V = 2. V_{n} + V_{t} = 2. \frac{1}{3} .2.9 π + 2.9 π = 30 π$ .

Chọn B

Câu 43:

Anh Nam tiết kiệm được x triệu đồng và dùng số tiền đó để mua một căn nhà, nhưng thực tế giá căn nhà đó là 1,6x triệu đồng. Anh Nam quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm theo hình thức lãi kép và không rút tiền trước kỳ hạn. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm anh Nam có đủ số tiền cần thiết (bao gồm vốn lẫn lãi) mua căn nhà đó? Giả sử trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi, anh Nam không rút tiền và giá bán căn nhà không thay đổi.

A. 6 năm

B. 5 năm

C. 7 năm

D. 8 năm

Xem đáp án

Gọi n là số năm cần tìm $(n \in ℕ^{*})$ .

Theo công thức lãi kép, số tiền anh Nam nhận được sau n năm là: $x {(1 + 7 %)}^{n}$ .

Theo bài ra, ta có: $x {(1 + 7 %)}^{n} \geq 1, 6 x \Leftrightarrow n \geq \log_{1, 07} 1, 6 ≃ 6, 95$

Vậy, n=7.

Chọn C

Câu 44:

Cho hàm số $y = \frac{a x - b}{x - 1}$ có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 0<b<a

B. b<0<a

C. a<b<0

D. a<0,b<0

Xem đáp án

Từ đồ thị hàm số ta thấy đường tiệm cận ngang là $y = 1 \Rightarrow a = 1 > 0$

Giao điểm với trục hoành là điểm có hoành độ bằng $- 2 \Rightarrow \frac{b}{a} = - 2 \Rightarrow b = - 2 a = - 2 < 0$ .

Vậy, b<0<a.

Chọn B

Câu 45:

Biết $\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x = \frac{3 e^{a} + 1}{b},$ với a,b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a-b=4

B. a.b=46

C. a.b=64

D. a-b=12

Xem đáp án

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x^{3} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = \frac{x^{4}}{4} \end{cases}$

Do đó $\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x = {\frac{x^{4} \ln x}{4}|}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{4} d x = \frac{e^{4}}{4} - {\frac{x^{4}}{16}|}_{1}^{e} = \frac{3 e^{4} + 1}{16}$ .

Suy ra $a = 4, b = 16 \Rightarrow a . b = 64.$

Chọn C

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của y để tập nghiệm của bất phương trình $(\log_{2} x - 2) (2^{x} - y) < 0$ có ít nhất số nguyên và không quá số nguyên?

A. 2048

B. 2016

C. 1012

D. 2023

Xem đáp án

Điều kiện x>0

Xét $(\log_{2} x - 2) (2^{x} - y) < 0$ (1) (với y là số nguyên dương).

Trường hợp 1: $\{\begin{cases} \log_{2} x - 2 > 0 \\ 2^{x} - y < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 4 \\ x < \log_{2} y \end{cases}$

Bất phương trình (1) có ít nhất 1 số nguyên và không quá 6 số nguyên .

$\Leftrightarrow 5 < \log_{2} y \leq 11$

Suy ra số các số nguyên dương y là 2016 số.

Trường hợp 2: $\{\begin{cases} \log_{2} x - 2 < 0 \\ 2^{x} - y > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < x < 4 \\ x > \log_{2} y \end{cases}$

Bất phương trình (1) có ít nhất 1 số nguyên và không quá 6 số nguyên

$\Leftrightarrow \log_{2} y < 3 \Leftrightarrow 0 < y < 8.$

Suy ra số các số nguyên dương y là 7 số.

Vậy số các số nguyên dương cần tìm là 2023

Chọn D

Câu 47:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2021. f (f (x)) = m$ có 7 nghiệm phân biệt?

A. 8078

B. 0

C. 4041

D. 8076

Xem đáp án

Ta có: $2021. f (f (x)) = m \Leftrightarrow f (f (x)) = \frac{m}{2021}$ .

Khảo sát hàm số $y = f (f (x))$ trên $ℝ$ .

Đạo hàm: $y^{'} = f^{'} (x) . f^{'} (f (x)) = (3 x^{2} - 6 x) (3 {(f (x))}^{2} - 6 f (x)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 = x_{1} \\ x = 2 = x_{2} \\ f (x) = 0 \\ f (x) = 2 \end{array}$ .

Chú ý rằng: $f (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{3} \approx 2, 879 \\ x = x_{4} \approx 0, 653 \\ x = x_{5} \approx - 0, 532 \end{array}$ và $f (x) = 2 \Leftrightarrow x = x_{6} \approx 3, 104$ .

Do 6 nghiệm trên đều là nghiệm đơn nên hàm số $y = f (f (x))$ có 6 cực trị là $i = 1, 2, ..., 6$ .

Bảng biến thiên:

Phương trình $2021. f (f (x)) = m$ có 7 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow - 1 < \frac{m}{2021} < 1 \Leftrightarrow - 2021 < m < 2021$

Do m nguyên nên $m \in \{- 2020, - 2019, ..., 2019, 2020\}$ , do đó có 4041 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa $2 f (x) + x f^{'} (x) = 2 x + 1$ và f(1)=-3. Tính $I = \int_{0}^{1} f (x) d x$

$A . I = \frac{5}{2}$

B. I=-1

C. I=5

D. I=2

Xem đáp án

Lấy tích phân hai vế với cận từ 0 đến 1 của đẳng thức $2 f (x) + x f^{'} (x) = 2 x + 1$ , ta có:

$\int_{0}^{1} 2 f (x) d x + \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x = \int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$ .

Suy ra

$2 \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x = (x^{2} + x) |_{0}^{1} = 2$ .

Hay

$2 I + J = 2$ với $J = \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x$ .

Xét $J = \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x$ .

Đặt $\{\begin{cases} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = f^{'} (x) d x \Rightarrow v = f (x) \end{cases}$ .

Khi đó $J = u v |_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v d u = x f (x) |_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f (x) d x = f (1) - I = - 3 - I$ .

Thay $J = - 3 - I$ vào đẳng thức 2I+J=2, ta có ngay $2 I - 3 - I = 2$ , hay I=5.

Chọn C

Câu 49:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 4 m}$ nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ ?

A. Vô số

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 4 m}$ có đạo hàm $y^{'} = \frac{4 m - 3}{{(x + 4 m)}^{2}}$ , y'<0 $\Leftrightarrow m < \frac{3}{4}$ .

Mặt khác, hàm số không xác định tại x=-4m.

Để hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 4 m}$ nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ thì y'<0 và hàm số xác định trên khoảng $(2; + \infty)$ , suy ra $\{\begin{cases} m < \frac{3}{4} \\ (2; + \infty) \subset (- 4 m; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < \frac{3}{4} \\ - 4 m \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < \frac{3}{4} \\ m \geq - \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < \frac{3}{4}$ .

Vậy chỉ có một giá trị nguyên của tham số m (là m=0) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn D

Câu 50:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng $45^{o}$ . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AB. Thể tích khối tứ diện DMNP bằng

$A . \frac{a^{3}}{6}$

$B . \frac{a^{3}}{12}$

$C . \frac{a^{3}}{2}$

$D . \frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Dễ thấy OP là đường trung bình trong $△ A B C$ nên $O P = \frac{B C}{2} = a$ .

Mặt khác góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng góc $\hat{S P O}$ và bằng $45^{o}$ .

Xét $△ S P O$ vuông tại O, có $\hat{S P O} = 45^{o} ⇒△SPO$ vuông cân tại O, suy ra $S O = O P = a$ .

Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a .4 a^{2} = \frac{4 a^{3}}{3}$ .

Suy ra $V_{S . A B D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

Xét $Δ S A B$ với MN, NP, PM là các đường trung bình, suy ra $\frac{S_{M N P}}{S_{S A B}} = \frac{1}{4}$ .

Ta có $\frac{V_{D . M N P}}{V_{S . A B D}} = \frac{\frac{1}{3} . d (D, (S A B)) . S_{M N P}}{\frac{1}{3} . d (D, (S A B)) . S_{S A B}} = \frac{1}{4}$ .

Vậy $V_{D . M N P} = \frac{1}{4} . V_{S . A B D} = \frac{1}{4} . \frac{2 a^{3}}{3} = \frac{a^{3}}{6}$ .

Chọn A

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề số 24)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan