50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 11)

Câu 1:

Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm học sinh?

$A . A_{8}^{3}$

$B . 3^{8}$

$C . 8^{3}$

$D . C_{8}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Số cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm học sinh là tổ hợp chập 3 của phần tử 8. Vậy có $C_{8}^{3}$ cách chọn

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{17} = 33$ và $u_{33} = 65$ thì công sai bằng

A. 1

B. 3

C. -2

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\{\begin{cases} u_{17} = u_{1} + 16 d = 33 \\ u_{33} = u_{1} + 32 d = 65 \end{cases}$ .

Suy ra: $u_{33} - u_{17} = 65 - 33 \Leftrightarrow 16 d = 32 \Leftrightarrow d = 2$ .

Vậy công sai bằng: d=2.

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên dưới đây

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)

B. (-1;1)

$C . (- \infty; 0)$

$D . (- \infty; - 1)$

Xem đáp án

Chọn D

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và (0;1).

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số là:

A. -1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho y=3 tại x=2 và tại x=-2.

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{5} {(x - 3)}^{7}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{5} {(x - 3)}^{7} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \end{array}$ .

Bảng xét dấu f'(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f^{'} (x)$ có 3 lần đổi dấu nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ là

A. y=-1

B. y=1

$C . y = \frac{1}{2}$

D. y=2

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2$ . Suy ra đồ thị hàm số có tiệmcận ngang là y=2.

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

$A . y = - x^{4} + 2 x^{2}$

$B . y = x^{2} - 2 x + 1$

$C . y = x^{3} - 3 x + 1$

$D . y = - x^{3} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a<0 nên chỉ có hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ thỏa yêu cầu bài toán

Câu 8:

Đường thẳng y=-3x cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} - 2$ tại điểm có tọa độ $(x_{0}; y_{0})$ thì

$A . y_{0} = 3$

$B . y_{0} = - 3$

$C . y_{0} = 1$

$D . y_{0} = - 2$

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} - 2$ và đường thẳng y=-3x là: $x^{3} - 2 x^{2} - 2 = - 3 x \Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 1$ . Suy ra $y_{0} = - 3$ .

Câu 9:

Với a,b là hai số thực dương tùy ý, $\log_{3} (a^{3} \sqrt{b})$ bằng

$A . \frac{3}{2} \log_{3} (a b) .$

$B . \frac{3}{2} \log_{3} (a + b) .$

$C . 3 \log_{3} a + \frac{1}{2} \log_{3} b .$

$D . 3 \log_{3} a + 2 \log_{3} b$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\log_{3} (a^{3} \sqrt{b}) = \log_{3} a^{3} + \log_{3} \sqrt{b} = 3 \log_{3} a + \frac{1}{2} \log_{3} b .$

Câu 10:

Hàm số $y = 3^{x^{2} - x}$ có đạo hàm là

$A . (2 x - 1) {.3}^{x^{2} - x} . \ln 3$

$B . (2 x - 1) {.3}^{x^{2} - x}$

$C . 3^{x^{2} - x} . \ln 3$

$D . (x^{2} - x) {.3}^{x^{2} - x - 1}$

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ ta có:

${(3^{u})}^{'} = u^{'} {.3}^{u} . \ln 3 \Rightarrow {(3^{x^{2} - x})}^{'} = (2 x - 1) {.3}^{x^{2} - x} . \ln 3$

Câu 11:

Cho x,y>0 và $α, β \in ℝ$ . Khẳng định nào sau đây sai?

$A . {(x^{α})}^{β} = x^{α β}$

$B . x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α}$

$C . x^{α} . x^{β} = x^{α + β}$

$D . {(x y)}^{α} = x^{α} . y^{α}$

Xem đáp án

Chọn B

Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức $x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α}$ sai

Câu 12:

Phương trình $3^{x^{2} - 2 x} = 1$ có nghiệm là

A. x=0; x=2

B. x=-1; x=3

C. x=0; x=-2

D. x=1; x=-3

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $3^{x^{2} - 2 x} = 1 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 2 x} = 3^{0} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (x + 9) = 5$ là

A. x=41

B. x=16

C. x=23

D. x=1

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện: x>-9

Ta có: $\log_{2} (x + 9) = 5 \Leftrightarrow x + 9 = 2^{5} \Leftrightarrow x = 23$ .

Câu 14:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x^{3} + 2 x$ .

$A . \int f (x) d x = 12 x^{2} + x^{2} + C$

$B . \int f (x) d x = \frac{4}{3} x^{4} + x^{2} + C$

$C . \int f (x) d x = 12 x^{2} + 2 + C$

$D . \int f (x) d x = x^{4} + x^{2} + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\int f (x) d x = \int (4 x^{3} + 2 x) d x = x^{4} + x^{2} + C$

Câu 15:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x + 1}$

$A . \int f (x) d x = 2 e^{2 x + 1} + C$

$B . \int f (x) d x = e^{x^{2} + x} + C$

$C . \int f (x) d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

$D . \int f (x) d x = e^{2 x + 1} + C$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\int f (x) d x = \int e^{2 x + 1} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

Câu 16:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 3$ và $\int_{1}^{3} f (x) d x = - 2$ . Tính $\int_{0}^{3} f (x) d x$ .

A. 5

B. 1

C. -5

D. -1

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x = 3 - 2 = 1$

Câu 17:

Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} (2 x - 1) d x$

$A . I = \frac{5}{6}$

B. I=3

C. I=1

D. I=2

Xem đáp án

Chọn D

$I = \int_{1}^{2} (2 x - 1) d x = {(x^{2} - x)|}_{1}^{2} = 2$

Câu 18:

Cho số phức $z = - 5 + 2 i$ . Phần thực và phần ảo của số phức $\bar{z}$ lần lượt là

A. 5 và -2

B. 5 và 2

C. -5 và 2

D. -5 và -2

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\bar{z} = - 5 - 2 i$ . Vậy phần thực và phần ảo của số phức $\bar{z}$ lần lượt là -5 và -2.

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = - 2 - 3 i$ và $z_{2} = 5 - i$ . Tổng phần thực và phần ảo của số phức $2 z_{1} - z_{2}$ bằng

A. 13

B. -14

C. -6

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $2 z_{1} - z_{2} = 2 (- 2 - 3 i) - 5 + i = - 4 - 6 i - 5 + i = - 9 - 5 i$ .

Vậy $- 9 - 5 = - 14$ .

Câu 20:

Trên mặt phẳng tọa độ, cho số phức z thỏa mãn $\bar{z} = 3 i - 1$ , điểm biểu diễn số phức z là

A. Q(3;-1)

B. P(-1;-3)

C. N(1;-3)

D. M(-1;3)

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

$\bar{z} = 3 i - 1 \Rightarrow z = - 1 - 3 i$ nên điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là điểm P(-1;-3).

Câu 21:

Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 6 a^{2}$ và chiều cao h=2a. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

$A . 12 a^{3}$

$B . 2 a^{3}$

$C . 4 a^{3}$

$D . 6 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $V = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} 6 a^{2} .2 a = 4 a^{3}$

Câu 22:

Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; 6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng

A. 8

B. 16

C. 48

D. 12

Xem đáp án

Chọn C

Thể tích của khối hộp đã cho bằng $2.4.6 = 48$ .

Câu 23:

Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đường tròn đáy r là

$A . V = \frac{1}{2} π r^{2} h$

$B . V = π r^{2} h$

$C . V = \frac{4}{3} π r^{2} h$

$D . V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Câu 24:

Cho khối nón có thể tích $V = 4 π$ và bán kính đáy r=2. Tính chiều cao h của khối nón đã cho.

A. h=3

B. h=1

$C . h = \sqrt{6}$

D. h=6

Xem đáp án

Chọn A

Ta có công thức thể tích khối nón $V = \frac{1}{3} . π . r^{2} . h \Rightarrow h = \frac{3 V}{π . r^{2}} = \frac{3.4 π}{π .4} = 3$ .

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1;2;-3) và B(-3;-1;1). Tọa độ của $\vec{A B}$ là

$A . \vec{A B} = (- 2; - 3; 4)$

$B . \vec{A B} = (4; - 3; 4)$

$C . \vec{A B} = (- 4; 1; - 2)$

$D . \vec{A B} = (2; 3; - 4)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\vec{A B} = (- 3 + 1; - 1 - 2; 1 + 3) = (- 2; - 3; 4)$

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z + 1 = 0$ . Tọa độ tâm I của mặt cầu là

A. I(4;-2;6)

B. I(2;-1;3)

C. I(-4;2;-6)

D. I(-2;1;-3)

Xem đáp án

Chọn B

Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là I(2;-1;3).

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm M(-2;1;-1) thuộc mặt phẳng nào sau đây?

A. -2x+y-z=0

B. x+2y-z-1=0

C. 2x-y-z+6=0

D. -2x+y-z-4=0

Xem đáp án

Chọn B

Xét đáp án A, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 6=0 (vô lý).

Xét đáp án B, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 0=0 (đúng).

Xét đáp án C, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được -2=0 (vô lý).

Xét đáp án D, thay tọa độ điểm M vào phương trình ta được 2=0 (vô lý)

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{- 5} = \frac{z + 1}{3}$ . Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d?

$A . \vec{u_{2}} = (2; 4; - 1)$

$B . \vec{u_{1}} = (2; - 5; 3)$

$C . \vec{u_{3}} = (2; 5; 3)$

$D . \vec{u_{4}} = (3; 4; 1)$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 29:

Chọn ngẫu nhiên 3 bóng từ hộp gồm 5 bóng xanh và 3 bóng vàng. Tính xác suất lấy được 3 bóng cùng màu?

$A . \frac{11}{56}$

$B . \frac{5}{28}$

$C . \frac{1}{7}$

$D . \frac{11}{56}$

Xem đáp án

Chọn A

Số cách chọn 3 bóng từ hộp gồm 5 bóng xanh và 3 bóng vàng có: $C_{8}^{3} = 56$ (cách) Số cách chọn 3 bóng cùng màu có: $C_{5}^{3} + C_{3}^{3} = 11$ (cách)

Xác suất lấy được 3 bóng cùng màu: $\frac{11}{56}$

Câu 30:

Hàm số $y = \frac{2}{3 x^{2} + 1}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1)

$B . (- \infty; 0)$

$C . (- \infty; + \infty)$

$D . (0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định $D = ℝ$ .

$y^{'} = \frac{- 12 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

Ta có $y' < 0 \Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số $y = \frac{2}{3 x^{2} + 1}$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 1$ trên đoạn [-1;2] là

A. -1

B. 2

C. 1

D. -2

Xem đáp án

Câu 32:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${(\frac{1}{3})}^{2 x^{2} - 3 x - 7} > 3^{2 x - 21}$ là

A. 7

B. 6

C. vô số

D. 8

Xem đáp án

Câu 33:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 5$ . Tính $\int_{0}^{1} (f (x) - 2 g (x)) d x$ .

A. -8

B. 12

C. 1

D. -3

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int_{0}^{1} (f (x) - 2 g (x)) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 - 2.5 = - 8$ .

Câu 34:

Tìm môđun của số phức z=3-2i

$A . |z| = 5$

$B . |z| = \sqrt{5}$

$C . |z| = 13$

$D . |z| = \sqrt{13}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $z = 3 - 2 i \Rightarrow |z| = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{13}$

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = \sqrt{15} a$ .

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

$A . 45 °$

$B . 30 °$

$C . 60 °$

$D . 90 °$

Xem đáp án

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD=2a, SA=a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng

$A . \frac{3 a}{\sqrt{7}}$

$B . \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

$C . \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

$D . \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi H là hình chiếu của A lên SD ta chứng minh được $A H ⊥ (S C D)$

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1;1;1) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là

$A . {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 29$

$B . {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$

$C . {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$

$D . {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 5$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $R = I A = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = \sqrt{5}$ .

vậy phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

${(x - x_{I})}^{2} + {(y - y_{I})}^{2} + {(z - z_{I})}^{2} = R^{2} \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$ .

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-2;3;-1), N(-1;2;3) và P(-2;1;1). Phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP là

$A . \{\begin{cases} x = - 1 + 3 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = - 1 - 3 t \\ z = 1 - 2 t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 3 - 3 t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = 3 - 2 t \\ y = - 3 + 3 t \\ z = - 2 - t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP nên có vectơ chỉ phương là: $\vec{N P} = (3; - 3; - 2)$ .

Vậy phương trình đưởng thẳng d là: $\{\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 3 - 3 t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}$

Câu 39:

Cho hàm số f(x). Biết hàm số f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [-4;3], hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

A. x=-1

B. x=3

C. x=-4

D. x=-3

Xem đáp án

Chọn A

Xét hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ trên [-4;3].

Ta có: $g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - 2 (1 - x)$ .

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 1 - x$ . Trên đồ thị hàm số f'(x) ta vẽ thêm đường thẳng y=1-x.

Từ đồ thị ta thấy $f^{'} (x) = 1 - x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 4 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

Vậy $\min_{[- 4; 3]} g (x) = g (- 1) \Leftrightarrow x = - 1$ .

Câu 40:

Xét các số thức a,b,x,y thỏa mãn a>1, b>1 và $a^{x} = b^{y} = \sqrt[3]{a b}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x + 3 y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. (0;1)

$B . (2; \frac{5}{2}) \cup (\frac{3}{2}; 2)$

$C . (\frac{3}{2}; 2)$

$D . (\frac{5}{2}; 3)$

Xem đáp án

Chọn B

$\begin{array}{l} a^{x} = b^{y} = \sqrt[3]{a b} \Rightarrow \{\begin{cases} x = \log_{a} \sqrt[3]{a b} = \frac{1}{3} (1 + \log_{a} b) \\ y = \log_{b} \sqrt[3]{a b} = \frac{1}{3} (1 + \log_{b} a) \end{cases} \\ \Rightarrow Q = x + 3 y = \frac{1}{3} (1 + \log_{a} b) + 1 + \log_{b} a = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \log_{a} b + \log_{b} a \geq \frac{4}{3} + 2 \sqrt{\frac{1}{3}} \in (2; \frac{5}{2}) \end{array}$

Câu 41:

Cho hàm số f(x) có $f (\frac{π}{2}) = \frac{8}{15}$ và $f^{'} (x) = \cos x . \sin^{2} 2 x, \forall \in R$ . Khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng:

$A . \frac{102}{225}$

$B . \frac{121}{225}$

$C . \frac{104}{225}$

$D . \frac{109}{225}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $f^{'} (x) = \cos x . \sin^{2} 2 x = \cos x . {(2 \sin x . \cos x)}^{2} = 4 \cos x . \sin^{2} x . \cos^{2} x = 4 \cos x . \sin^{2} x . (1 - \sin^{2} x)$

$\Rightarrow f (x) = \int f' (x) d x = \int 4 \cos x . \sin^{2} x . (1 - \sin^{2} x) d x$ . Đặt $t = \sin x \Rightarrow d t = \cos x d x$

Ta có: $I = \int 4 t^{2} (1 - t^{2}) d t = \int (4 t^{2} - 4 t^{4}) d t = \frac{4}{3} t^{3} - \frac{4}{5} t^{5} + c \Rightarrow f (x) = \frac{4}{3} \sin^{3} x - \frac{4}{5} \sin^{5} x + c$

Vì $f (\frac{π}{2}) = \frac{8}{15} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{4}{3} \sin^{3} x - \frac{4}{5} \sin^{5} x$

Vậy $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{4}{3} \sin^{3} x - \frac{4}{5} \sin^{5} x) d x = \frac{104}{225}$

Câu 42:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $(1 + i) \bar{z} - 1 - 3 i = 0$ . Tìm phần ảo của số phức $w = 1 - i z + \bar{z}$ .

A. -1

B. -i

C. 2

D. -2i

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $(1 + i) \bar{z} - 1 - 3 i = 0 \Leftrightarrow \bar{z} = \frac{1 + 3 i}{1 + i} \Leftrightarrow \bar{z} = 2 + i \Rightarrow z = 2 - i$ .

Do đó $w = 1 - i z + \bar{z} = 1 - i (2 - i) + 2 + i = 2 - i$ .

Vậy phần ảo của số phức $w = 1 - i z + \bar{z}$ là -1.

Câu 43:

Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh 2a, BD=2a và $A A' = a \sqrt{3}$ (minh họa như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

$A . 2 \sqrt{3} a^{3}$

$B . 4 a^{3}$

$C . 6 a^{3}$

$D . 8 \sqrt{3} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có tam giác $Δ A B D$ là tam giác đều nên $S_{Δ A B D} = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4}$

Ta có: $S_{A B C D} = 2 S_{B C D} = 2 \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 a^{2} \sqrt{3}$

$V_{A B C D . A' B' C' D'} = A A' . S_{A B C D} = a \sqrt{3} .2 a^{2} \sqrt{3} = 6 a^{3}$

Câu 44:

Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 200 m³. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 300.000 đồng/m². Chi phí thuê công nhân thấp nhất là

A. 36 triệu đồng

B. 51 triệu đồng

C. 75 triệu đồng

D. 46 triệu đồng

Xem đáp án

Chọn B

Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2x, chiều cao là y

Diện tích các mặt bên và mặt đáy là $S = 6 x y + 2 x^{2}$

Thể tích là $V = 2 x^{2} y = 200 \Rightarrow x y = \frac{100}{x}$ .

$S = \frac{600}{x} + 2 x^{2} = \frac{300}{x} + \frac{300}{x} + 2 x^{2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{300}{x} . \frac{300}{x} .2 x^{2}} = 30 \sqrt[3]{180}$

Vậy chi phí thấp nhất là $T = 30 \sqrt[3]{180} .300000 d = 51$ triệu.

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;2), song song với mặt phẳng $(P) : x - y + z + 3 = 0$ đồng thời cắt đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ có phương trình là

$A . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = 2 \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 2 \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 - t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình tham số của đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$ .

Gọi $Δ$ là đường thẳng cần tìm. Theo đề bài d cắt $Δ$ nên gọi $I = Δ \cap d \Rightarrow I \in d$ suy ra $I (1 + t; 2 + t; 3 + t)$ .

Ta có $\vec{M I} = (t; t; 1 + t)$ ; mặt phẳng (P) có VTPT là $\vec{n} = (1; - 1; 1)$ .

$Δ$ song song với mặt phẳng (P) nên

$\vec{M I} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow \vec{M I} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 1. t + (- 1) . t + 1. (1 + t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow \vec{M I} = (- 1; - 1; 0)$ là 1 VTCP của đường thẳng $Δ$ và $Δ$ đi qua điểm M(1;2;2).

Vậy PTTS của đường thẳng $Δ$ cần tìm là $\{\begin{cases} x = 1 - t' \\ y = 2 - t' \\ z = 2 \end{cases}$ .

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x), hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số $g (x) = 2 f (\frac{5 \sin x - 1}{2}) + \frac{{(5 \sin x - 1)}^{2}}{4} + 3$ có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng $(0; 2 π)$

A. 9

B. 7

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $g^{'} (x) = 5 \cos x f^{'} (\frac{5 \sin x - 1}{2}) + \frac{5}{2} \cos x (5 \sin x - 1)$ .

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 5 \cos x f^{'} (\frac{5 \sin x - 1}{2}) + \frac{5}{2} \cos x (5 \sin x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ f^{'} (\frac{5 \sin x - 1}{2}) = - \frac{5 \sin x - 1}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \frac{5 \sin x - 1}{2} = - 3 \\ \frac{5 \sin x - 1}{2} = - 1 \\ \frac{5 \sin x - 1}{2} = \frac{1}{3} \\ \frac{5 \sin x - 1}{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ 5 \sin x - 1 = - 6 \\ 5 \sin x - 1 = - 2 \\ 5 \sin x - 1 = \frac{2}{3} \\ 5 \sin x - 1 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \sin x = - 1 \\ \sin x = - \frac{1}{5} \\ \sin x = \frac{1}{3} \\ \sin x = \frac{3}{5} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \sin x = - 1 \\ \sin x = - \frac{1}{5} \\ \sin x = \frac{1}{3} \\ \sin x = \frac{3}{5} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} \lor x = \frac{3 π}{2} \\ x = \frac{3 π}{2} \\ x = π - a r c \sin (- \frac{1}{5}) \lor x = 2 π + a r c \sin (- \frac{1}{5}) \\ x = a r c \sin (\frac{1}{3}) \lor x = π - a r c \sin (\frac{1}{3}) \\ x = a r c \sin (\frac{3}{5}) \lor x = π - a r c \sin (\frac{3}{5}) \end{array}$ ,.

Suy phương trình g'(x)=0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm $x = \frac{3 π}{2}$ là nghiệm kép.

Vậy hàm số y=g(x) có 7 cực trị.

Câu 47:

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $3^{x^{2} - 2 x + 1 - 2 |x - m|} = \log_{x^{2} - 2 x + 3} (2 |x - m| + 2)$ có đúng ba nghiệm phân biệt là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình tương đương $3^{x^{2} - 2 x + 3 - (2 |x - m| + 2)} = \frac{\ln (2 |x - m| + 2)}{\ln (x^{2} - 2 x + 3)}$ . $\Leftrightarrow 3^{x^{2} - 2 x + 3} . \ln (x^{2} - 2 x + 3) = 3^{2 |x - m| + 2} . \ln (2 |x - m| + 2)$ .

Xét hàm đặc trưng $f (t) = 3^{t} . \ln t, t \geq 2$ là hàm số đồng biến nên từ phương trình suy ra $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 = 2 |x - m| + 2 \Leftrightarrow g (x) = x^{2} - 2 x - 2 |x - m| + 1 = 0$ .

Có $g (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 4 x + 2 m + 1 k h i x \geq m \\ x^{2} - 2 m + 1 k h i x \leq m \end{cases} \Rightarrow g' (x) = \{\begin{cases} 2 x - 4 k h i x \geq m \\ 2 x k h i x \leq m \end{cases}$ .

và $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 k h i x \geq m \\ x = 0 k h i x \leq m \end{array}$ .

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $m \leq 0$ ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có thoả mãn.

Trường hợp 2: $m \geq 2$ tương tự.

Trường hợp 3: 0<m<2, bảng biến thiên g(x) như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi $[\begin{array}{l} {(m - 1)}^{2} = 0 \\ - 2 m + 1 = 0 > 2 m - 3 \\ - 2 m + 1 < 0 = 2 m - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{1}{2} \\ m = \frac{3}{2} \end{array}$ .

Cả 3 giá trị trên đều thoả mãn, nên tổng của chúng bằng 3.

Câu 48:

Cho f(x) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ bằng -2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai N(1;1) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 4. Biết diện tích phần gạch chéo là $\frac{9}{16}$ . Tích phân $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$ bằng

$A . \frac{31}{18}$

$B . \frac{13}{6}$

$C . \frac{19}{9}$

$D . \frac{7}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào giả thiết đường thẳng đi qua hai điểm M(-2;2) và P(4;0). Suy ra $d : x + 3 y - 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{- 1}{3} x + \frac{4}{3}$ .

Từ giả thiết ta có hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \Rightarrow f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ . Chú ý đồ thị hàm số tiếp xúc đường thẳng d tại x=-2.

Dựa vào hình vẽ ta có hệ

$\{\begin{cases} 1 = - 8 a + 4 b - 2 c \\ 0 = a + b + c \\ 12 a - 4 b + c = - \frac{1}{3} \\ d = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{12} \\ b = \frac{1}{4} \\ c = - \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow y = \frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{3} x + 1$ .

Từ đó $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \frac{13}{6}$ .

Câu 49:

Cho số phức z=a+bi ( a, b $\in ℝ$ ) thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |z + 2| + 2 |z - 2|$

$A . 10 \sqrt{2}$

B. 7

C. 10

$D . 5 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: ${|z + 2|}^{2} = {(a + 2)}^{2} + b^{2}$ ; ${|z - 2|}^{2} = {(a - 2)}^{2} + b^{2}$ .

Suy ra: ${|z + 2|}^{2} + {|z - 2|}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) + 8 = 2 {|z|}^{2} + 8 = 10$ .

Ta có: $A^{2} = {(|z + 2| + 2 |z - 2|)}^{2} \leq (1^{2} + 2^{2}) ({|z + 2|}^{2} + {|z - 2|}^{2}) = 50$ .

Vì $A \geq 0$ nên từ đó suy ra $A \leq \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của A là $5 \sqrt{2}$ .

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;4), B(-3;3;-1), C(-1;-1;-1) và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 8 = 0$ . Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2 M A^{2} + M B^{2} - M C^{2}$ .

A. 102

B. 35

C. 105

D. 30

Xem đáp án

Chọn A

Gọi I là điểm thỏa mãn: $2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 (\vec{O A} - \vec{O I}) + (\vec{O B} - \vec{O I}) - (\vec{O C} - \vec{O I}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{O I} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C} = (1; 0; 4)$

$\Leftrightarrow I (1; 0; 4)$ .

Khi đó, với mọi điểm $M (x; y; z) \in (P)$ , ta luôn có:

$T = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2}$

$= 2 {\vec{M I}}^{2} + 2 \vec{M I} . (2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}) + 2 {\vec{I A}}^{2} + {\vec{I B}}^{2} - {\vec{I C}}^{2}$

$= 2 M I^{2} + 2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2}$

Ta tính được $2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2} = 30$ .

Do đó, T đạt GTNN $\Leftrightarrow M I$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M I ⊥ (P)$ .

Lúc này, $I M = d (I, (P)) = \frac{|2.1 - 0 + 2.4 + 8|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 6$ .

Vậy $T_{\min} = {2.6}^{2} + 30 = 102$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 11)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan