Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình

  • 387 lượt thi

  • 24 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 9}\\{x.y = 90}\end{array}} \right.\)có nghiệm là :

Xem đáp án

- Từ phương trình đầu suy ra  y = x – 9

- Thay vào phương trình dưới ta được:

\[x(x - 9) = 90 \Leftrightarrow {x^2} - 9x - 90 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15 \Rightarrow y = 6}\\{x = - 6 \Rightarrow y = - 15}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 2:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án

Đặt \[S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\]

Hệ phương trình tương đương \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S + P = 11}\\{SP = 30}\end{array}} \right. \Rightarrow S\left( {11 - S} \right) = 30\)\[ \Rightarrow - {S^2} + 11S - 30 = 0 \Rightarrow S = 5;S = 6\]

Khi S = 5 thì P = 6 nên x,y là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 5}\\{xy = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2;y = 3}\\{x = 3;y = 2}\end{array}} \right.\) suy ra hệ có nghiệm (2;3),(3;2)

Khi S = 6 thì P = 5 nên x,y là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 6}\\{xy = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1;y = 5}\\{x = 5;y = 1}\end{array}} \right.\)suy ra hệ có nghiệm (1;5),(5;1).

Đáp án cần chọn là: D


Câu 3:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 1}\\{y = x + m}\end{array}} \right.\) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :

Xem đáp án

Ta có : \[y = x + m \Rightarrow {x^2} + {\left( {x + m} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0\;\;\left( * \right)\]

Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình (∗) có đúng 1 nghiệm

\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = {m^2} - 2{m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 .\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 4:

Hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x - 1} \right| + y = 0}\\{2x - y = 5}\end{array}} \right.\) có nghiệm là ?

Xem đáp án

- Ta có :\[2x - y = 5 \Leftrightarrow y = 2x - 5\]

- Thay \[y = 2x - 5\]vào phương trình dưới ta được :

\[\left| {x - 1} \right| + 2x - 5 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - 2x \ge 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 5 - 2x}\\{x - 1 = - 5 + 2x}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{ - x = - 4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \frac{5}{2}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\)

\[ \Rightarrow y = - 1\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + xy = 5}\\{{x^2} + {y^2} = 5}\end{array}} \right.\) có nghiệm là :

Xem đáp án

- Đặt\[S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\]

Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S + P = 5}\\{{S^2} - 2P = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow {S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5 \Rightarrow {S^2} + 2S - 15 = 0\)

\[ \Rightarrow S = - 5;S = 3\]+) \[S = - 5 \Rightarrow P = 10\](loại)

+)\[S = 3 \Rightarrow P = 2\](nhận)

Khi đó : x,y là nghiệm của phương trình \[{X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow X = 1;X = 2\]

Vậy hệ có nghiệm  (2;1),(1;2).

Đáp án cần chọn là: C


Câu 6:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + xy = 11}\\{{x^2} + {y^2} + 3\left( {x + y} \right) = 28}\end{array}} \right.\) có nghiệm là :

Xem đáp án

Đặt \[S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\]

Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S + P = 11}\\{{S^2} - 2P + 3S = 28}\end{array}} \right. \Rightarrow {S^2} - 2\left( {11 - S} \right) + 3S = 28\)

\[ \Rightarrow {S^2} + 5S - 50 = 0 \Rightarrow S = 5;S = - 10\]Khi \[S = 5 \Rightarrow P = 6\] thì x,y là nghiệm của phương trình

\[{X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow X = 2;X = 3\]Khi \[S = - 10 \Rightarrow P = 21\]thì x,y là nghiệm của phương trình

\[{X^2} + 10X + 21 = 0 \Leftrightarrow X = - 3;X = - 7\]Vậy hệ có nghiệm (3;2),(2;3),(−3;−7),(−7;−3).

Đáp án cần chọn là: D


Câu 7:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + y = 6}\\{{y^2} + x = 6}\end{array}} \right.\)có bao nhiêu nghiệm ?

Xem đáp án

- Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + y = 6}\\{{y^2} + x = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow {x^2} - {y^2} + y - x = 0 \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)

- Khi x = y thì \[{x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 3;x = 2\]

- Khi y = 1 − x thì\[{x^2} + 1 - x - 6 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = 0 \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}\]

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm \[\left( { - 3; - 3} \right),\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right)\] và \[\left( {\frac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\]Đáp án cần chọn là: B


Câu 8:

Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{{x^2} + {y^2} = {m^2}}\end{array}} \right.\) . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Xem đáp án

Ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{{x^2} + {y^2} = {m^2}}\end{array}} \right. \Rightarrow {4^2} - 2P = {m^2} \Leftrightarrow P = \frac{{16 - {m^2}}}{2}\)

\[ \Rightarrow {S^2} - 4P = 16 - 2\left( {16 - {m^2}} \right) = 2{m^2} - 16 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 \]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 9:

Các cặp nghiệm (x;y) của hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| + 2\left| y \right| = 3}\\{7x + 5y = 2}\end{array}} \right.\) là :

Xem đáp án

Khi\[x,y \ge 0\] thì hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = 3}\\{7x + 5y = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{{11}}{9};y = \frac{{19}}{9}\) (loại)

Khi x, y < 0  thì hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x - 2y = 3}\\{7x + 5y = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{19}}{9},y = \frac{{ - 23}}{9}\) (loại)

Khi\[x \ge 0,y < 0\] thì hệ trở thành\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 3}\\{7x + 5y = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 1;y = - 1\)  (nhận)

 Khi x < 0,\[y \ge 0\] thì hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + 2y = 3}\\{7x + 5y = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{{11}}{{19}};y = \frac{{23}}{{19}}\) (nhận)

Đáp án cần chọn là: C

</></></>


Câu 10:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3x = {y^3} - 3y}\\{{x^6} + {y^6} = 27}\end{array}} \right.\)có bao nhiêu nghiệm ?

Xem đáp án

Ta có :

\[{x^3} - 3x = {y^3} - 3y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y}\\{{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.\]

Khi x = y thì\[{x^6} + {x^6} = 27 \Leftrightarrow {x^6} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}\]

Do đó hệ có nghiệm \[\left( { \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}; \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}} \right)\]

Khi\[{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3 - xy\] ta có \[{x^6} + {y^6} = 27\]\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = 27 \Rightarrow \left( {3 - xy} \right)\left[ {{{\left( {3 - xy} \right)}^2} - 3{x^2}{y^2}} \right] = 27\]

\[ \Leftrightarrow (3 - xy)(9 - 6xy + {x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2}) = 27\]

\[ \Leftrightarrow 27 - 9xy - 18xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} - {x^3}{y^3} - 9{x^2}{y^2} + 3{x^3}{y^3} = 27\]

\[ \Leftrightarrow 2{x^3}{y^3} - 27xy = 0\]

\[ \Leftrightarrow xy(2{x^2}{y^2} - 27) = 0\]

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{{x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2}}\end{array}} \right.\)

+) Nếu x = 0 thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = {y^3} - 3y}\\{{y^6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 } \right.\)  nên phương trình có hai nghiệm \[\left( {0; \pm \sqrt 3 } \right)\]

+) Nếu y = 0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3x = 0}\\{{x^6} = 27}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \) nên phương trình có hai nghiệm\[\left( { \pm \sqrt 3 ;0} \right)\]

+) Nếu\({x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\\{xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)

TH1:\[xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\] thì:

\[{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\] nên ph vô nghiệm.

TH2:  \[xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\] thì:

\[{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} + 2.\frac{{3\sqrt 6 }}{2} = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\]

Nên phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 11:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \sqrt {y - 1} = 1}\\{2y + \sqrt {x - 1} = 1}\end{array}} \right.\) có bao nhiêu nghiệm (x;y) ?

Xem đáp án

Điều kiện: \[x,y \ge 1\]

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \sqrt {y - 1} = 1}\\{2y + \sqrt {x - 1} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow 2x - 2y + \sqrt {y - 1} - \sqrt {x - 1} = 0\)

\[ \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) + \frac{{y - x}}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = 0}}\]

\[ \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2 - \frac{1}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} }}} \right) = 0\]

Khi x = y thì \[2x + \sqrt {x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} = 1 - 2x\]  (vô nghiệm do \[x \ge 1\]  thì \[VT \ge 0,VP < 0\])

Khi \[\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = \frac{1}{2}\]  thì  \[2x + 2y + \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \frac{3}{4}\] (vô nghiệm vì \[x,y \ge 1\])

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

</>


Câu 12:

Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = m + 1}\\{{x^2}y + {y^2}x = 2{m^2} - m - 3}\end{array}} \right.\)và các mệnh đề :

(I) Hệ có vô số nghiệm khi m = −1 .

(II) Hệ có nghiệm khi \(m >\frac{3}{2}\).

(III) Hệ có nghiệm với mọi m .

Các mệnh đề nào đúng ?

Xem đáp án

- Khi m = −1 thì hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 0}\\{{x^2}y + {y^2}x = 0}\end{array}} \right.\)⇒ hệ có vô số nghiệm ⇒(I) đúng.

- Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = m + 1}\\{{x^2}y + {y^2}x = 2{m^2} - m - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow xy\left( {m + 1} \right) = 2{m^2} - m - 3\)\[ \Rightarrow xy = 2m - 3\]

\[ \Rightarrow {S^2} - 4P = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 6m + 13 >0,\forall m\]đúng

Đáp án cần chọn là: D


Câu 13:

Cho hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + xy - {y^2} = 0}\\{{x^2} - xy - {y^2} + 3x + 7y + 3 = 0}\end{array}} \right.\). Các cặp nghiệm (x;y) sao cho x,y đều là các số nguyên là :

Xem đáp án

Phương trình \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - y}\\{2x = y}\end{array}} \right.\]Trường hợp 1: x = −y thay vào (2) ta được \[\;{x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\]

Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là \[\left( {1; - 1} \right),\left( {3; - 3} \right)\]

Trường hợp 2: 2x = y thay vào (2) ta được \[ - 5{x^2} + 17x + 3 = 0\]phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vậy các cặp nghiệm (x;y) sao cho x,y đều là các số nguyên là (1;−1) và (3;−3).

Đáp án cần chọn là: C


Câu 14:

Nếu (x;y) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4xy + {y^2} = 1}\\{y - 4xy = 2}\end{array}} \right.\) thì xy bằng bao nhiêu ?

Xem đáp án

- Trừ vế cho vế của phương trình (1) cho (2) ta được :\[{x^2} + {y^2} - y = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 = 0\]

- Ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \ge 0,\forall x}\\{{y^2} - y + 1 = {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4} >0,\forall y}\end{array} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 >0,\forall x,y} \right.\)

Do đó phương trình \[{x^2} + {y^2} - y + 1 = 0\]vô nghiệm.

Vậy không tồn tại giá trị của xy.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 15:

Hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{{x^2} - {y^2} = 15}\end{array}} \right.\) có nghiệm là

Xem đáp án

Cách 1:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{{x^2} - {y^2} = 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x - 5}\\{{x^2} - {{(x - 5)}^2} = 15}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x - 5}\\{10x - 25 = 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x - 5}\\{x = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

Cách 2

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{{x^2} - {y^2} = 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{x + y = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 16:

Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 11}\\{5x - 4y = 8}\end{array}} \right.\)là

Xem đáp án

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 11}\\{5x - 4y = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x + 4y = 44}\\{5x - 4y = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{13x = 52}\\{5x - 4y = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (x; y) = (4; 3).

Đáp án cần chọn là: A


Câu 17:

Gọi (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{x} - \frac{6}{y} = 6}\\{\frac{2}{x} - \frac{1}{y} = - 2}\end{array}} \right.\)

Tìm \[{x_0} + {\rm{ }}{y_0}\]

Xem đáp án

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{x} - \frac{6}{y} = 6}\\{\frac{2}{x} - \frac{1}{y} = - 2}\end{array}} \right.(x;y \ne 0)\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} = a}\\{\frac{1}{y} = b}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a - 6b = 6}\\{2a - b = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2}\\{b = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 1}}{2}}\\{y = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array} \Rightarrow x + y = - 1} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 3x - y}\\{{y^2} = 3y - x}\end{array}} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?

Xem đáp án

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 3x - y\left( 1 \right)}\\{{y^2} = 3y - x\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được:

 \[{x^2} - {y^2} = 4x - 4y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x}\\{y = 4 - x}\end{array}} \right.\]TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 3x - y}\\{y = x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x = 0}\\{y = x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y = 0}\\{x = y = 2}\end{array}} \right.\)

TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 3x - y}\\{y = 4 - x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4x + 4 = 0}\\{y = 4 - x}\end{array} \Leftrightarrow x = y = 2} \right.\)

Vậy hệ có hai nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 19:

Một số tự nhiên có hai chữ số có dạng \(\overline {ab} \)biết hiệu của hai chữ số đó bằng 3. Nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số bằng \(\frac{4}{5}\) số ban đầu trừ đi 10. Khi đó \({a^2} + {b^2}\) bằng

Xem đáp án

Ta có: \[|a - b| = 3\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\]Khi viết ngược lại ta có:\[10b + a = \frac{4}{5}\left( {10a + b} \right) - 10 \Leftrightarrow 35a - 46b = 50\]Xét hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b = 3}\\{35a - 46b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 8}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)

Hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + b = 3}\\{35a - 46b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{{188}}{{11}}}\\{b = - \frac{{155}}{{11}}}\end{array}} \right.\) (loại).

Với\[a = 8,b = 5,{a^2} + {b^2} = 89\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 20:

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(2x + y)}^2} - 5(4{x^2} - {y^2}) + 6(4{x^2} - 4xy + {y^2}) = 0}\\{2x + y + \frac{1}{{2x - y}} = 3}\end{array}} \right.\)có một nghiệm (x0;y0) thỏa mãn \({x_0} >\frac{1}{2}\). Khi đó \[P = {x_0} + y_0^2\] có giá trị là

Xem đáp án

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(2x + y)}^2} - 5(4{x^2} - {y^2}) + 6(4{x^2} - 4xy + {y^2}) = 0\left( 1 \right)}\\{2x + y + \frac{1}{{2x - y}} = 3\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{x^2} + 12{y^2} - 20xy = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2x - 3y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y}\\{2x = 3y}\end{array}} \right.\]

Với x = y ta có\[\left( 2 \right) \Rightarrow 3x + \frac{1}{x} = 3 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x + 1 = 0\] phương trình vô nghiệm.

Với 2x = 3y ta có \[\left( 2 \right) \Rightarrow 4y + \frac{1}{{2y}} = 3 \Leftrightarrow 8{y^2} - 6y + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{1}{2}}\\{y = \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\]

Với\[y = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{8}\left( {KTM} \right)\]Với \[y = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{4}\left( {TM} \right) \Rightarrow P = 1\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 21:

Khi hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2my - z = 1}\\{2x - my - 2z = 2}\\{x - (m + 4)y - z = 1}\end{array}} \right.\)có nghiệm (x;y;z) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{m \ne - \frac{4}{3}}\end{array}} \right.\), giá trị \[T = 2017x - 2018y - 2017z\;\] là

Xem đáp án

Kí hiệu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2my - z = 1\left( 1 \right)}\\{2x - my - 2z = 2\left( 2 \right)}\\{x - (m + 4)y - z = 1\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Lấy (1) − (3) vế với vế ta được\[\left( {3m + 4} \right)y = 0 \Leftrightarrow y = 0\]  (do \[m \ne 0; - \frac{4}{3})\]Khi đó\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - z = 1}\\{y = 0}\end{array}} \right.\)

Ta có \[T = 2017x - 2018y - 2017z = 2017\left( {x - z} \right) = 2017\]Đáp án cần chọn là: C


Câu 22:

Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9}\\{{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7} - 2x\sqrt {3y + 1} = 0}\end{array}} \right.\)có nghiệm là (a;b). Khi đó giá trị biểu thức \[T = 5{a^2} + 4{b^2}\]

Xem đáp án

Điều kiện\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 7}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7} - 2x\sqrt {3y + 1} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Có:\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {y + 4} \right)x - 3{y^2} - 12y - 9 = 0\] ta coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x và y là tham số, giải x theo y ta được\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3y - 9}\\{x = y + 1}\end{array}} \right.\)

Với x = −3y – 9 thì (∗)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3y - 9 \ge - 7}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le - \frac{2}{3}}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\)

Với \[x = y + 1 \Leftrightarrow y = x - 1\] thì

\[\left( 2 \right) \Rightarrow {x^2} + 4x - 6\sqrt {x + 7} - 2x\sqrt {3x - 2} + 14 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x\sqrt {3x - 2} + 3x - 2} \right) + \left( {x + 7 - 6\sqrt {x + 7} + 9} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {3x - 2} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 7} - 3} \right)^2} = 0\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt {3x - 2} }\\{\sqrt {x + 7} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\)  (thỏa mãn) ⇒y = 1 (thỏa mãn)

Hệ phương trình có nghiệm là \[\left( {2;\,1} \right) \Rightarrow a = 2,b = 1 \Rightarrow T = 24\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 23:

Cho (x;y) với x, y nguyên là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy + {y^2} + x = 7y\left( 1 \right)}\\{\frac{{{x^2}}}{y} + x = 12\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\) thì tích xy bằng

Xem đáp án

Điều kiện\[y \ne 0\]

Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{x}{y} = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x\left( {\frac{x}{y} + 1} \right) = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) và x, y là số nguyên nên y là ước của x.

Từ (2) ta có x là ước của 12.

+ \[x = \pm 1\] thì \[\frac{{ \pm 1}}{y} + 1 = \pm 12\] (loại).

+ \[x = \pm 2\] thì \[\frac{{ \pm 2}}{y} + 1 = \pm 6\] (loại).

+ x = 3 thì\[\frac{3}{y} + 1 = 4 \Leftrightarrow y = 1\] (thỏa mãn) ⇒xy = 3.

+ x = −3 thì\[ - \frac{3}{y} + 1 = - 4\] (loại)

+ x = 4 thì\[\frac{4}{y} + 1 = 3 \Leftrightarrow y = 2\]( loại vì không thỏa mãn (1).

+ x = −4 thì \[ - \frac{4}{y} + 1 = - 3 \Leftrightarrow y = 1\] (loại vì không thỏa mãn (1).

+ x = 6 thì \[\frac{6}{y} + 1 = 2 \Leftrightarrow y = 6\]  (loại vì không thỏa mãn (1)).

+ x = −6 thì \[ - \frac{6}{y} + 1 = - 2 \Leftrightarrow y = 2\] (loại vì không thỏa mãn (1)).

+ x = 12 thì\[\frac{{12}}{y} + 1 = 1\] vô nghiệm.

+ x = −12  thì \[ - \frac{{12}}{y} + 1 = - 1 \Leftrightarrow y = 6\] (loại vì không thỏa mãn (1)).

Vậy có duy nhất một nghiệm nguyên x = 3; y = 1 nên xy = 3.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 24:

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2\left| x \right| = 0}\\{{x^2} = {y^2} - 1}\end{array}} \right.\)ta được nghiệm (x;y). Khi đó \[{x^2} + {y^2}\;\] bằng:

Xem đáp án

Ta có

\({x^2} + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2}} \right| + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| = 0}\\{\left| x \right| = - 2\,\,\,(loai)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

Thế vào phương trình thứ hai ta được\[{y^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} = 1\]

Vậy \[{x^2} + {y^2} = 0 + 1 = 1\]

Đáp án cần chọn là: A


Bắt đầu thi ngay