50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề số 30)

Câu 1:

Cho $\int_{1}^{3} f (x) d x = \frac{2}{3}; \int_{1}^{3} g (x) d x = \frac{3}{4} .$ Khi đó $\int_{1}^{3} [f (x) - g (x)] d x$ có giá trị bằng

$A . \frac{1}{2} .$

$B . \frac{17}{12} .$

$C . - \frac{1}{12} .$

$D . \frac{1}{12} .$

Xem đáp án

Chọn C.

$\int_{1}^{3} [f (x) - g (x)] d x = \int_{1}^{3} f (x) d x - \int_{1}^{3} g (x) d x = - \frac{1}{12}$

Câu 2:

Trong không gian Oxyz cho M(-3;2;-1). Tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) là

A. (3;-2;-1)

B. (3;2;1)

C. (3;2;-1)

D. (-3;2;1)

Xem đáp án

Chọn D.

Hình chiếu H của M lên mặt phẳng tọa độ (Oxy) có tọa độ là $H (- 3; 2; 0) .$ Khi đó H là trung điểm của MM'. Vậy $M' (- 3; 2; 1) .$

Câu 3:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm sốj $y = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ là đường thẳng có phương trình

A. x=2

B. x=3

$C . x = \frac{1}{2} .$

$D . x = \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Câu 4:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2021} (x - 2)$ là

$A . (- \infty; 2) .$

$B . (2; + \infty) .$

$C . (- \infty; 2] .$

$D . [2; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Hàm số xác định khi và chỉ khi $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2.$

Câu 5:

Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 12 a^{2},$ chiều cao h=5a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

$A . 180 a^{3} .$

$B . 20 a^{3} .$

$C . 60 a^{3} .$

$D . 10 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Thể tích của khối chóp đã cho là $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} .12 a^{2} .5 a = 20 a^{3} .$

Câu 6:

Cho khối trụ có bán kính đáy R=2a, chiều cao h=3a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

$A . 24 π a^{3} .$

$B . 12 π a^{3} .$

$C . 4 π a^{3} .$

$D . 36 π a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Thể tích của khối trụ đã cho là $V = π R^{2} h = π . {(2 a)}^{2} .3 a = 12 π a^{3} .$

Câu 7:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + 3 t \\ z = 5 - t \end{cases} .$ Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

$A . {\vec{u}}_{2} = (0; 3; - 1) .$

$B . {\vec{u}}_{3} = (1; - 3; - 1) .$

$C . {\vec{u}}_{4} = (1; 2; 5) .$

$D . {\vec{u}}_{1} = (1; 3; - 1) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Một vectơ chỉ phương của d là $\vec{u_{2}} = (0; 3; - 1) .$

Câu 8:

Trong không gian Oxyz phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz)?

A. y=0

B. x=0

$C . y - z = 0.$

D. z=0

Xem đáp án

Chọn B.

Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là $\vec{i} = (1; 0; 0) .$

Mặt phẳng (Oyz) đi qua điểm O(0;0;0) có vectơ pháp tuyến là $\vec{i} = (1; 0; 0)$ có phương trình là x=0

Câu 9:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2,$ công bội q=3. Giá trị của $u_{3}$ bằng

$A . u_{3} = 18$

$B . u_{3} = 5$

$C . u_{3} = 6$

$D . u_{3} = 8$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $u_{3} = u_{1} . q^{2} = {2.3}^{2} = 18.$

Câu 10:

Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng

$A . 2 π R .$

$B . π R^{2} .$

$C . 4 π R^{2} .$

$D . 2 π R^{2} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Theo công thức SGK ta có diện tích mặt cầu có bán kính R là $S = 4 π R^{2} .$

Câu 11:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

A. x=3

B. x=4

C. x=1

D. x=2

Xem đáp án

Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1

Câu 12:

Cho số phức $z = 3 - 4 i .$ Số phức liên hợp của z là

$A . \bar{z} = - 4 + 3 i .$

$B . \bar{z} = - 3 - 4 i .$

$C . \bar{z} = - 3 + 4 i .$

$D . \bar{z} = 3 + 4 i .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $z = 3 - 4 i \Rightarrow \bar{z} = 3 + 4 i .$

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 z - 7 = 0.$ Bán kính của (S) bằng

$A . \sqrt{15} .$

B. 9

$C . \sqrt{7} .$

D. 3

Xem đáp án

Chọn D.

Bán kính mặt cầu $r = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 7} = 3.$

Câu 14:

Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

$A . y = x^{3} - 3 x + 2.$

$B . y = x^{4} - 3 x^{2} - 2.$

$C . y = - x^{3} + 3 x - 2.$

$D . y = x^{4} - 3 x^{2} + 2.$

Xem đáp án

Chọn C.

Từ đồ thị suy ra đây là hàm số bậc ba có hệ số của $x^{3}$ âm. Nên hàm số cần tìm là $y = - x^{3} + 3 x - 2.$

Câu 15:

Phương trình $\log_{2} (x - 5) = 4$ có nghiệm là

A. x=13

B. x=3

C. x=11

D. x=21

Xem đáp án

Chọn D.

$\log_{2} (x - 5) = 4 \Leftrightarrow x - 5 = 2^{4} \Leftrightarrow x = 21.$

Câu 16:

Cho khối lăng trụ có thể tích V=24 diện tích đáy B=4. Chiều cao của khối lăng trụ đã cho bằng

A. 8

B. 6

C. 2

D. 12

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $V = B . h \Rightarrow h = \frac{V}{B} = \frac{24}{4} = 6.$

Câu 17:

Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

$A . \log a^{3} = 3 \log a .$

$B . \log (3 a) = \frac{1}{3} \log a .$

$C . \log (3 a) = 3 \log a .$

$D . \log a^{3} = \frac{1}{3} \log a .$

Xem đáp án

Chọn A.

Xét đáp án A, có $\log a^{3} = 3 \log a$ nên D sai

Xét đáp án B, có $\log (3 a) = \log 3 + \log a$ nên B, C sai

Câu 18:

Phương trình $2^{2 x - 3} = 1$ có nghiệm là

$A . x = \frac{2}{3} .$

$B . x = \frac{5}{2} .$

$C . x = \frac{3}{2} .$

D. x=2

Xem đáp án

Chọn C.

$2^{2 x - 3} = 1 \Leftrightarrow 2^{2 x - 3} = 2^{0} \Leftrightarrow 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} .$

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 3 + 2 i$ và $z_{2} = - 1 + 3 i$ . Khi đó số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng

A. -4+i

B. 4-i

C. 2-i

D. 2+5i

Xem đáp án

Chọn D.

Có $z_{1} + z_{2} = 3 + 2 i + (- 1 + 3 i) = 2 + 5 i .$

Câu 20:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2}$ là

$A . F (x) = \frac{x^{3}}{3} + C .$

$B . F (x) = x^{3} + C .$

C. F(x)=x+C

D. F(x)=2x+C

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $F (x) = \int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C .$

Câu 21:

Từ các số 12;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau ?

A. 120

B. 60

C. 15

D. 120

Xem đáp án

Chọn B.

Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ 5 chữ số 1;2;3;4;5 là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Số các số tạo thành là: $A_{5}^{3} = 60$ (số).

Câu 22:

Cho hình nón có bán kính đáy là $r = \sqrt{3}$ và độ dài đường sinh l=4. Tính diện tích xung quanh S của hình nón đã cho

$A . S = 16 π \sqrt{3} .$

$B . S = 4 π \sqrt{3} .$

$C . S = 8 π \sqrt{3} .$

$D . S = 24 π .$

Xem đáp án

Chọn B.

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón có: $S_{x q} = π r l = π . \sqrt{3} .4 = 4 π \sqrt{3} .$

Câu 23:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như sau

Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

$A . (0; + \infty) .$

$B . (1; + \infty) .$

C. (-1;1)

$D . (- \infty; - 1) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Từ đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên $(1; + \infty) .$

Câu 24:

Điểm nào trong hình vẽ sau là điểm biểu diễn số phức z=-1+2i?

A. P

B. M

C. Q

D. N

Xem đáp án

Chọn C.

Từ hình vẽ ta thấy điểm biểu diễn của số phức $z = - 1 + 2 i$ là điểm Q(-1;2)

Câu 25:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ sau.

Số nghiệm của phương trình $f (x) = \frac{2020}{2021}$ là

A. 4

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình $f (x) = \frac{2020}{2021}$ chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng $y = \frac{2020}{2021}$

Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình $f (x) = \frac{2020}{2021}$ có tất cả 4 nghiệm phâ biệt

Câu 26:

Cho tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt{8}} \sqrt{16 - x^{2}} d x$ và đặt $x = 4 \sin t .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

$A . I = - 16 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{2} t d t .$

$B . I = 8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \cos 2 t) d t .$

$C . I = 16 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} t d t .$

$D . I = 8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - \cos 2 t) d t .$

Xem đáp án

Chọn B.

Vì $x = 4 \sin t \Rightarrow d x = 4 \cos t d t$ .

Đổi cận: x=0 thì $4 \sin t = 0 \Leftrightarrow t = 0; x = \sqrt{8}$ thì $4 \sin t = \sqrt{8} \Leftrightarrow t = \frac{π}{4} .$

Khi đó $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{16 - {(4 \sin t)}^{2}} .4 \cos t d t = 16 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{2} t d t = 8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \cos 2 t) d t$

Câu 27:

Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình $2^{3 x + 1 - x^{2}} > {(\sqrt{2})}^{2 x}$ là

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $2^{3 x + 1 - x^{2}} > {(\sqrt{2})}^{2 x} \Leftrightarrow 2^{3 x + 1 - x^{2}} > 2^{x}$

$\Leftrightarrow 3 x + 1 - x^{2} > x \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 1 < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2} .$

Vì $x \in ℕ *$ nên $x \in \{1; 2\} .$

Vậy bất phương trình $2^{3 x + 1 - x^{2}} > {(\sqrt{2})}^{2 x}$ có 2 nghiệm nguyên dương

Câu 28:

Tìm điểm cực đại $x_{0}$ của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1.$

$A . x_{0} = 3$

$B . x_{0} = - 1$

$C . x_{0} = 0$

$D . x_{0} = 1$

Xem đáp án

Câu 29:

Cho số phức $z = a + b i (a; b \in ℝ)$ thỏa mãn $(1 + 2 i) z - (2 - 3 i) \bar{z} = 2 + 30 i .$ Tổng a+b có giá trị bằng

A. -8

B. -2

C. 2

D. 8

Xem đáp án

Câu 30:

Gọi $z_{1}, z {}_{2}$ là các nghiệm của phương trình $z^{2} - 8 z + 25 = 0.$ Giá trị của $|z_{1} - z_{2}|$ bằng

A. 6

B. 5

C. 8

D. 3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $z^{2} - 8 z + 25 = 0 \Leftrightarrow {(z - 4)}^{2} = - 9 = 9 i^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 4 + 3 i \\ z_{2} = 4 - 3 i \end{array} \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = |6 i| = 6.$

Câu 31:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos (2 x + 3)$ là

$A . - \frac{1}{2} \sin (2 x + 3) + C .$

B. sin(2x+3)+C

$C . \frac{1}{2} \sin (2 x + 3) + C .$

D. -sin(2x+3)+C

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \cos (2 x + 3) d x = \frac{1}{2} \sin (2 x + 3) + C .$

Câu 32:

Cho $\log_{2} x = \sqrt{2} .$ Giá trị của biểu thức $P = \log_{2} x^{2} + \log_{\frac{1}{2}} x^{3} + \log_{4} x$ bằng

$A . 3 \sqrt{2} .$

$B . \frac{11 \sqrt{2}}{2} .$

$C . - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

$D . \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $P = 2 \log_{2} x - 3 \log_{2} x + \frac{1}{2} \log_{2} x = - \frac{1}{2} \log_{2} x = - \frac{1}{2} . \sqrt{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 33:

Đồ thị hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2}$ có bao nhiêu điểm chung với trục hoành ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 0

Xem đáp án

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2}$ và trục hoành là:

$- x^{4} + 2 x^{2} = 0 \Leftrightarrow - x^{2} (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{array} .$

Từ đó ta suy ra đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Câu 34:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{3} - x$ và $y = x - x^{2}$ bằng

$A . \frac{37}{12} .$

$B . \frac{81}{12} .$

$C . \frac{9}{4} .$

D. 13

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - x$ và $y = x - x^{2}$ là

$x^{3} - x = x - x^{2} \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array} .$

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{3} - x$ và $y = x - x^{2}$ là

$S = \int_{- 2}^{1} |(x^{3} - x) - (x - x^{2})| d x = |\int_{- 2}^{0} (x^{3} + x^{2} - 2 x) d x| + |\int_{0}^{1} (x^{3} + x^{2} - 2 x) d x| = \frac{37}{12} .$

Câu 35:

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng $(P) : x + y + z + 1 = 0,$ $(Q) : x - y + z - 2 = 0$ và điểm $A (1; - 2; 3) .$ Đường thẳng đi qua A song song với cả (P) và (Q) có phương trình là

$A . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 \\ z = 3 - t \end{cases} .$

$B . \{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 2 \\ z = - 3 - t \end{cases} .$

$C . \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 \\ z = 3 + 2 t \end{cases} .$

$D . \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \\ z = 3 - 2 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $(P) : x + y + z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 1; 1);$

$(Q) : x - y + z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n'} = (1; - 1; 1) .$

$[\vec{n}, \vec{n'}] = (2; 0; - 2) .$

Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với cả (P) và (Q).

Khi đó d có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = \frac{1}{2} [\vec{n} . \vec{n'}] = (1; 0; - 1)$ nên có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 \\ z = 3 - t \end{cases} .$

Câu 36:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 2; - \frac{1}{2}]$ bằng

$A . - \frac{1}{2} .$

B. 5

C. $- \frac{11}{2} .$

D. -5

Xem đáp án

Chọn D.

Trên đoạn $[- 2; - \frac{1}{2}]$ hàm số có $f' (x) = 6 x^{2} + 6 x; f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1.$

Ta có $f (- 2) = - 5; f (- 1) = 0; f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} .$

Suy ra $\max_{[- 2; - \frac{1}{2}]} f (x) = 0, \min_{[- 2; - \frac{1}{2}]} f (x) = - 5.$

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 2; - \frac{1}{2}]$ bằng -5

Câu 37:

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2 \sqrt{3}$ . Thể tích của khối nón đã cho bằng

$A . 3 π \sqrt{2} .$

$B . 3 π \sqrt{3} .$

$C . π \sqrt{3} .$

$D . 3 π .$

Xem đáp án

Chọn C.

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB như hình vẽ và O là tâm đáy.

Theo giả thiết tam giác SAB vuông cân tại $S, A B = 2 \sqrt{3}$ và O là trung điểm AB

Khi đó hình nón có $r = \frac{A B}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}, h = S O = \frac{A B}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ nên thể tích khối nón bằng $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = π \sqrt{3} .$

Câu 38:

Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình $(1 + i) \bar{z} = 3 - 5 i .$

A. M(1;4)

B. M(1;-4)

C. M(-1;4)

D. M(-1;-4)

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $(1 + i) \bar{z} = 3 - 5 i \Rightarrow \bar{z} = \frac{3 - 5 i}{1 + i} = \frac{(3 - 5 i) (1 - i)}{2} = \frac{3 - 3 i - 5 i - 5}{2} = - 1 - 4 i \Rightarrow z = - 1 + 4 i$ .

Điểm biểu diễn số phức z là $M (- 1; 4) .$

Câu 39:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S,SB=2a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC

$A . V = 2 a^{3} .$

$B . V = 4 a^{3} .$

$C . V = 6 a^{3} .$

$D . V = 12 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng $(A B C) \Rightarrow d (A, (S B C)) = A H \Rightarrow A H = 3 a$

Ta có $V = \frac{1}{3} A H . S_{S B C} = \frac{1}{3} .3 a . \frac{1}{2} .2 a .2 a = 2 a^{3} .$

Câu 40:

Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều nội tiếp khối cầu có bán kính bằng 9, khối chóp có thể tích lớn nhất bằng

A. 576

$B . 576 \sqrt{2}$

C. 144

$D . 144 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn A

Giả sử khối chóp đó là S.ABCD. Gọi I là tâm của hình vuông thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và SO là trục đường tròn ngoại tiếp đáy. Gọi M là trung điểm của SA. Trong mặt phẳng (SAI) đường trung trực của SA cắt SI tại O thì $O A = O B = O C = O S \Rightarrow O$ là tâm mặt cầu.

Hai tam giác vuông SMO,SIA đồng dạng $\Rightarrow \frac{S O}{S A} = \frac{S M}{S I} \Rightarrow S O = \frac{S M . S A}{S I} = \frac{S A^{2}}{2. S I} = 9.$

$\Rightarrow \frac{S I^{2} + A I^{2}}{S I} = 18$

Mặt khác $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S I . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . S I . \frac{A C^{2}}{2} = \frac{2}{3} . S I . A I^{2} = \frac{2}{3} S I . (18. S I - S I^{2}) .$

Đặt $S I = t (0 < t < 18)$ xét hàm số: $f (t) = \frac{2}{3} t^{2} (18 - t) = \frac{8}{3} . (\frac{t}{2} . \frac{t}{2} . (18 - t)) \leq \frac{8}{3} {(\frac{t + 18 - t}{3})}^{3} = 576.$

Dấu “=” xảy ra: $\frac{t}{2} = 18 - t \Leftrightarrow t = 12.$

Suy ra, thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất là 576 khi SI=12

Câu 41:

Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là

A. 78400

B. 235200

C. 117600

D. 44100

Xem đáp án

Chọn C.

Chọn 1 điểm bất kì: Có 100 cách chọn.

Xét một điểm A bất kì, xét đường tròn có đường kính chứa điểm A (quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ) để tạo được một tam giác từ ta cần chọn 2 điểm còn lại cùng nằm trên nửa đường tròn. Vậy có: $C_{49}^{2}$ cách chọn.

Số tam giác tù là: $100. C_{49}^{2} = 117600.$

Câu 42:

Từ một cây sắt dài 6 mét người ta uốn và hàn lại thành khung của một cánh cổng gồm một hình chữ nhật và một nửa hình tròn ghép lại như hình vẽ sau (không tính đoạn AB).

Cánh cổng trên có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu nếu bỏ qua hao hụt và các mối hàn khi gia công ?

$A . \frac{18}{π + 4} .$

$B . \frac{8 π}{9} .$

$C . \frac{9 (π + 4)}{25} .$

$D . \frac{4 + 6 π}{9} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt: $C D = 2 x (m), A D = y (m) (0 < x < 3, 0 < y < 6) .$

Ta có: bán kính của nửa đường tròn là x(m)

Vì cây sắt dài 6(m) nên ta có: $2 x + 2 y + π x = 6 \Leftrightarrow y = \frac{6 - 2 x - π x}{2}$

Diện tích của cánh cổng là: $S = 2 x y + \frac{1}{2} π x^{2} = x (6 - 2 x - π x) + \frac{1}{2} π x^{2} = 6 x - 2 x^{2} - \frac{1}{2} π x^{2}$

Đặt $f (x) = 6 x - 2 x^{2} - \frac{1}{2} π x^{2} = S (0 < x < 3)$

Có: $f' (x) = 6 - 4 x - π x, f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{6}{4 + π}$

Bảng biến thiên của f(x) trên (0;3)

Theo bảng biến thiên trên ta được: $M a x S = \underset{x \in (0; 3)}{M a x} f (x) = \frac{18}{π + 4}$ đạt được khi $x = \frac{6}{π + 4} .$

Câu 43:

Ông Thành vay ngân hàng 2,5 tỷ đồng và trả góp hàng tháng với lãi suất 0,51%. Hàng tháng, ông Thành trả 50 triệu đồng (bắt đầu từ khi vay). Hỏi sau 36 tháng thì số tiền ông Thành còn nợ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng triệu)?

A. 1019 triệu đồng

B. 1025 triệu đồng

C. 1016 triệu đồng

D. 1022 triệu đồng

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt A=2500 (triệu), $r = 0, 0051, m = 50$ (triệu).

Tiền còn nợ sau 1 tháng là: $T_{1} = (A - m) . (1 + r) = A . (1 + r) - m . (1 + r)$

Tiền còn nợ sau 2 tháng là: $T_{2} = (T_{1} - m) . (1 + r) = A . {(1 + r)}^{2} - m . [{(1 + r)}^{2} + (1 + r)] = A . {(1 + r)}^{2} - m . \frac{{(1 + r)}^{3} - (1 + r)}{r}$

Tiền còn nợ sau 3 tháng là: $T_{3} = (T_{2} - m) . (1 + r) = A . {(1 + r)}^{3} - m . [{(1 + r)}^{3} + {(1 + r)}^{2} + (1 + r)] = A . {(1 + r)}^{3} - m . \frac{{(1 + r)}^{4} - (1 + r)}{r}$

Do vậy số tiền còn nợ sau 36 tháng là: $T_{36} = A . {(1 + r)}^{36} - m . \frac{{(1 + r)}^{37} - (1 + r)}{r}$

Thay số vào ta được: $T_{36} = 2500. {(1 + 0, 0051)}^{36} - 50. \frac{{(1 + 0, 0051)}^{37} - (1 + 0, 0051)}{0, 0051} \approx 1022$ triệu

Câu 44:

Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + 2$ đạt cực trị tại các điểm A,B,C sao cho $B C > 2 O A$ (trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung) là

A. m>1

B. m>3

C. m>-1

$D . m < - 3 h a y m > 1.$

Xem đáp án

Chọn B.

Tập xác định $ℝ$

$y' = 4 x^{3} - 4 (m + 1) x, y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \end{array}$

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1.$

Khi đó, $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{m + 1} \\ x = - \sqrt{m + 1} \end{array}$

$x = \sqrt{m + 1} \Rightarrow y = 2 - {(m + 1)}^{2} \Rightarrow B (\sqrt{m + 1}; 2 - {(m + 1)}^{2}) x = - \sqrt{m + 1} \Rightarrow y = 2 - {(m + 1)}^{2} \Rightarrow C (- \sqrt{m + 1}; 2 - {(m + 1)}^{2}) \Rightarrow B C = 2 \sqrt{m + 1}, O A = 2$

Do đó, $B C > 2 O A \Rightarrow 2 \sqrt{m + 1} > 4 \Leftrightarrow m + 1 > 4 \Leftrightarrow m > 3$ (thỏa mãn m>-1).

Vậy m>3

Câu 45:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SD. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (AHK) bằng $30^{0}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

$A . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $B C ⊥ A B$ và $B C ⊥ S A$ suy ra $B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$ . Mặt khác $A H ⊥ S B$ suy ra $A H ⊥ (S B C) \Rightarrow S C ⊥ A H .$

Chứng minh tương tự ta cũng có $A K ⊥ (S C D) \Rightarrow S C ⊥ A K .$

Vậy $S C ⊥ (A H K) .$

Mà $S A ⊥ (A B C D)$ .

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (AHK) là góc giữa hai đường thẳng SA và SC (theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng) và bằng $\hat{A S C}$ . Vậy $\hat{A S C} = 30^{0} .$

Xét tam giác SAC có $\cos \hat{A S C} = \frac{S A}{S C} = \frac{S A}{\sqrt{S A^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow S A = a \sqrt{6}$ .

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{6} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

.

Câu 46:

Cho bất phương trình $(m - 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (m - 5) \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 2} + 4 m - 4 \geq 0$ ( m là tham số thực). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn $[\frac{5}{2}; 4] .$

$A . [\frac{7}{3}; + \infty) .$

$B . [- 3; \frac{7}{3}] .$

$C . (- \infty; \frac{7}{3}] .$

$D . [- 3; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện: x>2

Ta có: $(m - 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (m - 5) \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 2} + 4 m - 4 \geq 0$

$\Leftrightarrow 4 (m - 1) \log_{2}^{2} (x - 2) + 4 (m - 5) \log_{2} (x - 2) + 4 m - 4 \geq 0.$

Đặt $t = \log_{2} (x - 2) .$

Với $x \in [\frac{5}{2}; 4] \Rightarrow t \in [- 1; 1] .$

Do đó bất phương trình $(m - 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (m - 5) \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 2} + 4 m - 4 \geq 0$ nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn $[\frac{5}{2}; 4]$ khi và chỉ khi bất phương trình $4 (m - 1) t^{2} + 4 (m - 5) t + 4 m - 4 \geq 0 (1),$ nghiệm đúng với mọi t thuộc đoạn $[- 1; 1] .$

Ta có: $4 (m - 1) t^{2} + 4 (m - 5) t + 4 m - 4 \geq 0 \Leftrightarrow m (t^{2} + t + 1) \geq t^{2} + 5 t + 1.$

Vì $t^{2} + t + 1 = {(t + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0, \forall t \in ℝ$ nên $m (t^{2} + t + 1) \geq t^{2} + 5 t + 1 \Leftrightarrow m \geq \frac{t^{2} + 5 t + 1}{t^{2} + t + 1} .$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2} + 5 t + 1}{t^{2} + t + 1}$ trên đoạn [-1;1]

$f' (t) = \frac{t^{2} + 5 t + 1}{{(t^{2} + t + 1)}^{2}} = \frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + t + 1)}^{2}} . f (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + t + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1. f (- 1) = - 3; f (1) = \frac{7}{3} .$

Suy ra $\max_{t \in [- 1; 1]} f (t) = f (1) = \frac{7}{3}; \min_{t \in [- 1; 1]} f (t) = f (- 1) = - 3.$

Vậy $m \geq \frac{t^{2} + 5 t + 1}{t^{2} + t + 1}$ nghiệm đúng với mọi t thuộc đoạn [-1;1] khi $m \in [- 3; \frac{7}{3}] .$

Câu 47:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (\sin x) = 3 \sin x + m$ có nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ . Tổng các phần tử của S bằng

A. -6

B. -5

C. -8

D. -10

Xem đáp án

Chọn D.

Xét phương trình $f (\sin x) = 3 \sin x + m (1) .$

Đặt t=sinx ta có phương trình $f (t) = 3 t + m (2),$ phương trình (1) có nghiệm $x \in (0; π)$ khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm $t \in (0; 1] .$

Số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (t), t \in (0; 1]$ và đường thẳng y=3t+m

Đường thẳng y=3t+m đi qua điểm A(0;1) nên có phương trình y=3t+1

Đường thẳng y=3t+m đi qua điểm B(1;-1) nên có phương trình y=3t-4

Từ đó ta có giá trị thỏa mãn bài toán là $m \in [- 4; 1) .$ Các giá trị nguyên của là tập m, $S = \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0\}$ vậy tổng các phần tử bằng -10

Câu 48:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a. Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của SA,SC. Biết rằng BM vuông góc với AN. Thể tích của khối chóp bằng

$A . \frac{\sqrt{7}}{24} a^{3} .$

$B . \frac{\sqrt{7}}{8} a^{3} .$

$C . \frac{\sqrt{14}}{8} a^{3} .$

$D . \frac{\sqrt{14}}{24} a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi D sao cho MNAD là hình bình hành, BM vuông góc với AN nên tam giác DMB vuông cân tại M. Suy ra: $B M = \frac{B D}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{4} .$

Gọi cạnh $S A = x, x > 0. B M$ là đường trung tuyến tam giác SAB nên ta có:

$B M^{2} = \frac{2 (B A^{2} + B S^{2}) - S A^{2}}{4} \Leftrightarrow {(\frac{a \sqrt{14}}{4})}^{2} = \frac{2 (a^{2} + x^{2}) - x^{2}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

$S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{42}}{6} .$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{42}}{6} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{14}}{24} .$

Câu 49:

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đạo hàm thỏa mãn $x f' (x - 1) = (x - 3) f' (x)$ . Số cực trị của hàm số $y = f (x^{2})$ là

A. 4

B. 6

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Chọn D.

Từ giả thiết cho x=0 ta có $f' (0) = 0$ nên f'(x) có nghiệm x=0

Cho x=1 ta được f'(1)=0 nên f'(x) có nghiệm x=1

Cho x=2 ta được f'(2)=0 nên f'(x) có nghiệm x=2

Suy ra ta có $f' (x) = a x (x - 1) (x - 2)$ .

Từ $y = f (x^{2}) \Rightarrow y' = 2 x f' (x^{2}) = 2 a x^{3} (x^{2} - 1) (x^{2} - 2) .$

$y' = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 1 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{array}$

Vậy hàm số $y = f (x^{2})$ có 5 cực trị.

Câu 50:

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt{\frac{a + b c}{1 + \sqrt{b c}}} + \sqrt{\frac{b + c a}{1 + \sqrt{c a}}} + \sqrt{c + 2021}$ bằng

$A . \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{51}}{3} .$

$B . \sqrt{2021} + 2.$

$C . \sqrt{2021} .$

$D . \sqrt{2022} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $a + b c \geq a (a + b + c) \geq a^{2} + 2 a \sqrt{b c} \geq a^{2} (1 + \sqrt{b c}) \Rightarrow \sqrt{\frac{a + b c}{1 + \sqrt{b c}}} \geq a .$

Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{b + c a}{1 + \sqrt{c a}}} \geq b .$

Suy ra: $A \geq a + b + \sqrt{c + 2021} = 1 - c + \sqrt{c + 2021}$

Xét hàm số $f (c) = - c + \sqrt{c + 2021}; c \in [0; 1]$

Ta có $f' (c) = - 1 + \frac{1}{2 \sqrt{c + 2021}} < c, \forall c \in [0; 1] .$

Vậy f(c) là hàm số nghịch biến nên ta có $f (c) \geq f (1) = \sqrt{2022} .$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề số 30)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan