50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề số 22)

Câu 1:

Từ một nhóm gồm 14 học sinh có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh?

$A . C_{14}^{2}$

$B . A_{14}^{2}$

$C . 7$

$D . C_{14}^{1} . C_{13}^{1}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 25$ và $u_{3} = 11$ . Hãy tính $u_{2}$

A. 18

B. 16

C. 14

D. 12

Xem đáp án

Chọn A

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

$A . (2; + \infty) .$

$B . (1; + \infty) .$

$C . (- \infty; 3) .$

$D . (- \infty; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. x=2

B. x=-2

C. x=0

D. x=1

Xem đáp án

Chọn A

Câu 5:

Cho hàm số f(x), bảng xét dấu f'(x) của như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ là

A. x=2

B. y=1

$C . y = \frac{1}{2}$

D. y=2

Xem đáp án

Chọn D

Câu 7:

Đồ thị hàm số nào sau đây có dạng như đường cong hình dưới đây

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

$B . y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$

$C . y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

$D . y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 8:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ và trục hoành là

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{4} (a^{3})$ bằng

$A . 3 \log_{2} a$

$B . 3 + \log_{4} a$

$C . \frac{3}{2} \log_{2} a$

$D . \frac{2}{3} \log_{2} a$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số $y = e^{x} - \ln x$ .

$A . y^{'} = e^{x} + \frac{1}{x}$

$B . y^{'} = e^{x} - \frac{1}{x}$

$C . y^{'} = x e^{x}$

$D . y^{'} = \frac{e^{x}}{x}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 11:

Viết biểu thức $\sqrt{a \sqrt{a}}$ (a>0) về dạng lũy thừa của a là

$A . a^{\frac{5}{4}}$

$B . a^{\frac{1}{4}}$

$C . a^{\frac{3}{4}}$

$D . a^{\frac{1}{2}}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 12:

Phương trình $2^{3 - 4 x} = \frac{1}{32}$ có nghiệm là

A. x=-3

B. x=-2

C. x=2

D. x=3

Xem đáp án

Chọn C

Câu 13:

Phương trình $\log_{3} (3 x - 2) = 3$ có nghiệm là

$A . \frac{25}{3}$

$B . \frac{29}{3}$

$C . \frac{11}{3}$

D. 87

Xem đáp án

Chọn B

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2-cosx tương ứng là:

$A . x^{2} + \sin x + C .$

B. 2-sinx+C

$C . 2 x - \sin x + C .$

$D . 2 x - \cos x + C .$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 15:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ trên khoảng $(2; + \infty)$ là

$A . x + 2 \ln (x - 2) + C$

$B . x - 2 \ln (x - 2) + C$

$C . x - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + C$

$D . x + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + C$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 16:

Cho $\int_{1}^{2} 2 f (x) d x = 2; \int_{2}^{5} f (x) d x = 3.$ Tính $I = \int_{1}^{5} f (x) d x .$

A. I=4

B. I=3

C. I=6

D. I=7

Xem đáp án

Chọn A

Câu 17:

Tính tích phân $I = \int_{1}^{e} x \ln x d x .$

$A . I = \frac{1}{2}$

$B . I = \frac{e^{2} - 2}{2}$

$C . I = \frac{e^{2} + 1}{4}$

$D . I = \frac{e^{2} - 1}{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 18:

Tìm phần ảo của số phức $z = 19 - 20 i$ ?

A. 19

B. 20i

C. 20

D. -20

Xem đáp án

Chọn D

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 4 i - 5$ , $z_{2} = 7 - 3 i$ . Phẩn thực của số phức $z_{1} - z_{2}$ là

A. -12

B. 7

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Câu 20:

Cho số phức z=2-i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức $\bar{z}$ trên mặt phẳng tọa độ?

A. M(2;-1)

B. N(-1;2)

C. P(1;2)

D. Q(2;1)

Xem đáp án

Chọn D

Câu 21:

Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 là

A. V=8

B. V=4

C. V=2

D. V=12

Xem đáp án

Chọn B

Câu 22:

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là

$A . V = 3 B h$

$B . V = B h$

$C . V = 2 B h$

$D . V = \frac{1}{3} B h$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 23:

Cho khối nón có chiều cao bằng 6 và đường kính đường tròn đáy bằng 8. Thể tích của khối nón là

$A . V = 160 π$

$B . V = 32 π$

$C . V = 128 π$

$D . V = 384 π$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 24:

Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh là l, độ dài đường cao là h và r là bán kính đáy. Công thức diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó là

$A . S_{x q} = π r l$

$B . S_{x q} = π r^{2} h$

$C . S_{x q} = π r h$

$D . S_{x q} = 2 π r l$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 25:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = - \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k} .$ Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là

A. (-2;-1;-3)

B. (-3;2;-1)

C. (2;-3;-1)

D. (-1;2;-3)

Xem đáp án

Chọn D

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z + 8)}^{2} = 25.$ Mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính lần lượt là

A. I(5;7;8), R=5

B. I(-5;-7;8), R=5

C. I(5;7;-8), R=5

D. I(5;-7;-8), R=25

Xem đáp án

Chọn C

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - 6 y + 4 z - 5 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

$A . \vec{n_{2}} = (1; - 3; 2)$

$B . \vec{n_{1}} = (2; 6; 4)$

$C . \vec{n_{3}} = (2; - 6; - 5)$

$D . \vec{n_{4}} = (- 6; 4; - 5)$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua hai điểm $M (- 2; 1; 2), N (3; - 1; 0)$ có vectơ chỉ phương là

$A . \vec{u} = (1; 0; 2)$

$B . \vec{u} = (5; - 2; - 2)$

$C . \vec{u} = (- 1; 0; 2)$

$D . \vec{u} = (5; 0; 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 29:

Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt bằng

$A . \frac{135}{988}$

$B . \frac{3}{247}$

$C . \frac{244}{247}$

$D . \frac{15}{26}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 30:

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $ℝ$ ?

$A . y = - x^{3} - 2 x$

$B . y = \frac{x - 2}{x - 1}$

$C . y = x^{4} + 3 x^{2}$

$D . y = x^{3} + 3 x^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 2$ trên đoạn [-1;2] bằng

A. 2

B. -23

C. -22

D. -7

Xem đáp án

Chọn C

Câu 32:

Nghiệm của bất phương trình: $\log_{\frac{1}{5}} (2 x - 3) > - 1$

A. x<4

$B . x > \frac{3}{2}$

$C . \frac{3}{2} < x < 4$

D. x>4

Xem đáp án

Chọn C

Câu 33:

Cho $\int_{1}^{2} [4 f (x) - 2 x] d x = 1$ . Khi đó $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A. 1

B. -3

C. 3

D. -1

Xem đáp án

Chọn A

Câu 34:

Cho hai số phức $z_{1} = 4 + 2 i$ và $z_{2} = - 1 - 3 i$ . Phần thực của số phức $z_{1} . \bar{z_{2}}$ là

A. -10

B. 10

C. 2

D. -14

Xem đáp án

Chọn A

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), $S A = a \sqrt{2}$ , tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a(minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

$A . 30 °$

$B . 45 °$

$C . 60 °$

$D . 90 °$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C), Δ A B C$ là tam giác đều cạnh bằng a, SA=2a. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng

A. a

B. 2a

$C . \frac{\sqrt{3} a}{3}$

$D . \frac{\sqrt{3} a}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(-2;0;0) và đi qua M(0;2;0) là

$A . {(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$

$B . {(x + 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 \sqrt{2}$

$C . {(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 4$

$D . {(x + 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho điểm hai điểm M(1;0;1) và N(3;2;-1). Đường thẳng MN có phương trình tham số là

$A . \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 t \\ z = 1 + t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 39:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Biết $f (- 4) = f (4) = - 7$ . Giá trị lớn nhất của hàm số $y = |f (x) + 5|$ trên đoạn $[- 4; 4]$ đạt được tại điểm nào?

A. x=-4

B. x=-1

C. x=2

D. x=4

Xem đáp án

Chọn C

Xét $g (x) = f (x) + 5 \Rightarrow g' (x) = f' (x)$ .

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 4 \lor x = - 1 \lor x = 2 \lor x = 4$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $y = |f (x) + 5|$ đạt GTLN tại x=2.

Câu 40:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a;b) thỏa mãn $\log_{a}^{} b + 6 \log_{b}^{} a = 5$ và $2 \leq a; b \leq 2005$ .

A. 54

B. 43

C. 53

D. 44

Xem đáp án

Chọn A

$\log_{a}^{} b + 6 \log_{b}^{} a = 5 \Leftrightarrow \log_{a}^{} b + 6 \frac{1}{\log_{a}^{} b} = 5 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{b} a = 2 \\ \log_{b} a = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = a^{2} \\ b = a^{3} \end{array}$

TH1: $b = a^{2}$ và $2 \leq b \leq 2005$ nên $2 \leq a^{2} \leq 2005 \Leftrightarrow \sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2005}$

Vì $a; b \in ℕ *$ nên $a \in \{2, 3, 4, 5, ..., 44\}$ . Do đó có 43 cặp số (a;b).

TH2: $b = a^{3}$ và $2 \leq b \leq 2005$ nên $2 \leq a^{3} \leq 2005 \Leftrightarrow \sqrt[3]{2} \leq a \leq \sqrt[3]{2005}$

Vì $a; b \in ℕ *$ nên $a \in \{2, 3, 4, 5, ..., 12\}$ . Do đó có 11 cặp số (a;b).

Vậy có 54 cặp số (a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{3} - x k h i x \geq 1 \\ - 3 x + 4 k h i x \leq 1 \end{cases}$ .

Biết tích phân $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{f (\tan x)}{\cos^{2} x} d x + \int_{0}^{\sqrt{e - 1}} \frac{x f (\ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1} d x = \frac{a}{b}$ với $a, b \in ℕ$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P=a+b.

A. P=21

B. P=33

C. P=45

D. P=77

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{f (\tan x)}{c o s^{2} x} d x + \int_{0}^{\sqrt{e - 1}} \frac{x f (\ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1} d x=J+K$ .

+) $J = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{f (\tan x)}{c o s^{2} x} d x$ . Đặt $t = \tan x \Rightarrow d t = \frac{1}{c o s^{2} x} d x$ . Đổi cận $x = \frac{π}{3} \Rightarrow t = \sqrt{3}; x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = 1$ .

Suy ra $J = \int_{1}^{\sqrt{3}} f (t) d t = \int_{1}^{\sqrt{3}} f (x) d x = \int_{1}^{\sqrt{3}} (2 x^{3} - x) d x = {(\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{2}}{2})|}_{1}^{\sqrt{3}} = 3$ .

+) $K = \int_{0}^{\sqrt{e - 1}} \frac{x f (\ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1} d x$ . Đặt $t = \ln (x^{2} + 1) \Rightarrow d t = \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x \Rightarrow \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận $x = \sqrt{e - 1} \Rightarrow t = 1; x = 0 \Rightarrow t = 0$ .

Suy ra $K = \int_{0}^{1} f (t) \frac{d t}{2} = \int_{0}^{1} f (x) \frac{d x}{2} = \int_{0}^{1} \frac{- 3 x + 4}{2} d x = {(- \frac{3}{4} x^{2} + 2 x)|}_{0}^{1} = \frac{5}{4}$

Vậy $I = J + K = 3 + \frac{5}{4} = \frac{17}{4}$ . Do đó $\{\begin{cases} a = 17 \\ b = 4 \end{cases} \Rightarrow P = a + b = 21$

Câu 42:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 10$ và $w = (6 + 8 i) \bar{z} + {(1 - 2 i)}^{2} .$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm là

A. I(-3;-4)

B. I(3;4)

C. I(1;-2)

D. I(6;8)

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$w = (6 + 8 i) \bar{z} + {(1 - 2 i)}^{2} \Leftrightarrow w - (- 3 - 4 i) = (6 + 8 i) \bar{z} \Leftrightarrow |w - (- 3 - 4 i)| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} |\bar{z}| \Leftrightarrow |w - (- 3 - 4 i)| = 10.10 \Leftrightarrow |w - (- 3 - 4 i)| = 100$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn (C) có tâm I(-3;-4)

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, $\hat{A C B} = 60 °$ cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng $45 °$ . Thể tích của khối chóp S.ABC là

$A . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{18}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $Δ A B C$ vuông tại B nên $B C = A B . \cot \hat{A C B} = a . \cot 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = \frac{1}{2} a . \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}$

Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC) $\Rightarrow (\hat{S B, (A B C)}) = (\hat{S B, A B}) = \hat{S B A} = 45 °$

$Δ S A B$ vuông tại A nên $S A = A B . \tan \hat{S B A} = A B . \tan 45 ° = a$ .

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{6} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{18}$

Câu 44:

Một cuộn túi nilon PE gồm nhiều túi nilon như hình vẽ có lõi rỗng là một hình trụ bán kính đáy của phần lõi là r=1,5cm, bán kính đáy của cuộn nilon là R=3cm. Biết chiều dày mỗi lớp nilon là 0,5mm, chiều dài của mỗi túi nilon là 25cm. Số lượng túi nilon trong cuộn gần bằng

A. 512

B. 286

C. 1700

D. 169

Xem đáp án

Chọn D

Giả sử chiều cao của hình trụ lõi là h.

Cách 1

Gọi số lượng túi nilon là x, x>0.

Thể tích của phần nilon là $25. x . h .0, {05.10}^{- 1} = 0, 125 h x (c m^{3})$ .

Mặt khác thể tích phần nilon là $(π R^{2} - π r^{2}) . h = π . (3^{2} - 1, 5^{2}) . h \approx 21, 2 h (c m^{3})$ .

Do đó: $0, 125 h x \approx 21, 2 h \Leftrightarrow x \approx 169.$

Cách 2

Coi mỗi lớp nilon là một hình trụ.

Số lớp nilon là $\frac{R - r}{0, {05.10}^{- 2}} = \frac{3 - 1, 5}{0, {05.10}^{- 2}} = 300$

Khi trải cuộn nilon ta được một tấm nilon hình chữ nhật có chiều dài bằng $\sum_{k = 0}^{299} 2 π (r + k .0, 005) = 2 π (300 r + \frac{299.300}{2} .0, 005) = 2 π (300.1, 5 + \frac{299.300}{2} 0, 005) \approx 4236, 44.$

Do đó số túi nilon bằng $\frac{4236, 44}{25} \approx 169.$

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ . Biết $∆$ cắt mặt phẳng (P) tại A,M thuộc $∆$ sao cho $A M = 2 \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P)

$A . \sqrt{2}$

B. 2

$C . \sqrt{3}$

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 4)$ .

Mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ có vectơ chỉ phương $\vec{n} = (1; 1; - 2)$ .

$\sin (Δ, (P)) = |\cos (\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} . \vec{n}|}{|\vec{u}| . |\vec{n}|} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \sin φ$

Suy ra $d (M, Δ) = M H = M A . \sin φ = 2 \sqrt{3} . \sqrt{\frac{1}{3}} = 2$ .

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên $ℝ$ . Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ dưới đây:

Hỏi hàm số $y = f (x^{2})$ có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu

B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại

C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại

Xem đáp án

Chọn B

Từ đồ thị hàm số y=f'(x), ta thấy:

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{array}$ ,

$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

$f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0; 1) \cup (1; 3)$ .

Ta có $y^{'} = {(f (x^{2}))}^{'} = 2 x . f^{'} (x^{2})$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm \sqrt{3} \end{array}$

$f^{'} (x^{2}) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} < 0 \\ x^{2} > 3 \end{array} \Leftrightarrow x \in (- \infty; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; + \infty)$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số $y = f (x^{2})$ có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Câu 47:

Cho các số dương a,b,c thay đổi thỏa mãn $\log_{2} a + \log_{2} c \geq 2 \log_{2} b$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a + b + c + \frac{1}{3} b^{3} - 2 b^{2} + 2$ bằng

$A . \sqrt{3}$

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Từ giả thiết $\log_{2} a + \log_{2} c \geq 2 \log_{2} b \Leftrightarrow \log_{2} (a c) \geq \log_{2} b^{2} \Leftrightarrow a c \geq b^{2}$ .

Ta có: $P = (a + c) + b + \frac{1}{3} b^{3} - 2 b^{2} + 2 \geq 2 \sqrt{a c} + b + \frac{1}{3} b^{3} - 2 b^{2} + 2$ .

$\geq 2 b + b + \frac{1}{3} b^{3} - 2 b^{2} + 2 = \frac{1}{3} b^{3} - 2 b^{2} + 3 b + 2$ .

Xét hàm số: $f (b) = \frac{1}{3} b^{3} - 2 b^{2} + 3 b + 2$ với b>0.

Có $f' (b) = b^{2} - 4 b + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 1 \\ b = 3 \end{array}$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta được: $\underset{b > 0}{\min f (b)} = f (3) = 2$ .

$P \geq 2$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 đạt được khi b=3 và a=c=3.

Chọn B

Câu 48:

Cho parabol $(P_{1}) : y = - x^{2} + 4$ cắt trục hoành tại hai điểm A, B và đường thẳng $d : y = a$ (0<a<4). Xét parabol $(P_{2})$ đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y=a. Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_{1})$ và d. $S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_{2})$ và trục hoành. Biết $S_{1} = S_{2}$ (tham khảo hình vẽ bên).

Tính $T = a^{3} - 8 a^{2} + 48 a$ .

A. T=99

B. T=64

C. T=32

D. T=72

Xem đáp án

Chọn B

- Gọi A, B là các giao điểm của $(P_{1})$ và trục Ox $\Rightarrow A (- 2; 0)$ , $B (2; 0) \Rightarrow A B = 4$ .

- Gọi M, N là giao điểm của $(P_{1})$ và đường thẳng d $\Rightarrow M (- \sqrt{4 - a}; a)$ , $N (\sqrt{4 - a}; a)$ . $\Rightarrow M N = 2 \sqrt{4 - a}$

- Nhận thấy: $(P_{2})$ là parabol có phương trình $y = - \frac{a}{4} x^{2} + a$ .

- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta được:

$S_{1} = 2 \int_{a}^{4} \sqrt{4 - y} . d y = - \frac{4}{3} {({(4 - y)}^{\frac{3}{2}})|}_{a}^{4} = \frac{4}{3} (4 - a) \sqrt{4 - a}$ .

$S_{2} = 2 \int_{0}^{2} (- \frac{a}{4} x^{2} + a) . d x = 2 {(- \frac{a x^{3}}{12} + a x)|}_{0}^{2} = \frac{8 a}{3}$ .

- Theo giả thiết: $S_{1} = S_{2} \Rightarrow \frac{4}{3} (4 - a) \sqrt{4 - a} = \frac{8 a}{3} \Leftrightarrow {(4 - a)}^{3} = 4 a^{2} \Leftrightarrow a^{3} - 8 a^{2} + 48 a = 64$ .

Câu 49:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 1| = \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z + i| + |z - 2 - i|$ bằng

$A . 8 \sqrt{2}$

B. 4

$C . 4 \sqrt{2}$

D. 8

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ , ta có

$|z - 1| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - 1 + y i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x + 1$ (*).

Lại có

$T = |z + i| + |z - 2 - i| = |x + (y + 1) i| + |x - 2 + (y - 1) i|$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5}$

Kết hợp với (*) ta được

$T = \sqrt{2 x + 2 y + 2} + \sqrt{6 - 2 x - 2 y} = \sqrt{2 (x + y) + 2} + \sqrt{6 - 2 (x + y)}$

Đặt T=x+y, khi đó $T = f (t) = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t}$ với $t \in [- 1; 3]$ .

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có $f' (t) = \frac{1}{\sqrt{2 t + 2}} - \frac{1}{\sqrt{6 - 2 t}}; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$ .

Mà $f (1) = 4, f (- 1) = 2 \sqrt{2}, f (3) = 2 \sqrt{2}$ . Vậy $\max f (t) = f (1) = 4$ .

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

$T = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t} \leq \sqrt{(1 + 1) .8} = 4$ .

Đẳng thức xảy ra khi t=1.

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $(S_{1}) : {(x + 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$ , $(S_{2}) : {(x + 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 36$ và điểm A(4;0;0). Đường thẳng $Δ$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $(S_{1})$ , đồng thời cắt $(S_{2})$ tại hai điểm B,C. Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

$A . 24 \sqrt{5}$

B. 48

C. 72

$D . 28 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn A.

$(S_{1}), (S_{2})$ có cùng tâm I(-4;0;0) và lần lượt có bán kính là $r_{1} = 4, r_{2} = 6$ .

Gọi T là hình chiếu của I trên d, ta được $T B = \sqrt{I B^{2} - I T^{2}} = 2 \sqrt{5}$ , tức $B C = 4 \sqrt{5}$ .

Gọi (P) là tiếp diện của $(S_{1})$ tại T, khi đó $Δ$ qua T và nằm trong (P).

Gọi H là hình chiếu của A trên d, ta có $A H \leq A T$ , dấu bằng xảy ra khi $d ⊥ A T$ .

Gọi M,N là các giao điểm của đường thẳng AI và $(S_{1})$ với AM<AN. Dễ thấy AN=12 và đây cũng chính là độ dài lớn nhất của AT.

Lúc này ta có $A H \leq A N = 12$ , bằng xảy ra khi $d ⊥ A N$ .

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là $24 \sqrt{5}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề số 22)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan